1、第五节第五节 指数与指数函数指数与指数函数 学习要求:1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 1.指数幂的概念 (1)根式的概念: 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n=a(aR,n1,nN*) ,那么x叫做a的n次方 根 n1 且nN * 当n为奇数时,正数的n次方根是一个 正数 ,负数的n 次方根是一个 负数 0 的n次方根是 0 当n为偶数时,正数的n次方根有 两个 ,它们互为 相反数 负数没有偶次方根 (2)
2、两个重要公式: = 为奇数 - 为偶数 ( ) n= a (注意:a 必须使 有意义). 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示: (i)正数的正分数指数幂: = (a0,m,nN *,n1); (ii)正数的负分数指数幂: - = = (a0,m,nN *,n1); (iii)0 的正分数指数幂是 0 ,0 的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质: (i)a ras= a r+s (a0,r,sQ); (ii)(a r)s= a rs (a0,r,sQ); (iii)(ab) r= a rbr (a0,b0,rQ). 3.指数函数的图象与性质 a1 0a0 时, y1 ; 当
3、x0 时, 0y1 ; 当x0 时, 0y1 当x1 在(- + 上是 单调增函数 在(- + 上是 单调减函数 知识拓展 指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=a x,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图 象,底数a,b,c,d与 1 之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可以得到以下规律:在第一象限 内,指数函数y=a x(a0,且 a1)的图象越高,底数越大. 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1) 与( ) n都等于 a(nN *). ( ) (2)函数y=2 3x与 y=2 x+1都不是指数函数. ( ) (3)若a m0,且 a1),则
4、mn. ( ) (4)当a0,且 a1)的图象必经过点 ( ) A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2) 答案 D 令x-2=0 得x=2,则f(2)=a 0+1=2,所以 f(x)的图象必过点(2,2). 3.某种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品 的年产量y随年数x变化的函数解析式为 ( ) A.y=a(1+p%) x(0 xm,xN) B.y=a(1+p%) x(0 xm,xN) C.y=a(1+xp%)(0 xm,xN) D.y=a(1+xp%)(0 xm,xN) 答案 B 设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a
5、(1+p%),第二年为 y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%) 2,第三年为 y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%) 3,则 y=a(1+p%) x(0 xm且xN). 4. , , 三个数从小到大的排列顺序是 . 答案 解析 = , = , = ,所以 0 时, f(x)0 时,(a-1) x1 恒成立,所以 0a-11,所以 1a0)的值是 ( ) A.1 B.a C. D. (2) - + - + - + - = . 答案 (1)D (2) -1 角度二 化简求值 典例 2 化简下列各式: (1)( ) +2-2( ) - -(0.01)0.5; (2) b-
6、2 (-3 - b-1 4 b-3 . 解析 (1)原式=1+ ( ) -( ) =1+ - =1+ - = . (2)原式=- - b-3 4 b-3 =- - b-3 - ) =- - - =- =- . 规律总结 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数,形式力求
7、 统一. 1. - - - = . 答案 解析 原式= - - = - - - - = . 2.( ) - (- ) + -(- ) = . 答案 2 解析 原式=( ) 1+ -( ) =2. 指数函数的图象及应用 典例 3 (1)函数f(x)=-3 |x|+1 的大致图象是 ( ) (2)若曲线|y|=2 x+1 与直线 y=b没有公共点,则b的取值范围是 . 答案 (1)A (2)-1,1 解析 (1)因为函数f(x)=-3 |x|+1, 所以f(-x)=-3 |-x|+1=-3|x|+1=f(x), 即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除 B,D. 当x=0 时, f(0)
