1、勾股定理勾股定理: :如果直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别 为为a a、b,b,斜边为斜边为c c， 那么那么a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2。 请同学们说出它的题设和结论是分别什么？请同学们说出它的题设和结论是分别什么？ 反过来，若一个三角形的三边具有的数量关反过来，若一个三角形的三边具有的数量关 系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？ 今天我们一起来研究这个问题。今天我们一起来研究这个问题。 a b c 按照这种做法真能得到一个按照这种做法真能得到一个 直角三角形直角三角形吗？吗？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角
2、：古埃及人曾用下面的方法得到直角： 用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子把一根绳子 分成等长的分成等长的12段段,然后以然后以3个个 结，结，4个结，个结，5个结的长度为个结的长度为 边长，用木桩钉成一个三角边长，用木桩钉成一个三角 形，其中一个角便是形，其中一个角便是直角直角。 做一做：做一做： （1）画一画：画一画：下列各组数中的两数平方和等于第下列各组数中的两数平方和等于第 三数的平方，分别以这些数为边长三数的平方，分别以这些数为边长（单位：（单位：cm）画画 出三角形：出三角形： 2.2.5，6，6. .5； 6 6，8，10. （2）量一量：量一量：用量角器分别测量上述各三角形的
3、用量角器分别测量上述各三角形的 最大角的度数。最大角的度数。 （3）想一想：想一想：请判断这些三角形的形状，并提出请判断这些三角形的形状，并提出 猜想。猜想。 C=900 AB 2= a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 AB =c 边长取正值边长取正值 ABC ABC（SSS） C= C=90 BC=a=BC CA=b=CA AB=c= AB 已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2 求证求证: ABC是直角三角形是直角三角形 证明证明:画一个画一个ABC,使使 C=90,BC=a, CA=b 在在 ABC和和 ABC中中 则则 ABC是直角三角
4、形是直角三角形 （直角三角形的定义）（直角三角形的定义） A C B A B C a b a b c 如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明的逆命题经过证明 是真命题是真命题,那么它是一个那么它是一个定理定理,这两这两 个定理称为个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理其中一个定理 称另一个定理的称另一个定理的逆定理逆定理. 勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为斜边为c，那么，那么 a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2 勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足 那么这个三
5、角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2 互逆命题 (1)两条直线平行两条直线平行，同位角相等同位角相等 (2)如果两个实数相等如果两个实数相等，那么它们的平方相等那么它们的平方相等 (3) 对顶角相等对顶角相等 (4)全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等 说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗这些命题的逆命题成立吗? ? 逆命题逆命题: 同位角相等，两条直线平行同位角相等，两条直线平行. 成立成立 逆命题逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
6、 不成立不成立 逆命题逆命题:如果两个角相等，那么这两个角是对顶角如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 不成立不成立 逆命题逆命题:三组角分别相等的两个三角形是全等三角形三组角分别相等的两个三角形是全等三角形. 不成立不成立 感悟感悟: 原命题成立时原命题成立时, 逆命题有时成立逆命题有时成立, 有时不成立有时不成立 一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. . 例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形： (1) a15 , b 8 , c17 (2) a13 , b 14, c15 分析：由勾股
7、定理的逆定理级其逆定理，判断一个三角形分析：由勾股定理的逆定理级其逆定理，判断一个三角形 是不是直角三角形，只要看两条是不是直角三角形，只要看两条较小边长较小边长的平方和是否等的平方和是否等 于于最大边长最大边长的平方。的平方。 解：解：1528222564289 172289 15282172 根据勾股定理， 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 像像15,8,17,能够能够 成为直角三角形。成为直角三角形。 三条边长的三个正三条边长的三个正 整数，称为整数，称为勾股数勾股数. 解：132142169196365, 152225, 132142152. 根据勾股定理，这个三角形是直角
8、三 角形. 例例2 某港口某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”位于东西方向的海岸线上“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向 航行，“远航”号每小时航行航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每，“海天”号每 小时航行小时航行12 n mile它们离开港口一个半小时后分别位它们离开港口一个半小时后分别位 于点于点Q，R处，且相距处，且相距 30 n mile 如果知道如果知道 “远航”号沿东北方“远航”号沿东北方 向航行，能知道“海向航行，能知道“海 天”号沿哪个方向航天”号沿哪个方向航 行吗行吗？ R S Q
9、 P E N 解解:根据题意根据题意,如图所示如图所示 PQ=161.5=24 PR=121.5=18 QR=30 242+182=302, 即即 PQ2+PR2=QR2 QPR=900 由由“远航远航”号沿东北方向航行可号沿东北方向航行可 知知,QPS=450.所以所以RPS=450, 港口港口 E N P 161.5=24 121.5=18 30 Q R S 45 45 即“海天”号沿西北方向航行即“海天”号沿西北方向航行. B A、锐角三角形、锐角三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、钝角三角形、钝角三角形 D、等边三角形、等边三角形 练一练练一练 ABC三边三边a,b,c为边向外作正方形，为边向外作正方形， 以三边为直径作半圆，若以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成成 立，则立，则ABC是直角三角形吗？是直角三角形吗？ A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3 已知：如图已知：如图，四边形四边形ABCD 中中，B900，AB3，BC4， CD 12 ， AD 13, 求 四 边 形求 四 边 形 ABCD的面积的面积? A B C D 准备好了吗? S四边形 四边形ABCD =36 中考链接中考链接
