1、必备知识 整合 关键能力 突破 第四节第四节 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求: 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解函数的性质. 1 x 1 2 x 必备知识 整合 关键能力 突破 1.二次函数二次函数 (1)二次函数的定义: 形如 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式: (i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0); (ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). 必备
2、知识 整合 必备知识 整合 关键能力 突破 a0 a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”. (2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都经过点 (0,0) 、(1,1). b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大. (ii)当0时,幂函数y=x有下列性质: 必备知识 整合 关键能力 突破 a.图象都经过点 (1,1) . b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小. (3)五种常见幂函数的图象: 必备知识 整合 关键能力 突破 函数特征性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R 0,+) x|xR 且x
3、0 值域 R 0,+) R 0, +) y|yR 且y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 1 2 x (4)五种常见幂函数的性质: 必备知识 整合 关键能力 突破 单调性 增 x0, +)时, 增,x (-,0 时,减 增 在0, +)上增 x(0,+) 时,减, x(-,0) 时,减 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 必备知识 整合 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)函数y=2是幂函数.( ) (2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( ) (3)当n0),g(x)=logax的图象可能是( ) D 必备知识 整合 关键能力 突破 解
4、析解析 由于本题中函数为y=xa(x0)与y=logax,对于选项A,没有幂函数图 象,故A错误; 对于选项B,由y=xa(x0)的图象知a1,而由y=logax的图象知0a0)的图象知0a1,故C错误; 对于选项D,由y=xa(x0)的图象知0a1,而由y=logax的图象知0a0时,x2-x-6=0,解得x=-2(舍去)或x=3; 当x0时,x2+x-6=0,解得x=2(舍去)或x=-3; 故f(x)的零点个数为2.故选B. 必备知识 整合 关键能力 突破 5.若a0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( ) A.5-a5a0.5a B.5a0.5a5-a C.0.5a5-a5a D.5
5、a5-a0.5a B 解析解析 5-a=.因为a0,所以函数y=xa在区间(0,+)内单调递减.又0.5 5,所以5a0.5a5-a. 1 5 a 1 5 必备知识 整合 关键能力 突破 6.(易错题)已知f(x)=x3,若当x1,2时, f(x2-ax)+f(1-x)0,则a的取值范围是 ( ) A.a1 B.a1 C.a D.a 3 2 3 2 C 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 f(x)=x3在区间(-,+)内为奇函数且单调递增. 由f(x2-ax)+f(1-x)0 得f(x2-ax)f(x-1), x2-axx-1,即x2-(a+1)x+10. 设g(x)=x2-(a+1)x
6、+1(1x2), 则解得a.故选C. 【易错分析】【易错分析】 忽视函数的奇偶性. (1)0, (2)0, g g 3 2 必备知识 整合 关键能力 突破 典例典例1 (1)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限的图象如图所示,则m与n的 取值情况为 ( ) 考点一考点一 幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质 关键能力 突破 D 必备知识 整合 关键能力 突破 A.-1m0n1 B.-1n0m C.-1m0n D.-1n0m1 (2)(2020四川高三二模)已知点(3,28)在函数f(x)=xn+1的图象上,设a=f ,b= f(ln ),c=f ,则a,b,c的大小关系为( ) A
7、.bac B.abc C.bca D.cab 3 3 5 4 D 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)在第一象限作出幂函数y=xm,y=xn,y=x,y=x-1的图象,在(0,1) 内取同一 值x0, 作直线x=x0,与各图象有交点, 易得0m1,-1n0, 故选D. 必备知识 整合 关键能力 突破 (2)根据题意,点(3,28)在函数f(x)=xn+1的图象上,则有28=3n+1,解得n=3, 则f(x)=x3+1,易得f(x)在R上为增函数, 又=1ln ,所以ca1,y=在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,排除B. 故选A. 4 3 x 43 x 4 3 4 3 x 必备
8、知识 整合 关键能力 突破 2.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+)上为增函数,则实数m的值为( ) A.0 B.1 C.1或2 D.2 D 解析解析 因为f(x)为幂函数,所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2. 因为f(x)在(0,+)上为增函数,所以2m-10,即m,所以m=2.故选D. 1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 3.(2019安徽合肥一中高三模拟)已知幂函数f(x)=xn的图象过点,且f(a+1) f(3),则a的取值范围是( ) A.(-4,2) B.(-,-4)(2,+) C.(-,-4) D.(2,+) 1 8, 4 B 解析解析 已知幂函数
9、f(x)=xn的图象过点,则8n=,即n=log8=-, 故幂函数f(x)的解析式为f(x)=, 若f(a+1)3,解得a2.故选B. 1 8, 4 1 4 1 4 2 3 必备知识 整合 关键能力 突破 1.已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0,0)和(-2,0),且函 数f(x)有最小值-1,则f(x)= . 考点二考点二 二次函数的解析式二次函数的解析式 x2+2x 解析解析 根据题意设二次函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a0), 即f(x)=ax2+2ax,由题意得=-1, 解得a=1,f(x)=x2+2x. 2 404 4 aa a 必备知识 整合 关键
10、能力 突破 2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对 任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式. 解析解析 f(2+x)=f(2-x)对任意的xR恒成立, f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2, f(x)=0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0), f(x)的图象过点(4,3),3a=3,a=1,f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 必备知识 整合 关键能力 突破 3.已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2