8、=-3 0+1=0,即函数 f(x)的图象过原点,故排除 C.故选 A. (2)作出曲线|y|=2 x+1(如图),要使该曲线与直线 y=b没有公共点,只需-1b1. 变式探究 本典例(2)中若曲线y=|2 x-1|与直线 y=b有两个公共点,求b的取值范围. 解析 作出曲线y=|2 x-1|与直线 y=b如图所示.由该图得b的取值范围是(0,1). 方法技巧 应用指数函数图象的 4 个技巧 (1)画指数函数y=a x(a0,a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(- ). (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足, 则排除. (3)
9、对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、 伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与 1 的大小关系不确定时,应注意分类讨论. (4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 1.函数y=a x- (a0,且 a1)的图象可能是 ( ) 答案 D a0 0 函数 y=a x需向下平移 个单位长度,不过(0,1)点,所以排除 A, 当a1 时,0 1,所以排除 B, 当 0a1,所以排除 C,故选 D. 2.已知函数f(x)=a x-2+7(a0,且 a1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂 函数g(x)的图象是
10、( ) 答案 D 由题意知f(2)=a 2-2+7=8,所以定点 P的坐标为(2,8),设幂函数g(x)=x ,将 P(2,8)代 入得 2 =8,故 =3,即g(x)=x 3,故选 D. 3.若关于x的方程|a x-1|=2a(a0,且 a1)有两个不相等的实数根,则a的取值范围 是 . 答案 ( ) 解析 方程|a x-1|=2a(a0,a1)有两个不相等的实数根等价于函数 y=|a x-1|的图象与 y=2a的 图象有两个交点. 当 0a1 时,如图 所以 02a1,即 0a1 时,如图 而y=2a1,不符合题意. 所以 0a . 指数函数的性质及应用 角度一 比较指数幂的大小 典例 4
11、 (1)已知a=( ) ,b= - ,c=( ) ,则下列关系式中正确的是 ( ) A.cab B.bac C.acb D.abc (2)设a=0.23 0.32,b=20.01,c=0.320.23,则 a,b,c的大小关系为 . 答案 (1)B (2)ac ,所以( ) ( ) ( ) ,即 bac. (2)0.23 0.320.230.230.320.23120.01,所以 acf(3a)的解集为 ( ) A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4) (2)已知( ) 91-x,则 x的取值范围是 . (3)已知 4 x-2x+1-80,所以 ex+11,所以-2-
12、 0,所以-11+ - m 2-4m+2 恒成立,求实数 m的取值范围. 答案 (1)(- 1 解析 (1)令u=-x 2+2x+1, y=( ) 为减函数 函数 y=( ) - 的单调减区间即函数 u=-x 2+2x+1 的单调增区间. 又u=-x 2+2x+1 的单调增区间为(- 1 函数f(x)的单调减区间为(- 1. 2 f(x)是 R 上的单调递增函数. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x), a- - =-a+ 2a=2 a=1, f(x)=1- ,令 t=e x+1 ex0, t1,又g(t)=1- 在 1 + 上为增函数, -1g(t)1,即-1f(x m 2-4m+2 对
13、任意的实数 x恒成立 m 2-4m+2-1,即 m 2- 4m+30 1m3,故实数m的取值范围是1,3. 规律总结 1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则. 2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最 值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 1.不等式( ) 0,a1,x0)的图象经过点(3,0.5). (1)求a的值; (2)求函数f(x)=a x-2(x0)的值域. 解析 1 函数f(x)=a x-2的图象经过点(3,0.5 a3-2=0.5 a= . (2)由(1)可知f(x)=( ) - (x0 0 0 函数
14、 f(x)的值域为(0,4. A 组 基础达标 1.已知a0,则 = ( ) A. B. C. D. 答案 D 2.若 3a4,则化简 - + - 的结果是 ( ) A.7-2a B.2a-7 C.1 D.-1 答案 C 3.已知在同一平面直角坐标系下,指数函数y=a x和 y=b x的图象如图所示,则下列关系中正确的是 ( ) A.ab1 B.bab1 D.ba1 答案 C 由题图知a,b均大于 1, 因为y=a x与 x=1 的交点在y=b x与 x=1 的交点上方,所以bb1.故选 C. 4.(2020 山东济宁二中期末)若函数f(x)=a |2x-4|(a0,且 a1),且f(1)=
