1、【方法综述】【方法综述】 知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下：知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下： 平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 矩形判的定方法矩形判的定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形判定方法菱形判定方法 有一组邻边相等的平行四边形是菱
2、形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是矩形 正方形的判定方法正方形的判定方法 平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性 解答时常用的技巧：解答时常用的技巧： （1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法： 已知点已知点 A、B、C 三点坐标已知，点三点坐标已知，点 P 在某函数图像上，是否存在以点在某函数图像上，是否存在以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为平为顶点的四边形为平 行四边形，求点行四边形，求点 P 的坐标。的坐标。 P （m，n） B（c，d
3、） C（e，f） A（a，b） O 如，当如，当 AP、BC 为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得 a+m=c+e，n+b=d+f 则则 m= c+e-a;n= d+f-b，点，点 P 坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求 P 点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。 （2） .菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，菱形在折叠的情况下，可以
4、看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论， 亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。 （3）.矩形中的直角证明矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 平行四边形的存在性探究平行四边形的存在性探究 例例 1： （河南省 2019 年中考数学模试题）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D（A在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为 C，且 A（4，0） ，C（0，3） ，对称
5、轴是直线 x=1 （1）求二次函数的解析式；来源:Z,xx,k.Com （2）若 M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为 m，设四边形 OCMA 的面积为 s请写出 s 与 m 之间 的函数关系式，并求出当 m 为何值时，四边形 OCMA 的面积最大； （3）设点 B 是 x 轴上的点，P 是抛物线上的点，是否存在点 P，使得以 A，B、C，P 四点为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y= x2 x3； （2）当 m=2 时，s 最大是 9； （3）存在点 P（2，3）或 P（1+，3）或 P （1，3）使得以 A，B、C，P
6、四点为顶点的四边形为平行四边形来源: 解得a= ，b= ，c=3， 二次函数解析式为：y= x2 x3 （2）如图 1 所示： 设 M（m， m2 m3） ，|yM|= m2+ m+3， S=SOCM+SOAM S= OC m+ OA |yM|= 3 m+ 4 （ m2+ m+3） S = m2+3m+6= （m2）2+9， 当 m=2 时，s 最大是 9 解得：x=1+或 x=1 综上所述，存在点 P（2，3）或 P（1+，3）或 P（1-，3）使得以 A，B、C，P 四点为顶点的四边 形为平行四边形 针对训练针对训练 1（广东省湛江市第二十七中学 2019 届九年级上学期期末考试数学试题）
7、 如图所示， 已知抛物线 yax2（a0） 与一次函数 ykx+b 的图象相交于 A（1，1） ，B（2，4）两点，点 P 是抛物线上不与 A，B 重合的一 个动点，点 Q 是 y 轴上的一个动点 （1）请直接写出 a，k，b 的值及关于 x 的不等式 ax2kx2 的解集； （2）当点 P 在直线 AB 上方时，请求出PAB 面积的最大值并求出此时点 P 的坐标； （3）是否存在以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P，Q 的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】 （1）a1，k1，b2，x1 或 x2； （2）PAB 面积的最大值为，此时点 P 的坐标 为（
8、，） ； （3）P 的坐标为（3，9）或（3，9）或（1，1） ，Q 的坐标为：Q（0，12）或（0， 6）或（0，4） （2）过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两者交于点 C 0，1m2， 当时，SAPB 的值最大 当时，SAPB， 即PAB 面积的最大值为，此时点 P 的坐标为（，） （3）存在三组符合条件的点， 2 （云南省弥勒市 2019 届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线与 轴交 、 两点 （ 点在 点左侧） ，直线 与抛物线交于 、 两点，其中 点的横坐标为 2. （1）求 、 两点的坐标及直线的函数表达式； （2） 是线段上的一个动点，过 点作
