1、第二章第二章 函数函数 第一节第一节 函数及其表示函数及其表示 学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函 数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A、B 设A、B是两个 非空数集 设A、B是两个 非空集合 对应关系 f:AB 按照某种确定的对应关系f,使对于集 合A中的 任意 一个数x,在集合 B中都有 唯一确定 的数f(x)与 之对应 按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意 一个元素x,在集合B中都有 唯一确定
2、的元素y与之对应 名称 称f:AB为从集合A到集合B的一 个函数 称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映 射 记法 y=f(x),xA 对应f:AB 提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中 “定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点. 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的值 相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 值域 . (2)函数的三要素: 定义域 、值域和对应关系. (3)相等函数:若两个函数的 定义域 相同,且 对
3、应关系 完全一致,则这两个函数 相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系 ,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. 提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相 交. 知识拓展 1.常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于 0. (2)偶次根式函数的被开方式大于等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y=a x(a0 且 a1),y=sin x,y=cos x的定义域均为
4、 R. (5)y=tan x的定义域为, | 且 , -. (6)函数f(x)=x 0的定义域为x|xR 且 x0. (7)y=logax(a0,且a1)的定义域为x|x0. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k0)的值域是 R. (2)y=ax 2+bx+c(a0)的值域:当 a0 时,值域为 - , );当a0 且 a1)的值域是(0,+ ). (5)y=logax(a0 且a1)的值域是 R. 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)函数y=1 与y=x 0是同一个函数. ( ) (2)f(x)= - + - 是一个函数. ( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同
5、,则这两个函数相等. ( ) (4)函数y=f(x)的图象与直线x=1 的交点最多有 1 个.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可 能是 ( ) 答案 B 3.(新教材人教 A 版必修第一册 P65 例 2 改编)函数f(x)= - 的定义域为 ( ) A.(0,+ ) B.0,+ ) C.(1,+ ) D.1,+ ) 答案 A 要使f(x)= - 有意义,需满足 2 x-10,解得 x0,函数f(x)= - 的定义域为 (0,+ ),故选 A. 4.(2020 山东威海一中期中)已知函
6、数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-2)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(- ,- ) C.(-1,0) D.( , ) 答案 D f(x)的定义域为(-1,0), -12x-20,解得 x1,函数 f(2x-2)的定义域为( , ),故选 D. 5.已知f(x)是一次函数,且f f(x)=x+2,则f(x)= ( ) A.x+1 B.2x-1 C.-x+1 D.x+1 或-x-1 答案 A 因为f(x)是一次函数,所以可设f(x)=kx+b(k0).由ff(x)=x+2 得k(kx+b)+b=x+2, 即k 2x+kb+b=x+2,所以 k 2=1,kb+b=2,解得
7、k=1,b=1,则f(x)=x+1.故选 A. 函数、映射概念的理解 典例 1 (1)给出下列四个对应: A=R,B=R,对应关系f:xy,y= ,xA,yB; A=, *-,B=, , *-,对应关系f:ab,b= ; A=x|x0,B=R,对应关系f:xy,y 2=x,xA,yB; A=x|x是平面内的矩形,B=y|y是平面内的圆,对应关系f:每一个矩形都对应 它的外接圆. 其中是从A到B的映射的为 ( ) A. B. C. D. (2)下列函数中,与函数y=x+1 是相等函数的是 ( ) A.y=( ) 2 B.y= +1 C.y= +1 D.y= +1 答案 (1)B (2)B 解析