15、,则 f(x)的单调递减区 间是 ( ) A.(- 2 B.2 + C.-2 + D.(- -2 答案 B 由f(1)= 得 a 2= ,解得 a= 或 a=- (舍去),即 f(x)=( ) - .因为 y=|2x-4|在(- 2 上单调递减,在2 + 上单调递增,且y=( ) 在 R 上为减函数,所以 f(x)在(- 2上单调递增, 在2 + 上单调递减.故选 B. 5.(2019 安徽肥东第二中学高一期中)若函数f(x)= - - - 是定义域内的单调递增函 数,则实数a的取值范围是 ( ) A.( ) B.* ) C.(1,3) D.(2,3) 答案 B 函数f(x)= - - - 是
16、定义域内的单调递增函数, - - - 解得 a1, 所以f(x)=x-4+ =x+1+ -52 -5=1, 当且仅当x=2 时取等号,此时函数f(x)的最小值为 1,所以a=2,b=1, 故g(x)=2 |x+1|= - ( ) - 函数g(x)的图象由函数y= ( ) 的图象向左平移 1 个单位长度得到. 再结合指数函数的图象及选项可知 A 正确. 8.函数y= (xR)的值域为 ( ) A. 0 + B.(0,1) C. 1 + D.( ) 答案 B y= = - =1- , 0 1 -1- 0 01- 1,即 0y1,即函数的值域为(0,1),故选 B. 9.已知函数f(x)=|2 x-
17、1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( ) A.a0,b0,c0 B.a0 C.2 -a2c D.2 a+2c2 答案 D 作出函数f(x)=|2 x-1|的图象,如图中实线所示, abf(c)f(b), 结合图象知f(a)1,a0,0f(c)1,0c1 02 a1,12cf(c 1-2 a2c-1, 即 2 a+2c0,且 a1)的图象必过定点A,则点A的坐标是 . 答案 (2,4) 解析 指数函数的图象恒过定点 0 1 令 4-2x=0,得x=2 f(2)=a 0+3=4 点 A的坐标是 (2,4). 11.已知函数f(x)= - - 若 f(f(a)=4,则a= .
18、答案 1 或-1 解析 令m=f(a),则f(m)=4,当m0 时,2 m=4,解得 m=2;当m0 时, -m 2-2m+1=4,无解.故 f(a)=2,当a0 时,2 a=2,解得 a=1;当a0 时,-a 2-2a+1=2,解得 a=-1.综 上,a=1 或a=-1. 12.(2020 上海高三专题练习)设函数f(x)= - 若f(f(a)=2 f(a),则 a的取值范围 是 . 答案 * ) 解析 令f(a)=t,则f(t)=2 t, 当t1 时,3t-1=2 t, 作出直线y=3t-1(t1)和函数y=2 t(t1)的图象如图所示. 由图象可知,当t1 时,3t-1=2 t无解, 当
19、t1 时,2 t=2t恒成立,由 f(a)1 得 当a1 时,3a-11,解得 a0,且 a1)在-1,1上的最大值是 14,则实数a的值为 . 答案 或 3 解析 令t=a x(a0,且 a1),则原函数可转化为f(t)=(t+1) 2-2(t0). 当 0a1,x-1,1时,t* +, 因为f(t)在* +上是增函数,所以f(t)max=f(a)=(a+1) 2-2=14,解得 a=3 或a=-5(舍去).综 上,a= 或 3. C 组 思维拓展 14.已知函数f(x)= - - - . (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)证明:函数f(x)在定义域内是增函数; (3)求函数f(x)的
20、值域. 解析 (1)易知f(x)的定义域为 R,且f(-x)= - - - =-f(x),所以函数 f(x)是奇函数. (2)证明:f(x)= - - - = - =1- , 任取x1,x2R,且x2x1,则 f(x2)-f(x1)=( - )-( - ) =2 - . 因为x2x1,所以 1 -1 0,又 1 +10,1 +10, 所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1), 所以函数f(x)在定义域内是增函数. (3)令y=f(x),由y= - - - ,解得 10 2x= - ,因为 10 2x0,所以-1y0,且 a1)是定义在(- + 上的奇函数. (1)求a的值; (2)
21、求函数f(x)的值域; (3)当x(0,1时,tf(x)2 x-2 恒成立,求实数 t的取值范围. 解析 (1)因为f(x)是定义在(- + 上的奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以 1- - =-1+ ,即 a=2. (2)记y=f(x),即y= - ,所以 2 x= - .由 2 x0 得 - 0, 解得-1y1,所以f(x)的值域为(-1,1). (3)由tf(x)2 x-2 得 - 2 x-2, 即(2 x)2-(t+1)2x+t-20.令 u=2 x, 因为x(0,1,所以u(1,2, 即当u(1,2时,u 2-(t+1)u+t-20 恒成立. 所以 - - - - 解得 t0. 故实数t的取值范围是0 + .
