1、第第 9 讲讲 解析几何解析几何 第第 2 课时课时 双曲线与抛物线小题双曲线与抛物线小题 专题训练专题训练 作业作业(二十一二十一) 一、选择题 1(2020 浙大附中高考全真模拟考试)已知双曲线 C：y 2 2 x21，则焦点坐标为 ( ) A( 3，0) B(0， 3) C( 1，0) D(0，1) 2(2020 河南省濮阳市二模)若双曲线 C1与双曲线 C2：x 2 4 y 2 6 1 有共同的渐近 线，且 C1过点(2，3)，则双曲线 C1的方程为( ) A.y 2 2 x2 31 B. x2 3 y2 2 1 C.x 2 2 y 2 3 1 D.y 2 3 x 2 2 1 3 (2
2、020 山东济南市高三模拟)已知双曲线 C 的方程为x 2 16 y2 9 1， 则下列说法不 正确的是( ) A双曲线 C 的实轴长为 8 B双曲线 C 的渐近线方程为 y 3 4x C双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为9 4 4(2020 贵州铜仁市高三第二次模拟)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦 点分别为 F1， F2， 过 F1作倾斜角为 3的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于点 A， B，若OA 1 2(OB OF1 )，则该双曲线的离心率为( ) A2 B. 5 C2 3 D. 3 5(2020 石家庄市综合
3、训练)过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)右焦点 F 的直线 l交C的右支于A， B两点， 直线AO(O是坐标原点)交C的左支于点D.若DFAB， 且|BF|2|DF|，则双曲线 C 的离心率为( ) A. 10 2 B. 10 C. 29 3 D. 87 3 6(2020 天一大联考)已知 F1，F2为双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦 点，点 M 为 E 右支上一点若 MF1恰好被 y 轴平分，且MF1F230 ，则 E 的 渐近线方程为( ) Ay 2 2 x By 2x Cy 3x Dy 2x 7(2020 河北省正中实验中学模拟)已知双曲
4、线x 2 4 y 2 b21(b0)右焦点为 F1，过 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点， 抛物线 y216x 的焦点为 F， 若ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 1 13 2 ， B( 13，) C(1，3) D. 1，1 13 2 8(2020 石家庄市高考数学模拟八)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交 于 A，B 两点，设点 M(3，0)若MAB 的面积为 4 2，则|AB|( ) A2 B4 C2 3 D8 9(2020 昆明市“三诊一模”)已知 F 为抛物线 x22py(p0)的焦点，点 P 为抛 物线上一点，以线段
5、PF 为直径的圆与 x 轴相切于点 M，且满足|MF|PM|，|PF| 2，则 p 的值为( ) A4 B3 C2 D1 10 (2020 天一大联考)已知斜率为 k(k0)的直线 l 过抛物线 y24x 的焦点， 且与 圆(x2)2(y1)22 相切若直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|( ) A4 2 B4 3 C8 D12 11(2020 泸州市高三第三次教学质量诊断)已知点 F 为抛物线 C：y22px(p0) 的焦点， 过点 F 的直线 l 交 C 于 A， B 两点， 与 C 的准线交于点 M， 若BM 2BA ， 则|AB|的值等于( ) A.3 4p B2p C3p