8、(1)对于,当x=-1 时,y的值不存在,所以不是从A到B的映射;对于,A,B是两 个集合,分别用列举法表述为A=2,4,6,B=, , , , ,-,由对应关系f:ab,b= 知,是 从A到B的映射;不是从A到B的映射,如A中的元素 1 对应B中两个元素1;是从A到B 的映射. (2)对于 A,函数y=( ) 2的定义域为x|x-1,与函数 y=x+1 的定义域不同,不是相等 函数;对于 B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于 C,函数y= +1 的定义域为 x|x0,与函数y=x+1 的定义域不同,不是相等函数;对于 D,两个函数的定义域相同,但对应关 系不同,不是相等函数
9、,故选 B. 名师点评 1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数. 2.判断一个从集合A到集合B的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一, 也可以多对一,但不能一对多. 1.下列对应关系: A=1,4,9,B=-3,-2,-1,1,2,3, f:xx的平方根; A=R,B=R, f:xx的倒数; A=R,B=R, f:xx 2-2; A=-1,0,1,B=-1,0,1, f:xx 2. 其中是A到B的映射的是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( ) A.f(x)=|x|,g(x)= B.f(x)= ,g(x)=( ) 2
10、C.f(x)= - - ,g(x)=x+1 D.f(x)= - ,g(x)= - 答案 A 函数的定义域 角度一 具体函数的定义域 典例 2 (1)函数f(x)= +lg(6-3x)的定义域为 ( ) A.(- ,2) B.(2,+ ) C.-1,2) D.-1,2 (2)函数f(x)= - +lg - - 的定义域为 ( ) A.(2,3) B.(2,4 C.(2,3)(3,4 D.(-1,3)(3,6 答案 (1)C (2)C 解析 (1)要使函数f(x)= +lg(6-3x)有意义,则 , - , 即-1x2.故函数f(x) 的定义域为-1,2). (2)要使函数f(x)有意义,需满足
11、- , - - , 即 , ( - )( - ) - , 解得 2x3 或 3x4,故f(x)的定义域为(2,3)(3,4. 角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围 典例 3 (1)(2019 河北衡水联考)若函数y= - 的定义域为 R,则实数 m的取值范围 是 ( ) A.( , + B.( , ) C.* , + D.* , ) (2)若函数f(x)= 的定义域为x|1x2,则a+b的值为 . 答案 (1)D (2)- 解析 (1)要使函数的定义域为 R, 则mx 2+4mx+30 恒成立, 当m=0 时,显然满足条件; 当m0 时,由=(4m) 2-4m30, 得 0m . 综上可知
12、,0m . (2)函数f(x)= 的定义域是不等式ax 2+abx+b0 的解集. 由题意知不等式ax 2+abx+b0 的解集为x|1x2, 所以 , - , , 解得 - , - , 所以a+b=- -3=- . 角度三 抽象函数的定义域 典例 4 已知函数f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f ( )+f ( - )的定义域 是 . 答案 * , + 解析 因为函数f(x)的定义域是0,2,所以函数g(x)=f( )+f( - )中的自变量 x需要 满足 , - , 解得 x ,所以函数 g(x)的定义域是* , +. 变式探究 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=
13、 ( ) - 的定义域是 . 答案 0,1) 解析 由题意得 , - , 解得 0 x0 恒成立, 则a=0 或 , (- ) - , 解得 0a1 时, f(x)=x+ +a4+a,当且仅当 x=2 时,等号成立. 当x1 时, f(x)=x 2-2ax+9 为二次函数,要想在 x=1 处取最小值,则函数图象的对称轴要满 足x=a1,并且f(1)4+a,即 1-2a+9a+4,解得a2. 角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围) 典例 7 设函数f(x)= , , , , 则f(-1)= ;若f(a)f(a-1),则实数a的取值 范围是 . 答案 -1;(- , ) 名师点评 分段函数问
14、题的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的 解析式代入求解. (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 1.(2020 辽宁盘锦一中模拟)已知函数f(x)= - , , , ,则 f(f(x)2 的解集为 ( ) A.(1-ln 2,+ ) B.(- ,1-ln 2) C.(1-ln 2,1) D.(1,1+ln 2) 答案 B 因为当x1 时, f(x)=x 3+x2,当 x1 时, f(x)=2 - 2, 所以f(f(x)2
