1、必备知识 整合 关键能力 突破 第二节第二节 命题及其关系、充分条件与命题及其关系、充分条件与 必要条件必要条件 必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求: 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种 命题间的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.命题的概念命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述句叫做命 题,其中 判断为真 的语句叫做真命题, 判断为假 的语句叫做假命 题. 必备知识 整合 必备知识 整合 关键能力 突破 2.四种命题及其关系 (1)
2、四种命题间的相互关系: 必备知识 整合 关键能力 突破 (2)四种命题的真假关系: (i)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没有关系 . 提醒 在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个 命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性. 必备知识 整合 关键能力 突破 3.充分条件与必要条件 (1)若pq,则p是q的 充分 条件,q是p的 必要 条件. (2)若pq,且q/ p,则p是q的 充分不必要 条件. (3)若p/ q,且qp,则p是q的 必要不充分 条件. (4)若pq,则p是q的 充要 条
3、件. (5)若p/ q,且q/ p,则p是q的 既不充分也不必要 条件. 提醒 不能将“若p,则q”与“pq”混为一谈,只有“若p,则q”为真命 题时,才有“pq”. 必备知识 整合 关键能力 突破 知识拓展知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x),则关 于充分条件、必要条件又可以叙述为: (1)若AB,则p是q的充分条件; (2)若AB,则p是q的必要条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若A B,则p是q的充分不必要条件; (5)若A B,则p是q的必要不充分条件; (6)若AB且AB,则
4、p是q的既不充分也不必要条件. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)“x2-3x+2=0”是命题.( ) (2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.( ) (3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( ) (4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.( ) (5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则 q”.( ) (6)一个命题非真即假.( ) 必备知识 整合 关键能力 突破 2.“若x1,则x0”的否命题是( ) A.若x1,则x0 B.若x1,则x0 C.若x1,则x0 D.若x1,则x0,b0,
5、则 “ab1”是“a+b2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 已知a0,b0, 充分性: 若ab1,因为a2+b22ab,所以(a+b)24ab,所以(a+b)24,所以a+b2; 必要性: 若a+b2,则当a=3,b=时,ab=1,所以必要性不成立. 因此“ab1”是“a+b2”的充分不必要条件. 1 3 必备知识 整合 关键能力 突破 5.(易错题)“ln x0”是“x1”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析解析 因为ln x0
6、,所以0 x1,又集合(0,1)为集合(-,1)的真子集,所以 “ln x0”为“xb,则ac2bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否 命题中,真命题共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 C 解析解析 若c=0,则原命题不成立,故原命题为假命题,由等价命题同真同假知其逆 否命题也为假; 逆命题:设a,b,cR,若“ac2bc2,则ab”.由ac2bc2知c20,由不等式的基本性 质得ab,逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,真命题共有2个. 故选C. 必备知识 整合 关键能力 突破 2.以下命题的说法正确的是 (填序号). “若log2a0,则函数f(x)=logax(
7、a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命 题; 命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”; 命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; 命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”等价. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.(2020四川达州高三第三次诊断性测试)已知条件p:ab,条件q:a2b2,则p是q 的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点二考点二 充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断 D 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 当a=1,b=-2时,a2b2时,a2-b20,
8、 即(a-b)(a+b)0, 所以ab且a+b0或ab且a+b0,x+a成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 x A 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 x0时,x+2, “x0,x+a”等价于a2, 而a=2可以推出a2,但a2不能推出a=2, “a=2”是“x0,x+a成立”的充分不必要条件,故选A. 1 x 1 x 1 x 必备知识 整合 关键能力 突破 4.集合A=x|x1,B=x|x2,则“xA或xB”是“x(AB)”的 条件. 必要不充分 必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评 充要条件的三种判断方法 (
9、1)定义法:根据pq,qp进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,判断原命题的逆否命 题的真假.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 必备知识 整合 关键能力 突破 考点二考点二 充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用 典例典例2 (1)设:1x3,:m+1x2m+4,mR,若是的充分条件,则m的取 值范围是 . (2)已知条件p:2x2-3x+10,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0.若 p是 q的必要不充 分条件,则实数a的取值范围是 . 1 ,0 2 1 0, 2 必备知识 整合 关键能
10、力 突破 解析解析 (1)若是的充分条件,则对应的集合是对应集合的子集,则 解得-m0. (2)由2x2-3x+10,得x1,设条件p对应的集合为P,则P=. 由x2-(2a+1)x+a(a+1)0,得axa+1,设条件q对应的集合为Q,则Q=x|ax a+1. p是 q的必要不充分条件,q是p的必要不充分条件, P Q,0a, 实数a的取值范围是. 1 1, 243, m m 1 2 1 |1 2 xx 1 2 1 2 1 0, 2 必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评 1.解题“2关键”: (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系. (2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等
11、式(组)求解. 2.解题“1注意”: 求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之 间的关系求参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不 当容易出现漏解或增解的现象. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.(2020陕西山阳中学高三月考)已知集合A=,集合B=x|x2-(2m+1)x +m2+m0,p:xA,q:xB,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 . 2 |1 2 x x x -2,1 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 集合A=x|-2x2, 集合B=x|x2-(2m+1)x+m2+m0 =x|mx0),若p是 q的必要不 充分条件,则实数a的取值范围是 . (0,2 解析解析 |x-1|2,-1x3,即p:-1x3; x2-2x+1-a20(a0),x1-a或x1+a, q:1-ax1+a, p是 q的必要不充分条件, 解得0a2, 实数a的取值范围是(0,2. 0, 11, 13, a a a