6、 D.9 4p 12 (2020 潍坊高密市高三数学模拟一)已知抛物线 y22x 的焦点为 F， 准线为 l， P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M，N 两点，若PF 3MF ，则|MN|( ) A.16 3 B.8 3 C2 D.8 3 3 13.(2020 山东四县市高三联考)如图，点 F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A，B 分 别在抛物线 y28x 及圆(x2)2y216 的实线部分上运动， 且 AB 始终平行于 x 轴，则ABF 的周长的取值范围是( ) A(2，6) B(6，8) C(8，12) D(10，14) 14(2020 济宁嘉祥一中高三模拟)设双曲线 C：x
7、 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦 点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 分别与双曲线左右两支交于 M，N 两点，以 MN 为直径的圆过 F2，且MF2 MN 1 2MN 2，则以下结论正确的是( ) AF1MF2120 B双曲线 C 的离心率为 2 C双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x D直线 l 的斜率为 1 15抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，交抛物线 C 的准线于 D 点，若BD 2BF ，|FA|2，则下列结论不正确的 是( ) AF(3，0) B直线 AB 的方程为 y 3 x3 2 C点 B 到
8、准线的距离为 6 DAOB(O 为坐标原点)的面积为 3 3 16(2020 山东省高考统一模拟试卷三)设 M，N 是抛物线 y2x 上的两个不同的 点，O 是坐标原点若直线 OM 与 ON 的斜率之积为1 2，则下列结论不正确的 是( ) A|OM|ON|2 6 B以 MN 为直径的圆的面积大于 4 C直线 MN 过定点(2，0) D点 O 到直线 MN 的距离不大于 2 二、填空题 17已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线均与圆 x 2y26y50 相切，则双曲线 C 的离心率为_ 18 (2020 泸州市高三第三次教学质量诊断性考试)已知双曲线 C： x2
9、y2m(m0) 的焦距为 4 2，且它的渐近线与圆 x2(ym)216 有交点，连接所有交点的线 段围成了几何图形 M，则该几何图形 M 的面积为_ 19(2020 辽宁省抚顺市六校高三联考)已知点 P 在抛物线 y212x 上，点 Q 在 圆(x3)2y21 上，点 M(6，0)，令 t|MP| 2 |PQ| ，则 t 的最小值为_，此时 点 P 的横坐标为_ 20(2020 5 月湖北省七市联考)已知斜率为 k(k0)的直线 l 过抛物线 C：y26x 的焦点 F，与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 A1，B1，若SABB 1 SABA12，则 k
10、的值为_ 1(2020 石家庄市高中毕业班综合训练)已知 P(1，4)为抛物线 C：y22px(p0) 上一点，抛物线 C 的焦点为 F，则|PF|( ) A3 B5 C7 D8 2(2020 山东济宁市第五次模拟)抛物线 y22px(p0)的焦点是双曲线 x2y2p 的一个焦点，则 p( ) A2 2 B8 C4 D1 3 (2020 拉萨市高三第二次模拟)已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的一条渐近线方程为 xy0，则 a_ 4(2020 潍坊高密市高三模拟)已知双曲线 C 过点(3， 2)且渐近线为 y 3 3 x， 则双曲线 C 的标准方程为_ 5(2020 石家庄市高考数学模拟八
11、)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左右顶 点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一点，若PAB 为等腰三角形，PAB120 ， 则双曲线的离心率为_ 6(2020 山东师范附中模拟)已知双曲线 x2y 2 8 1，F1，F2是双曲线的左右两个 焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆 M 是F1PF2的内切圆则 M 的横坐标为 _，若 F1到圆 M 上点的最大距离为 4 3，则F1PF2的面积为_ 7(2020 山东省高考统一模拟)已知抛物线 y22px(p0)与直线 l：4x3y2p 0 在第一、四象限分别交于 A，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF |FB|，则 _ 8(
