1、必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 第二章第二章 函数函数 第第一节一节 函数及其表示函数及其表示 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 学习要求学习要求: 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映 射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 必备知识 整合 关键能力
2、突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.函数与映射的概念函数与映射的概念 必备知识 整合 函数 映射 两集合A、B 设A、B是两个 非空数集 设A、B是两个 非空集合 对应关系 f:AB 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 的 任意 一个数x,在集合B中都有 唯一确定 的数f(x)与之对应 按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任 意 一个元素x,在集合B中都有 唯一定 的 元素y与之对应 名称 称f:AB为从集合A到集合B的一个函数 称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射 记法 y=f(x),xA
3、对应f:AB 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函 数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个 核心点. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ; 与x的值相对应的y值叫做函数值,
4、函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 值域 . (2)函数的三要素: 定义域 、值域和对应关系. (3)相等函数:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完全一致, 则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应 关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示 的是一个函数. 提醒 一个分段函数的解析
5、式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的 定义域不可以相交. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y=ax(a0且a1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R. (5)y=tan x的定义域为. (6)函数f(x)=x0的定义域为x|xR且x0. (7)y=logax(a0,且a1)的定义域为x|x0. R,Z 2 x xxkk 且 知识拓展
6、知识拓展 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当a0时,值域为;当a0且a1)的值域是(0,+). (5)y=logax(a0且a1)的值域是R. 2 4 , 4 acb a 2 4 , 4 acb a k x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.判断正误(正确的打“”,错误的
7、打“”). (1)函数y=1与y=x0是同一个函数.( ) (2)f(x)=+是一个函数.( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( ) (4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.( ) 3x 2x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y= f(x)的图象可能是( ) B 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”
8、考点一“这种简化标题 学科素养 提升 3.(新教材人教A版必修第一册P65例2改编)函数f(x)=的定义域为( ) A.(0,+) B.0,+) C.(1,+) D.1,+) 1 21 x A 解析解析 要使f(x)=有意义,需满足2x-10,解得x0,函数f(x)= 的定义域为(0,+),故选A. 1 21 x 1 21 x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 4.(2020山东威海一中期中)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-2)的定 义域为( ) A.(-1,1)
9、 B. C.(-1,0) D. 1 1, 2 1 ,1 2 D 解析解析 f(x)的定义域为(-1,0), -12x-20,解得x1,函数f(2x-2)的定义域为,故选D. 1 2 1 ,1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 5.已知f(x)是一次函数,且f f(x)=x+2,则f(x)=( ) A.x+1 B.2x-1 C.-x+1 D.x+1或-x-1 A 解析解析 因为f(x)是一次函数,所以可设f(x)=kx+b(k0).由ff(x)=x+2得k(kx +b)+b=x+2,即
10、k2x+kb+b=x+2,所以k2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f(x)=x+1.故选A. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例1 (1)给出下列四个对应: A=R,B=R,对应关系f:xy,y=,xA,yB; A=,B=,对应关系f:ab,b=; A=x|x0,B=R,对应关系f:xy,y2=x,xA,yB; A=x|x是平面内的矩形,B=y|y是平面内的圆,对应关系f:每一个矩形都 对应它的外接圆. 1 1x * 1 |N 2 aa * 1 |,N n b bn 1 a 考点一考点一 函数、映射概念的理解函数、映射概念的理解 关键能力 突破 必备知识 整合
11、关键能力 突破 学科素养 提升 A. B. C. D. (2)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是( ) A.y=()2 B.y=+1 C.y=+1 D.y=+1 1x 33 x 2 x x 2 x 其中是从A到B的映射的为 ( ) B B 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)对于,当x=-1时,y的值不存在,所以不是从A到B的映射;对于 ,A,B是两个集合,分别用列举法表述为A=2,4,6,B=,由对应 关系f:ab,b=知,是从A到B的映射;不是从A到B的映射,如A中的元素1 对应B中两个元素1;是从A到B的映射. (2)对于A,函数y=()2的定义域为x
12、|x-1,与函数y=x+1的定义域不同,不 是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对 于C,函数y=+1的定义域为x|x0,与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函 数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B. 1 1 1 1, , 2 3 4 1 a 1x 2 x x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 名师点评名师点评 1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数. 2.判断一个从集合A到集合B的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为 可以一对一,也可以多对一,但不能一对多. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养
13、 提升 1.下列对应关系: A=1,4,9,B=-3,-2,-1,1,2,3, f:xx的平方根; A=R,B=R, f:xx的倒数; A=R,B=R, f:xx2-2; A=-1,0,1,B=-1,0,1, f:xx2. 其中是A到B的映射的是( ) A. B. C. D. C 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是( ) A.f(x)=|x|,g(x)= B.f(x)=,g(x)=()2 C.f(x)=,g(x)=x+1 D.f(x)=,g(x)= 2 x 2 xx 2 1 1 x x 1x1x 2 1x A 必备知识 整合 关键能力 突破