11、+4,求f(x)的解析式. 解析解析 设f(x)=ax2+bx+c(a0),由题意得a(x-1)2+b(x-1)+c+ax2+bx+c=2ax2+(2b- 2a)x+a-b+2c=2x2+4, 解得 f(x)=x2+x+2. 22, 220, 24, a ba abc 1, 1, 2. a b c 必备知识 整合 关键能力 突破 4.已知函数f(x)=ax2+6x-2b+3(a,b为常数),在x=1时, f(x)取得最大值2,求f(x) 的解析式. 解析解析 当a0时, 由题意,得 解得 f(x)=-3x2+6x-1, 当a=0时,不符合题意,故f(x)=-3x2+6x-1. 6 1, 2 6
12、232, a ab 3, 2. a b 必备知识 整合 关键能力 突破 方法技巧方法技巧 求二次函数解析式的策略 (1)已知三点坐标,选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最值,选用顶点式. (3)已知与x轴的交点坐标,选用零点式. 必备知识 整合 关键能力 突破 角度一角度一 二次函数的图象二次函数的图象 典例典例2 下图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对 称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,中结论 正确;因为对称轴为直线x=-1,即-=-1,所以2a-b=0,中结论错误;结合图
13、象 可知,当x=-1时,y0,即a-b+c0,中结论错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又 函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5ab,中结论正确,故选B. 2 b a 必备知识 整合 关键能力 突破 角度二角度二 二次函数的单调性二次函数的单调性 典例典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. (1)若y=f(x)在-4,6上是单调函数,求实数a的取值范围; (2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-=-a, 要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4
14、或-a6,解得a4或a-6. 故a的取值范围是(-,-64,+). (2)当a=-1时, f(|x|)=x2-2|x|+3 = f(|x|)的单调递减区间是-4,-1)和(0,1),单调递增区间为-1,0和1,6. 2 2 a 22 22 23(1)2, 40, 23(1)2,06, xxxx xxxx 必备知识 整合 关键能力 突破 变式探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,求a的取值范围. 解析解析 f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,且其图象的对称轴为直线x=-a, -a-4,即a4. 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 f(x)=x2+2a
15、x+3的单调增区间为-4,+),且其图象的对称轴为直线x= -a,-a=-4,即a=4. 变式探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),则a为何值? 必备知识 整合 关键能力 突破 角度三角度三 二次函数的最值问题二次函数的最值问题 典例典例4 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x-2,3时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1,求实数a的值. 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)当a=2时, f(x)=x2+3x-3=-,又x-2,3,所以f(x)min=f = -, f(x)max=f(3)=15
16、,所以函数f(x)的值域为. (2)由题意可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-. 当-1,即a-时, f(x)max=f(3)=6a+3,即6a+3=1,解得a=-,满足题意; 当-3,即a-时, f(x)max=f(1)=2a-3,即2a-3=1,解得a=2,不满足题意; 当1-3,即-a2x+m恒成立,求实数 m的取值范围. 解析解析 由题意可知, f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2- 3x+1-m,要使g(x)0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)在-1,1上的最小值大于0 即可. g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递
17、减, g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10得mlg 100=2,t2 lg 100=2,令f(x)=kx2+3(k-1)x+2k,易知k0,则有kf(2)0,即k(12k-6)0,解得0k. 1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评 1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个 “二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先 采用转化的思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数思想研究方 程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键: (1)一般有两种解题思路:一是分
18、离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路解题,关键 是看参数是否容易分离.这两种思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,af(x) 恒成立af(x)min. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.已知mZ,一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0 x12x24,则m= . -4 解析解析 因为一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0 x12x24,所以 二次函数f(x)=x2+mx+3分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点. 所以 解得即-m-.因为mZ,所以m=-4. (0)(2)0, (2)(4)0
19、ff ff 270, (27) (419)0 m mm 270, 4190, m m 7 , 2 19 , 4 m m 19 4 7 2 必备知识 整合 关键能力 突破 2.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在-1,1上恒小于零,则实数a的取值范围是 . 1 , 2 解析解析 由题意可知,2ax2+2x-30在-1,1上恒成立. 当x=0时,-30,成立; 当x0时,a-, 令g(x)=-,x-1,0)(0,1, 由上式可知,当x=1时,g(x)取最小值,a. 综上,实数a的取值范围是. 3 2 2 11 3x 1 6 3 2 2 11 3x 1 6 1 2 1 2 1 , 2 必
20、备知识 整合 关键能力 突破 3.已知二次函数f(x)=x2-4x+3,当x0,m时,试确定f(x)的最大值. 解析解析 已知f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x0,m, 当0m2时,函数f(x)在区间0,m上单调递减,则f(x)max=f(0)=3; 当2m4时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增, f(0)=3, f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33, 则f(x)max=f(0)=3; 当m4时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增, f(0)=3, f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33, 则f(x)max=f(m)=m2-4m+3. 综上所述, f(x)max= 2 3,04, 43,4. m mmm