12、2019 洛阳统考)已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，直线 AB 与抛物线 C 相 交于 A，B 两点，若 2OA OB 3OF 0，则弦 AB 中点到抛物线 C 的准线的距 离为_ 9(2019 重庆调研)过抛物线 y24x 的焦点 F 分别作两条直线 l1，l2，直线 l1与 抛物线交于 A，B 两点，直线 l2与抛物线交于 C，D 两点，若 l1与 l2的斜率的平 方和为 1，则|AB|CD|的最小值为_ 参考解析答案参考解析答案 1 答案 B 解析 y 2 2 x21，a22，b21，c2a2b23，c 3. 又y 2 2 x21，焦点在 y 轴上，焦点坐标为(0， 3)故选 B
13、. 2 答案 D 解析 设双曲线 C1的方程为x 2 4 y 2 6 ，将(2，3)代入，可得 1 2， 故双曲线 C1的方程为y 2 3 x 2 2 1.故选 D. 3 答案 D 解析 由双曲线C的方程为x 2 16 y2 9 1得： a216， b29.a4， b3， ca2b2 5.双曲线 C 的实轴长为 2a8，故 A 正确双曲线 C 的渐近线方程为 y b ax 3 4x，故 B 正确取焦点 F(5，0)，则焦点 F(5，0)到渐近线 y 3 4x 的距离 d |35| 32423，故 C 正确双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为 ca54 1，故 D 错误 4 答案 C 解析 O
14、A 1 2(OB OF1 )， A 为 BF1的中点， 由题意可得直线方程为 y 3(x c)，当 x0 时，y 3c，A(0， 3c)，F1(c，0)，设 B(x，y)，20 xc，2 3cy0，xc，y2 3c，B(c，2 3c)，c 2 a2 12c2 b2 1，即12c 2 b2 c 2 a21 a2b2 a2 1b 2 a2，b 412a2c2，即(c2a2)212a2c2，整理可得 e414e2 10，即 e274 3(2 3)2，解得 e2 3.故选 C. 5 答案 C 解析 如图，取左焦点 F，连接 DF，AF，BF，设|AF|x， 则|AF|2ax， 由题意可得 DFAF，
15、所以 DFDF， 所以|DF|x， |DF|AF |2ax， 而|BF|2|DF|，所以|BF|4a2x，|AB|4a3x，进而可得|BF|4a2x2a 6a2x，在直角三角形 BAF中，|BF|2|AB|2|AF|2， 所以(6a2x)2(4a3x)2(2ax)2，解得 x4 3a， 所以|AF|4 3a，|DF| 4 3a，|DF| 10 3 a，|FF|2c， 在直角三角形 DFF中，16 9 a2 10 3 a 2 (2c)2，所以可得 e2 c a 2 29 9 ， 所以 e 29 3 ，故选 C. 6 答案 B 解析 由 MF1恰好被 y 轴平分，得 MF2垂直于 x 轴， 在 R
16、tMF1F2中，MF1F230 ，|MF1|2|MF2|， 又|MF1|MF2|2a，得到|MF2|2a，|F1F2|2c 3|MF2| 32a，即 c 3a， 得 b c2a2 2a，故渐近线方程为 y 2x.故选 B. 7 答案 D 解析 在抛物线 y216x 中，F(4，0)， 在双曲线x 2 4 y 2 b21 中，当 xc 时，y b2 2 ，取 A c，b 2 2 . 因为ABF 是锐角三角形，所以AFF1 4， 则 tanAFF1 b2 2 4ctan 41，即 b 282c. 因为双曲线x 2 4 y 2 b21 中 a2， 所以 b2c2a2c24，所以 c2482c， 解得