9、 轴的平行线交抛物线于 点，求线段长度的最大值； （3）点 是抛物线上的动点，在 轴上是否存在点 ，使 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在，写出所有满足条件的 点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程） ；如果不存在，请说明理 由. 【答案】 （1），。 （2） 。 （3），. （2）设 P 点的横坐标为 x（-1x2） ， 则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1） ， E（x，x2-2x-3） ， P 点在 E 点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x- ）2+ ， 当 x= 时，PE 的最大值= ； （3）存在 4 个这样的点 ，分
10、别是，. 如图 1， 连接 C 与抛物线和 y 轴的交点，那么 CGx 轴，此时 AF=CG=2，因此 F 点的坐标是（-3，0） ； 如图 2， AF=CG=2，A 点的坐标为（-1，0） ，因此 F 点的坐标为（1，0） ； 如图 3， 同可求出 F 的坐标为（4-，0） 总之，符合条件的 F 点共有 4 个 3 （湖北省枣阳市第三中学 2019 届九年级（上)期末检测试题）已知：正方形 OABC 的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上，设点 B（4，4） ，点 P（t，0）是 x 轴上一动点，过点 O 作 OHAP 于点 H，直线 OH 交直线 BC 于点 D，连 AD （1）如
11、图 1，当点 P 在线段 OC 上时，求证：OPCD； （2）在点 P 运动过程中，AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似时，求 t 的值； （3）如图 2，抛物线 y x2+ x+4 上是否存在点 Q，使得以 P、D、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)见解析;(2) 综上，t12，t2，t3;(3)见解析. ， AOPOCD OPCD AOPOCD； OPCDt，则：BDBC+CD4t； 若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，则有： ，得：， 解得：或（正值舍去） ； 当点 P 在线段 OC 上时，P（t，0）
12、 ，0t4，如图； 因为 OPOA、BDAB、OAAB， 若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，那么有：，所以 OPBD，即： t4t，t2； 当点 P 在点 C 右侧时，P（t，0） ，t4，如图； 同可求得； 综上，t12， PC 为平行四边形的边，则 DQPC，且 QDPC； 若 P（t，0） 、D（4，t） ，则 PCQD|t4|，Q（t，t）或（8t，t） ； Q（t，t）时，即：t2+2t240， 解得 t14（舍） 、t26； Q（8t，t）时，即：t26t+80， 解得 t14（舍） 、t22 综上可知，t12，t212，t36，t42 存在点 Q，使得以 P、D、Q
13、、C 为顶点的四边形为平行四边形 4（广东省中山市 2018-2019 学年九年级 （上)期末数学试卷） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yax2+bx+3 经过 A（3，0） 、B（1，0）两点，其顶点为 D，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合） （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如图 1，过点 P 作 PEy 轴于点 E求PAE 面积 S 的最大值； （3）如图 2，抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 OAPQ 为平行四边形？若存在求出 Q 点坐标，若不存 在请说明理由 【答案】 （1）抛物线的解析式为 yx22x+3，顶点
14、D 的坐标为（1，4） ； （2）PAE 面积 S 的最大值 是 ； （3）点 Q 的坐标为（2+，24） （2）设直线 AD 的函数解析式为 ykx+m， ，得， 直线 AD 的函数解析式为 y2x+6， 点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合） ， 设点 P 的坐标为（p，2p+6） ， S PAE （p+ ）2+ ， 3p1， 当 p 时，S PAE 取得最大值，此时 S PAE ， 即PAE 面积 S 的最大值是 ； （3）抛物线上存在一点 Q，使得四边形 OAPQ 为平行四边形， 四边形 OAPQ 为平行四边形，点 Q 在抛物线上， OAPQ， 点 A（3，0） ， O
15、A3， PQ3， 直线 AD 为 y2x+6，点 P 在线段 AD 上，点 Q 在抛物线 yx22x+3 上， 设点 P 的坐标为（p，2p+6） ，点 Q（q，q22q+3） ， ， 解得，或（舍去） ， 当 q2+时，q22q+324， 即点 Q 的坐标为（2+，24） 5 （重庆市九龙坡区西彭三中 2019 届九年级（上)期末数学试题）如图，已知抛物线经过点 A（1，0） ， B（4，0） ，C（0，2）三点，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m， 0） ，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该
16、抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）点 P 在线段 AB 上运动的过程中，是否存在点 Q，使得BODQBM？若存在，求出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 （3）已知点 F（0， ） ，点 P 在 x 轴上运动，试求当 m 为何值时以 D、M、Q、F 为顶点的四边形是平行四 边形 【答案】 （1）y x2+ x+2； （2）存在，点 Q 的坐标为（3，2） ； （3）m1 或 m3 或 m1+或 1 时，四边形 DMQF 是平行四边形 （2）如图所示： 当BODQBM 时， 则， MBQ90 ， MBP+PBQ90 ， MPBBPQ90 ， MBP+BMP90 ， BMPPBQ， MB