15、等价于f(x)1,即 2 - 1,解得x1-ln 2, 所以f(f(x)2 的解集为(- ,1-ln 2),故选 B. 2.(2018 课标全国文,12,5 分)设函数f(x)= - , , , , 则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围 是 ( ) A.(- ,-1 B.(0,+ ) C.(-1,0) D.(- ,0) 答案 D 函数f(x)= - , , , 的图象如图所示: 由f(x+1)f(2x)得, , ,得, , .x1,舍去. 当a-10,即a1 时,2 a-1-1= ,解得 a=log231,成立.故a=log23. 微专题新定义函数的有关计算 新定义函数问题是近几年高考中
16、函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准 确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下 的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质. 典例 (2020 浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数 sgn x= , , , , - , , 若f(x)是定义在 R 上的减函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a1),则 ( ) A.sgng(x)=sgn x B.sgng(x)=-sgn x C.sgng(x)=sgnf(x) D.sgng(x)=-sgnf(x) 答案 A 解析 由题意知g(x)=f(x)-f(ax),
17、且f(x)是 R 上的减函数, 当x0 时,xf(ax), 则g(x)=f(x)-f(ax)0, 此时 sgng(x)=1; 当x=0 时,x=ax,则有f(x)=f(ax), 则g(x)=f(x)-f(ax)=0, 此时 sgng(x)=0; 当xax,则有f(x)f(ax), 则g(x)=f(x)-f(ax)0, 此时 sgng(x)=-1. 综上所述,sgng(x)=sgn x. 故选 A. 根据新定义得到f(x)的表达式,判断函数f(x)在定义域的单调性,可得结果. 1.(2020 辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “” 如下:当ab 时,ab=a;当a(2x-
18、1) sgn x的解集 为 . 答案 - - 解析 当x0 时,不等式可转化为x+22x-1,解得 0 x1,不等式成立; 当x - ,因为 2x-10,所以等价于(x+2)(2x-1)1,即 2x 2+3x- 30,解得- - x0,1+2x1,0 2, 11+ 3,即 1f(x)3.当 1f(x)2 时,f(x)=1;当 2f(x)3 时,f(x)=2.综上,函数 y=f(x)的值域为1,2,故选 D. B 组 能力拔高 10.已知函数f(x)=( - ) - , , , , 若f(x)的值域为 R,则实数a的取值范围是( ) A.(1,2 B.(- ,2 C.(0,2 D.2,+ ) 答
19、案 A 当x1 时, f(x)=1+log2x1;当x1 时, f(x)=(a-1)x+4-2a必须是增函数,且值域 区间的右端点的值大于或等于 1,才能满足f(x)的值域为 R,可得 - , - - ,解得 11 时,由f(x0)=log3(x0-1)=1 得x0-1=3,得x0=4(满足x01),故选 C. 12.(2020 北京,11,5 分)函数f(x)= +ln x 的定义域是 . 答案 (0,+ ) 解析 要使函数f(x)有意义,则, , , 故x0, 因此函数f(x)的定义域为(0,+ ). 13.(2019 湖南衡阳模拟)已知函数f(x)= - ,若 f(x)+f ( )=3,
20、则 f(x)+f(2-x)= . 答案 6 解析 f(x)= - , f(x)+f ( )=3, f(x)+f( )= - + - = - - - = ( - ) - =3,解得a=3, f(x)= - ,f(x)+f(2-x)= - + - - - = ( - ) - =6. C 组 思维拓展 14.(2020 广东珠海一中模拟)已知x为实数,用x表示不超过x的最大整数,例如1.2=1,- 1.2=-2,1=1.对于函数f(x),若存在mR 且mZ,使得f(m)=f(m),则称函数f(x)是函 数. (1)判断函数f(x)=x 2- x,g(x)=sin x 是不是函数(只需写出结论); (2)已知f(x)=x+ ,请写出 a的一个值,使得f(x)为函数,并给出证明. 解析 (1)f(x)=x 2- x 是函数,g(x)=sin x不是函数. (2)a= . 证明:设kN *,取 a(k 2,k2+k),令m=k,m= ,则一定有 m-m= -k= - (0,1),且f(m)=f(m), 所以f(x)是函数.