17、 1 13ca2，故 2c1 13，所以 1c a 1 13 2 . 即 1e0，解得 p 2.故选 C. 10 答案 C 解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)， 直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，即 kxyk0. 由于直线 l 与圆(x2)2(y1)22 相切， 所以 d|2k1k| k21 2，得 k1，所以 l 的方程为 yx1， 与抛物线 y24x 联立，得 x26x10，所以 x1x26，x1x21， 所以|AB| 1k2（x1x2）24x1x2 2 6248.故选 C. 11 答案 D 解析 如图， 由题意设直线 l： xkyp 2， k0， B(x1， y1)，
18、 A(x2， y2)，则 M p 2， p k ，由 xkyp 2， y22px， 联立得y22pkyp20， 则0， y1y22pk ， y1y2p2 .BM 2BA ， 点 A 是线段 BM 的中点，y2 p ky1 2 ，由可得 y 2 2pkp k 3 ， y14pk 3 p 3k， 代 入可整理得：8k47k210，解得：k21 8.又|AB|x1x2pk(y1y2)2p 2pk22p， |AB|9 4p.故选 D. 12 答案 B 解析 如图，抛物线 C：y22x 的焦点为 F 1 2，0 ，准线为 l：x 1 2，设 M(x1， y1)，N(x2，y2)，M，N 到准线的距离分别
19、为 dM，dN， 由抛物线的定义可知|MF|dMx11 2，|NF|dNx2 1 2，于是|MN|MF|NF| x1x21. PF 3MF ，PM2QM，易知：直线 MN 的斜率为 3，F 1 2，0 ， 直线 PF 的方程为 y 3 x1 2 ， 将 y 3 x1 2 ， 代入方程 y22x， 得 3 x1 2 2 2x， 化简得 12x220 x30， x1x25 3，于是|MN|x1x21 5 31 8 3，故选 B. 13 答案 C 解析 抛物线的准线 l：x2，焦点 F(2，0)， 由抛物线定义可得|AF|xA2， 圆(x2)2y216 圆心为(2，0)，半径为 4， FAB 的周长
20、|AF|AB|BF|xA2(xBxA)46xB， 由抛物线 y28x 及圆(x2)2y216 可得交点的横坐标为 2， xB(2，6)，6xB(8，12)，故选 C. 14 答案 C 解析 如图，作 F2DMN 于 D，则MF2 MN |MF2 |MN |cos F2MN|MN |MD |1 2MN 21 2|MN |2，所以|MD |1 2|MN |，所以 D 是 MN 中点，从而|F2M|F2N|， 根据双曲线定义|MF2|MF1|2a，|NF1|NF2|2a，所以|NF1| |NF2|MN|MF1|MF2|MN|2a2a，则|MN|4a， 又以 MN 为直径的圆过 F2，所以 MF2NF
21、2，MNF2NMF245 ，于是 F1MF2135 ，A 错误； 又得|MF2|NF2|2 2a，|NF1|(2 22)a， 由余弦定理|F1F2|2|NF2|2|NF1|22|NF2|NF1|cos45得 4c2(2 2a)2(2 2 2)2a222 2a(2 22)a 2 2 ，化简得c 2 a23，所以 e c a 3，B 错误； 由c 2 a2 a2b2 a2 3 得b 2 a22，即 b a 2，所以渐近线方程为 y 2x，C 正确； 易知NF1F2NMF245 ，所以 kMNtanNF1F20)的准线的垂线，垂 足分别为 G， E， BD 2BF ， 点 F 为 BD 的中点， |
22、BE|FB|， |BE|1 2|BD|，在 RtEBD 中，BDE30 .|AD|2|AG| 2|AF|224，|DF|AD|FA|6，|BF|6，则点 B 到准线的距离为 6， 故 C 正确；|DF|6，|KF|3，p3，则 F 3 2，0 ，故 A 错误；由BDE 30 ，易得BFx60 ，直线 AB 的方程为 ytan60 x3 2 3 x3 2 ，故 B 正确；连接 OA，OB，SAOBSOBFSAOF1 2 3 26sin120 1 2 3 22 sin603 3，故 D 正确 16 答案 B 解析 不妨设 M 为第一象限内的点， 当直线 MNx 轴时，kOMkON，由 kOMkON