17、QBPQ， ， ， 解得：m13、m24， 当 m4 时，点 P、Q、M 均与点 B 重合，不能构成三角形，舍去， m3，点 Q 的坐标为（3，2） ； 6 （北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 W 的函数表达式为 y=x2+x+4抛物线 W 与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 l 经过 C、D 两点 (1)求 A、B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式 (2)将抛物线 W 沿 x 轴向右平移得到抛物线 W， 设抛物线 W的对称轴与直线 l 交于点 F，
18、当ACF 为直角三 角形时，求点 F 的坐标，并直接写出此时抛物线 W的函数表达式 (3)如图 2，连接 AC，CB，将ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位（0m5） ，得到ACD设 AC 交直线 l 于点 M，CD交 CB 于点 N，连接 CC，MN求四边形 CMNC的面积（用含 m 的代数式表示） 【答案】 （1）点 A 坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（7，0） ，y=2x+4；(2) 点 F 的坐标为（5，6） ，y= x2+x；(3) 四边形 CMNC的面积为 m2. 设直线 l 的表达式为 ykxb， 解得 直线 l 的解析式为 y2x4； (2)抛物线 w 向右平移，只有一
19、种情况符合要求， 即FAC90 ，如图. (3)由平移可得：点 C，点 A，点 D的坐标分别为 C（m，4） ，A（3m，0） ，D（2m，0） ，CCx 轴，CDCD， 可用待定系数法求得 直线 AC的表达式为 y x4 m， 直线 BC 的表达式为 y x4， 直线 CD的表达式为 y2x2m4， 分别解方程组和 解得和 7 （2018-2019 学年甘肃省庆阳市九年级（上)期末数学试卷）如图，已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 点 A，B，点 A 的坐标为（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，2） ，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴正半 轴上的一个动点
20、，设点 P 的坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）若 m3，试证明BQM 是直角三角形； （3）已知点 F（0， ） ，试求 m 为何值时，四边形 DMQF 是平行四边形？ 【答案】 （1）y x2+ x+2； （2）详见解析； （3）当 m3 或1 时，四边形 DMQF 是平行四边形 【解析】解： （1）函数与 y 轴交于点 C（0，2） ，则抛物线表达式为：y x2+bx+2， 将点 A 坐标代入上式得： b+20，则 b ， 故：抛物线的表达式为：y x2+ x+2， 令 y0，则
21、 x4 或1，即点 B 坐标为（4，0） ； （3）点 P 的坐标为（m，0） ， 则点 Q 坐标（m， m2+ m+2） 、点 M 坐标（m， m2） ， 当 QMEF 时，四边形 DMQF 是平行四边形， 则：QM m2+ m+2 m+2 ， 解得：m3 或1， 答：当 m3 或1 时，四边形 DMQF 是平行四边形 8 （2018 年四川省泸州市中考数学试卷）如图，已知二次函数的图象经过点 A(4,0)， 与 y 轴交于点 B在 x 轴上有一动点 C(m,0)(0m4)，过点 C 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 E，交该二次函 数图象于点 D （1）求 a 的值和直线 AB 的解析式
22、； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，设ACE，DEF 的面积分别为 S1，S2，若 S1=4S2，求 m 的值； （3）点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 G 是线段 AB 上的动点，当四边形 DEGH 是平行 四边形，且周长取最大值时，求点 G 的坐标 【答案】 （1），； （2） ； （3）或. （2）由已知， 点 坐标为 点 坐标为 （3）如图，过点 做于点 由（2） 同理 四边形是平行四边形 整理得： ，即 由已知 周长 时， 最大 点坐标为，此时点 坐标为， 当点 、 位置对调时，依然满足条件 点 坐标为，或， 9 （赤峰市翁牛特旗乌丹第一中学 2019 届九年
23、级上学期期末考试）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为 （-2，0） ，OB=OA，且AOB=120 （1）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使OBC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）若点 M 为抛物线上一点，点 N 为对称轴上一点，是否存在点 M、N 使得 A、O、M、N 构成的四边形 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2） （1，） ； （3） M1（1，） ，M2（3，） ，M3（1，） 【解析】(1)如图所示，过点 B 作 BDx 轴于
24、点 D, 由已知可得： ， 解得： 所求抛物线解析式为； (2)存在. 如图所示， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 将点 A(2,0),B(1,)分别代入，得： ， 解得：， 直线 AB 的解析式为 y=x+， 当 x=1 时,y=， 所求点 C 的坐标为(1,)； (3)如图所示， 10 （四川省成都市青羊区）如图，直线 y2x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 yax2+x+c 经过 B、C 两点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标和BEC 面积的 最大值？ (3)在(
