1、必备知识 整合 关键能力 突破 第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求: 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.函数的单调性函数的单调性 (1)单调函数的定义: 必备知识 整合 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2 当x1x2时,都有 f(x1)f(x2) ,那么就 说函数f(x)在区间D上是单调增函数 当x1f(x2) ,那么就说函 数f(x)在区间D上
2、是单调减函数 必备知识 整合 关键能力 突破 图象 描述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 必备知识 整合 关键能力 突破 (2)单调区间的定义: 若函数f(x)在区间D上是 单调增函数或单调减函数 ,则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 提醒 (1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域. (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接. (3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念, 显然NM. 必备知识 整合 关键能力 突破 2.函数的最值函数的最值 前提 设函
3、数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的xI,都有 f(x)M ; (2)存在x0I,使得 f(x0)=M (1)对于任意的xI,都有 f(x)M ; (2)存在x0I,使得 f(x0)=M 结论 M为函数y=f(x)的最大值 M为函数y=f(x)的最小值 必备知识 整合 关键能力 突破 1.单调性定义的等价形式 设任意x1,x2a,b,x1x2. (1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,则f(x)在闭区间a,b上是增函数. (2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0)与y=-f(x),y=在
4、公共定义域内的单调性相反. (4)函数y=f(x)(f(x)0)与y=在公共定义域内的单调性相同. 1 ( )f x ( )f x 必备知识 整合 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+).( ) (2)函数f(x)在区间a,b上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为a,b.( ) (3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x) g(x)也是增函数.( ) (4)所有的单调函数都有最值.( ) (5)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函数.( ) 1 x 必备知识 整合 关键能力
5、突破 2.(新教材人教A版必修第一册P79例3改编)下列函数中,在区间(0,+)内单调 递减的是( ) A.y=-x B.y=x2-x C.y=ln x-x D.y=ex-x 1 x A 解析解析 选项A,y1=在(0,+)内是减函数,y2=x在(0,+)内是增函数,则y= -x在(0,+)内是减函数;选项B,C中的函数在(0,+)上均不单调;选项D,y=ex- 1,当x(0,+)时,y0,所以函数y=ex-x在(0,+)上是增函数. 1 x 1 x 必备知识 整合 关键能力 突破 3.(新教材人教A版必修第一册P86 T7改编)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区 间是( ) A
6、.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+) D 解析解析 由x2-2x-80得x4或x0)在(0,+)上的单调性. a x 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)x, 函数f(x)的定义域关于原点对称, 又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除A、C; 当x时, f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f (x)=-=0,f(x)在 上单调递增,排除B;当x时, f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f (x)= -=0, f(x)在上单调递减,D正确. |21
7、| 0, |21| 0 x x 1 |,R 2 x xx 1 1 , 2 2 2 21x 2 12x 2 4 14x 1 1 , 2 2 1 , 2 2 21x 2 12x 2 4 14x 1 , 2 必备知识 整合 关键能力 突破 (2)设x1,x2是任意两个正数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-= (x1x2 -a).当0 x1x2时,0 x1x2a,x1-x20,即f(x1)f(x2),所以函数 f(x)在(0,上是减函数; 当x1a,x1-x20, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(0,上是减函数,在,+)上是增函数. 1 1 a x x 2 2 a x x 1
8、2 12 xx x x a a a a a x aa 必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评 1.求函数单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性:转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,那么可由图象 的直观性写出函数的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 必备知识 整合 关键能力 突破 2.求复合函数y=f(g(x)单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x). (
9、3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调区间. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.函数f(x)=在( ) A.(-,1)(1,+)上是增函数 B.(-,1)(1,+)上是减函数 C.(-,1)和(1,+)上是增函数 D.(-,1)和(1,+)上是减函数 1 x x C 必备知识 整合 关键能力 突破 2.求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间. 解析解析 易知 f(x)=f(x)= 画出函数f(x)的图象如图所示: 由图可知f(x)的单调递增区间为(-,-1和0,1, 单调递减区间为(-1,0)和(1,+). 2 2 21,0, 21,0 x