23、1 2，得 kOM 2 2 ，kON 2 2 ， 所以直线 OM，ON 的方程分别为：y 2 2 x 和 y 2 2 x. 与抛物线方程联立，得 M(2， 2)，N(2， 2)， 所以直线 MN 的方程为 x2，此时|OM|ON|2 6， 以 MN 为直径的圆的面积 S2，故 A 正确、B 不正确 当直线 MN 与 x 轴不垂直时，设直线 MN 的方程为 ykxm(k0)， 与抛物线方程联立消去 x，得 ky2ym0，则 14km0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y2m k. 因为 kOMkON1 2，所以 y1 x1 y2 x2 1 2， 则 2y2y1x2x1y12y2
24、2，则 y1y22， 所以m k2，即 m2k，满足 0， 所以直线 MN 的方程为 ykx2k，即 yk(x2) 综上可知，直线 MN 为恒过定点 Q(2，0)的动直线，故 C 正确； 易知当过点 O 的直线与 MN 垂直时，原点 O 到直线 MN 的距离最大，最大距离 为 2， 即原点 O 到直线 MN 的距离不大于 2.故 D 正确 17 答案 3 2 解析 双曲线的渐近线方程为 y b ax，即 bxay0，圆 x 2y26y50 化 为标准方程是 x2(y3)24，若渐近线与此圆相切，则 3a a2b2 3a c 2，则 e c a 3 2. 18 答案 16 解析 由双曲线 C：x
25、2y2m(m0)，得x 2 m y2 m1， 则 c a2b2 2m，则 2m2 2，得 m4. 双曲线的渐近线方程为 y x， 圆 x2(ym)216 化为 x2(y4)216， 如图： 联立 yx， x2（y4）216，解得 B(4，4)； 联立 yx， x2（y4）216，解得 A(4，4) 几何图形 M 的面积为1 28416. 19 答案 4 138 2 134 解析 如图， 设抛物线的焦点 F(3， 0)， 点 P(x0， y0)， 则 y0212x0， |MP|2(x06)2y02x0236， 又抛物线的焦点与圆心重合， 故要使 t 取得最小值， 则|PQ|应取最 大值， 由抛物
26、线的定义可知， |PQ|max|PF|1x04，tx 0236 x04 （x 04）28（x04）52 x04 (x04) 52 x0484 138， 当且仅当 x04 52 x04，即 x02 134 时，等号成立 20 答案 2 2 解析 依题意可得 F 3 2，0 ，直线 l：yk x3 2 ， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A1(x1，0)，B1(x2，0)， 联立 yk x3 2 ， y26x， 消去 y 并整理得 k2x2(3k26)x9 4k 20， 所以 x1x23k 26 k2 3 6 k2，x1x2 9 4， 设 A1，B1到直线 l 的距离分别为 d1，d2
27、， 则 d1 kx13 2k k21 k x13 2 k21 ，d2 kx23 2k k21 k x23 2 k21 ， 所以SABB 1 SABA1 d2 d1 x23 2 x13 2 2，因为 x13 2 x23 2 0，所以 k2 2. 备选题备选题 1 答案 B 解析 P(1，4)为抛物线 C：y22px(p0)上一点，即 422p. 可得 p8，所以 F(4，0)，则|PF|5.故选 B. 2 答案 B 解析 抛物线 y22px(p0)的焦点为 p 2，0 ， 双曲线 x2y2p，化为x 2 p y 2 p 1， 则 c22p，c 2p，焦点为( 2p，0)或( 2p，0)， 所以有
28、p 2 2p，解得 p0 或 p8，又因为 p0， 所以 p8.故选 B. 3 答案 1 解析 双曲线x 2 a2y 21(a0)的渐近线方程为x ay0， 由于该双曲线的一条渐近线方程为 xy0，1 a1，解得 a1. 4 答案 x2 3 y21 解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为 y 3 3 x，可化为：x 3y0， 则可设双曲线方程为 x23y2(0)， 将点(3， 2)代入 x23y2(0)， 得 323( 2)2(0)，即 3，故双曲线方程为x 2 3 y21. 5 答案 2 解析 设 P(m，n)在第二象限，由PAB 为等腰三角形，PAB120 ，可得|PA| |AB|2a， 可