14、 学科素养 提升 角度一角度一 具体函数的定义域具体函数的定义域 典例典例2 (1)函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为( ) A.(-,2) B.(2,+) C.-1,2) D.-1,2 (2)函数f(x)=+lg的定义域为( ) A.(2,3) B.(2,4 C.(2,3)(3,4 D.(-1,3)(3,6 1x 4 |x 2 56 3 xx x 考点二考点二 函数的定义域函数的定义域 C C 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)要使函数f(x)=+lg(6-3x)有意义,则即-1x2.故函数 f(x)的定义域为-1,2). (2)要使函数f(x)有意义,
15、需满足 即 解得2x3或3x4,故f(x)的定义域为(2,3)(3,4. 1x 10, 630, x x 2 4 | 0, 56 0, 3 x xx x | 4, (3)(2) 0, 3 x xx x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y=的定义域为R,则实数m 的取值范围是( ) A. B. C. D. (2)若函数f(x)=的定义域为x|1x2,则a+b的值为 . 2 1 43 mx mxmx 3 0, 4 3 0, 4 3 0, 4 3 0, 4 2 axabxb 角度二角度二 已知函数定义域已知函数定义域,求参数的取值范围求
16、参数的取值范围 D - 9 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx2+4mx+30恒成立, 当m=0时,显然满足条件; 当m0时,由=(4m)2-4m30, 得0m. 综上可知,0m. (2)函数f(x)=的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集. 由题意知不等式ax2+abx+b0的解集为x|1x2, 3 4 3 4 2 axabxb 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 所以解得 所以a+b=-3=-. 0, 12, 1 2, a b b a 3 , 2 3, a b 3 2 9 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学
17、科素养 提升 角度三角度三 抽象函数的定义域抽象函数的定义域 典例典例4 已知函数f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f +f 的定义域 是 . 1 2 x 1 2 x 1 3 , 2 2 解析解析 因为函数f(x)的定义域是0,2,所以函数g(x)=f+f中的自变 量x需要满足解得x,所以函数g(x)的定义域是. 1 2 x 1 2 x 1 02, 2 1 02, 2 x x 1 2 3 2 1 3 , 2 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 变式探究 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=的定义域是 . (2 ) 1 fx x 0,1) 解析解析 由题意
18、得解得0 x0恒成立, 则a=0或 解得0a1时, f(x)=x+a4+a,当且仅当x=2时,等号成立. 当x1时, f(x)=x2-2ax+9为二次函数,要想在x=1处取最小值,则函数图象的对 称轴要满足x=a1,并且f(1)4+a,即1-2a+9a+4,解得a2. 4 x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度二角度二 已知函数值已知函数值,求参数的值求参数的值(或取值范围或取值范围) 典例典例7 设函数f(x)=则f(-1)= ;若f(a)f(a-1),则实数a的取值 范围是 . 2 2 ,0, 1,0, xx x xx -1 1 , 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学
19、科素养 提升 名师点评名师点评 分段函数问题的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其 次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解 析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变 量的取值范围. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f(x)=则f(f(x)2的解集为 ( ) A.(1-ln 2,+) B.(-,1-ln 2) C.(1-ln 2,1) D.(1,1+ln 2) 1 3 2e,1, ,1, x x xx x B
20、解析解析 因为当x1时, f(x)=x3+x2,当x1时, f(x)=22, 所以f(f(x)2等价于f(x)1,即21,解得x1-ln 2, 所以f(f(x)2的解集为(-,1-ln 2),故选B. 1 e x 1 e x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2018课标全国文,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的 取值范围是( ) A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0) 2 ,0, 1,0, x x x D 解析解析 函数f(x)=的图象如图所示: 由f(x+1)f(2x)得得x1,舍去. 当a-10,即a1时,2a-1
21、-1=,解得a=log231,成立.故a=log23. 1 2 2 1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 微专题微专题新定义函数的有关计算新定义函数的有关计算 新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键 在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中, 用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用 新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质. 学科素养 提升 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x=若f(x)是定 义在R上的减函数,g(x)=
22、f(x)-f(ax)(a1),则( ) A.sgng(x)=sgn x B.sgng(x)=-sgn x C.sgng(x)=sgnf(x) D.sgng(x)=-sgnf(x) 1,0, 0,0, 1,0, x x x A 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 由题意知g(x)=f(x)-f(ax), 且f(x)是R上的减函数, 当x0时,xf(ax), 则g(x)=f(x)-f(ax)0, 此时sgng(x)=1; 当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax), 则g(x)=f(x)-f(ax)=0, 此时sgng(x)=0; 当xax,则有f(x)f(ax), 必备
23、知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则g(x)=f(x)-f(ax)0, 此时sgng(x)=-1. 综上所述,sgng(x)=sgn x. 故选A. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 根据新定义得到f(x)的表达式,判断函数f(x)在定义域的单调性,可得结果. 1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “” 如下:当ab时,ab=a;当a(2x-1)sgn x的解集为 . 1,0, 0,0, 1,0, x x x 333 |3 4 xx 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 当x0时,不等式可转化为x+22x-1,解得0 x1,不等式成立; 当x,因为2x-10,所以等价于(x+2)(2x-1) 1,即2x2+3x-30,解得x0. 综上所述,不等式的解集为 . 1 21x 333 4 333 |3 4 xx