10、xx xxx 2 2 (1)2,0, (1)2,0. xx xx 必备知识 整合 关键能力 突破 角度一角度一 比较函数值的大小比较函数值的大小 典例典例2 已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.cba C.acb D.bac 1 2 考点二考点二 函数单调性的应用函数单调性的应用 D 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 f(x)的图象关于直线x=1对称,f=f.由当x2x11时,f(x2)- f(x1)(x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+)上单调递减. 12ff(e), 即f(2)ff(e),bac. 1 2 5
11、 2 5 2 5 2 1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 角度二角度二 解不等式解不等式 典例典例3 已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范围是 . (-,-1)(3,+) 解析解析 函数f(x)为R上的增函数, 且f(a2-a)f(a+3), a2-aa+3,即a2-2a-30, 解得a3或a-1, 即a的取值范围是(-,-1)(3,+). 必备知识 整合 关键能力 突破 角度三角度三 求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围 典例典例4 (1)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1x2都有 0恒成立,则实数a的取值范围是( ) (31)4 ,1,
12、 log,1, a axa x x x 12 12 ( )()f xf x xx A.(0,1) B. C. D. (2)已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6)上单调递减,则a的取值范围是( ) A.3,+) B.(-,3 C.(-,-3) D.(-,-3 1 0, 3 1 1 , 7 3 1 ,1 7 C D 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)由题意知函数f(x)在定义域R上为减函数, 则解得a0,即a1时,由题意知1a3;当a-10,即a0,即a0)在区间2,4上单调递减,则实数a的值是 . 8 解析解析 f(x)=x|2x-a|=|2x2-ax|(a0),由f(
13、x)的图象(图略)得该函数的单调减区间是 (-,0), 所以解得a=8. , 4 2 a a 2, 4 4, 2 a a 必备知识 整合 关键能力 突破 4.若定义在-2,2上的函数f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,且f(a2-a)f(2a-2), 则实数a的取值范围为 . 0,1) 解析解析 因为函数f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,所以函数f(x)在-2,2上单 调递增,所以解得所以0a1. 2 2 22, 2222, 22, aa a aaa 12, 02, 12, a a aa 或 必备知识 整合 关键能力 突破 典例典例5 (1
14、)函数f(x)=的最大值为 2 . (2)函数y=2x-1-的值域为 . (3)当-3x-1时,函数y=的最小值为 . (4)函数y=2x+的值域为 . 2 1 ,1, 2,1 x x xx 134x 51 42 x x 12x 考点三考点三 求函数的最值求函数的最值( (值域值域) ) 11 , 2 8 5 5 , 4 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)当x1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)= 1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大 值为2. (2)易知函数的定义域是, 易证得
15、函数y=2x-1-在其定义域上是一个单调增函数,所以当x=时, 函数取得最大值,故原函数的值域是. (3)由y=,可得y=-. 1 x 13 4 x x 134x 13 4 11 2 11 , 2 51 42 x x 5 4 7 4(21)x 必备知识 整合 关键能力 突破 -3x-1, -, y3, 所求函数的最小值为. (4)令t=(t0),则x=,y=-t2+t+1=-+.当t=,即x=时,y取 得最大值,ymax=,且y无最小值,函数的值域为. 7 20 7 4(21)x 7 4 8 5 8 5 12x 2 1 2 t 2 1 2 t 5 4 1 2 3 8 5 4 5 , 4 必备知
16、识 整合 关键能力 突破 方法技巧方法技巧 求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后 用基本不等式求最值. (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值求最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方 法求最值. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.函数y=的值域为 . 31 2 x x y|yR且y3 解析解析 y=3+, 因为0,所以3+3, 所以函数y=的值域为y
17、|yR且y3. 31 2 x x 3(2)7 2 x x 7 2x 7 2x 7 2x 31 2 x x 必备知识 整合 关键能力 突破 2.已知函数f(x)的值域为,则函数g(x)=f(x)+的值域为 . 3 4 , 8 9 12 ( )f x 7 7 , 9 8 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 f(x), . 令t=,t, 则f(x)=(1-t2), 令y=g(x),则y=(1-t2)+t, 即y=-(t-1)2+1. 当t=时,y有最小值; 3 8 4 9 1 3 12 ( )f x 1 2 12 ( )f x 1 3 1 2 1 2 11 32 t 1 2 1 2 11 32 t 1 3 7 9 必备知识 整合 关键能力 突破 当t=时,y有最大值. g(x)的值域为. 1 2 7 8 7 7 , 9 8 必备知识 整合 关键能力 突破 3.函数y=|x+1|+|x-2|的值域为 . 3,+) 解析解析 易知函数y=作出函数的图象如图所示. 根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为3,+). 21,1, 3, 12, 21,2. xx x xx