29、得 m2acos120 a2a，n2asin60 3a，即 P(2a， 3a)， 由 P 在双曲线上，可得4a 2 a2 3a 2 b2 1， 即有b 2 a21，即 ab，可得 e c a 1b 2 a2 2. 6 答案 1 24 3 解析 双曲线的方程为 x2y 2 8 1，则 a1，b2 2，c 183. 设圆 M 分别与 PF1，PF2，F1F2相切于 B，C，A， 根据双曲线的定义可知|PF1|PF2|2，根据内切圆的性质可知|PF1|PF2|PB| |F1B|(|PC|F2C|)|F1B|F2C|F1A|F2A|2 ， 而|F1A|F2A|F1F2|6 . 由得：|F1A|4，|F
30、2A|2，所以 A(1，0)， 所以直线 MA 的方程为 x1，即 M 的横坐标为 1. 设 M 的坐标为 M(1，r)(r0)，则 F1到圆 M 上点的最大距离为|MF1|r4 3， 即 42r2r4 3，解得 r4 3 3 . 设直线 PF1的方程为 yk(x3)(k0)，即 kxy3k0. M 到直线 PF1的距离为 k4 3 3 3k 1k2 4 3 3 ，解得 k 3. 所以直线 PF1的方程为 y 3(x3) 由 y 3（x3）， x2y 2 8 1， 且 P 在第一象限，解得 P(5，8 3) 所以|PF1|（53）2（8 3）216，|PF2|PF1|2a14. 所以F1PF2
31、的面积为1 2(|PF1|PF2|F1F2|) r 1 2(16146) 4 3 3 24 3. 7 答案 4 解析 直线 l：当 y0 时，xp 2， 直线 l 过抛物线的焦点，A，F，B 三点共线， 联立直线与抛物线方程， y 22px， 4x3y2p0，得 8x 217px2p20， 解得：xA2p，xBp 8，|AF|xA p 2 5 2p，|BF|xB p 2 5 8p， |AF | |FB |4. 8 答案 9 4 解析 方法一： 依题意， 得抛物线的焦点 F(0， 1)， 准线方程是 y1， 因为 2(OA OF )(OB OF )0，即 2FAFB0，所以 F，A，B 三点共线
32、设直线 AB： ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 ykx1， x24y， 得 x24(kx1)，即 x24kx40，x1x24. 又 2FA FB0，因此 2x 1x20. 由解得 x122， 弦 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为1 2(y11)(y21) 1 2(y1y2)1 1 8(x1 2x22)15x1 2 8 19 4. 方法二： 依题意， 得抛物线的焦点 F(0， 1)， 准线方程是 y1， 因为 2(OA OF ) (OB OF )0，即 2FAFB0，所以 F，A，B 三点共线不妨设直线 AB 的 倾斜角为 ，0 2，|FA|m，点 A 的纵坐
33、标为 y1，点 B 的纵坐标为 y2，则有 |FB|2m.分别由点A， B向抛物线的准线作垂线， 垂足分别为A1， B1， 作AMBB1 于 M，则有|AA1|AF|m，|BB1|FB|2m，|BM|BB1|AA1|m，sin |BM| |AB| 1 3，|AF|y112|AF|sin，|AF| 2 1sin， 同理|BF|y21 2 1sin， |AF|BF| 2 1sin 2 1sin 4 1sin2 9 2，因此弦 AB 的中点到抛物线 C 的 准线的距离等于1 2(y11)(y21) 1 2(y1y2)1 1 2(|AF|BF|) 9 4. 9 答案 24 解析 由题意，抛物线 y24
34、x 的焦点 F(1，0)，设直线 l1：yk1(x1)(k10)， 直线 l2： yk2(x1)(k20)， 由题意可知， k12k221， 联立得 yk1（x1）， y24x， 整理得 k12x2(2k124)xk120，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22 4 k12， 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得 x3x42 4 k22，由抛物线的性质可得|AB| x1x2p4 4 k12，|CD|x3x4p4 4 k22，所以|AB|CD|8 4 k12 4 k228 4（k 12k22） k12k22 8 4 k12k228 4 k12k22 2 224，当且仅当 k1 2k221 2时，上式 “”成立，所以|AB|CD|的最小值为 24.