25、2)的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点， 在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 【答案】(1)y2x2+x+3；(2)点 E 的坐标是( ，)时，BEC 的面积最大，最大面积是；(3)在抛物线上 存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形，点 P 的坐标是( ，3)或(2，3)或( ， 2) (2)如图 1，过点 E 作 y 轴的平行线 EF 交直线 BC 于点 M，EF 交 x 轴于点 F， 点 E 是直
26、线 BC 上方抛物线上的一动点， 设点 E 的坐标是(x，2x2+x+3)， 则点 M 的坐标是(x，2x+3)， EM2x2+x+3(2x+3)2x2+3x， S BEC SBEM+SMEC EMOC (2x2+3x) (x )2+， 当 x 时，即点 E 的坐标是( ，)时，BEC 的面积最大，最大面积是； (3)在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形， 如图 2，AMPQ，AMPQ 由(2)，可得点 M 的横坐标是 ， 点 M 在直线 y2x+3 上， 点 M 的坐标是( ， )， 又抛物线 y2x2+x+3 的对称轴是 x ， 设点 P 的坐标是(x，
27、2x2+x+3)， 点 A 的坐标是(1，0)， xPxAxQxM，x(1) ， 解得 x ， 此时 P( ，3)； 解得 x2， 此时 P(2，3)； 如图 4，由(2)知，可得点 M 的横坐标是 ， 点 M 在直线 y2x+3 上， 点 M 的坐标是( ， )， 又抛物线 y2x2+x+3 的对称轴是 x ， 设点 P 的坐标是(x，2x2+x+3)，点 Q 的横坐标是 ， 点 A 的坐标是(1，0)， xPxAxMxQ，即 x(1) ， 解得 x ， 此时 P( ，2)； 综上所述，在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形，点 P 的坐标是( ， 3)或(
28、2，3)或( ，2) 类型二类型二 菱形存在性探究菱形存在性探究 例 2 （河南省 2019 年中考数学模拟试卷）如图，以 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 点 A，点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4） ，作直线 AC （1）求抛物线解析式； （2）点 P 在抛物线的对称轴上，且到直线 AC 和 x 轴的距离相等，设点 P 的纵坐标为 m，求 m 的值； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 AC 上，点 Q 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C、 M、N、Q 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 Q 的坐标 【答案】 （
29、1）y= x2+ x+4； （2）m 的值为 1 或4； （3）点 Q 的坐标为（1，）或（ ， ） 【解析】解： （1）点 A 与点 B（1，0）关于直线 x=1 对称， A（3，0） ， 设抛物线解析式为 y=a（x+1） （x3） ， 把 C（0，4）代入得 a1（3）=4，解得 a= ， 抛物线解析式为 y= （x+1） （x3） ，即 y= x2+ x+4； 当 x=1 时，y= x+4= ，则 D（1， ） ， DE= ， 在 RtADE 中，AD=， 设 P（1，m） ，则 PD= m，PH=PE=|m|， PDH=ADE， DPHDAE， ，即，解得 m=1 或 m=4， 即
30、m 的值为 1 或4； 当 CM 为菱形的边时，四边形 CNQM 为菱形，如图 3，则 NQy 轴，NQ=NC， N（t， t+4） ， NQ= t2+ t+4（ t+4）= t2+4t， 而 CN2=t2+（ t+44）2=t2，即 CN= t， t2+4t= t，解得 t1=0（舍去） ，t2= ，此时 Q 点坐标为（ ，） ， 综上所述，点 Q 的坐标为（1，）或（ ，） 针对训练针对训练 1（陕西省榆林市府谷县九年级 （下)期末数学试卷） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，3） ，B（1，0）两点，顶点为 M （1）求 b、c 的值；
31、 （2）若只沿 y 轴上下平移该抛物线后与 y 轴的交点为 A1，顶点为 M1，且四边形 AMM1A1是菱形，写出平 移后抛物线的表达式 【答案】 （1）b=4，c=3； （2）y=x24x+3+2或 y=x24x+32 2 （江苏省南京新城中学 2018-2019 学年第一学期九年级数学期末）如图，已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A，B，AB2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x2 （1）求抛物线的函数表达式； （2）根据图像，直接写出不等式 x2bxc0 的解集： （3）设 D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐
32、 标为： 【答案】 （1）yx24x3； （2）x1 或 x3； （3） （2，1） （2）由图象得：不等式 x2bxc0，即 y0 时，x1 或 x3； 故答案为：x1 或 x3； （3） （2，1） y=x2-4x+3=（x-2）2-1， 顶点坐标为（2，-1） ， 当 E、D 点在 x 轴的上方，即 DEAB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意， 如图，根据“菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点 D 是抛物线 y=x2-4x+3 的顶点坐 标，即（2，-1） ， 故答案是： （2，-1） 3 （四川省成都市金牛区 2018 届九年级（上)期末数学）如图，抛物
33、线 yax2+x+c 与 x 轴交于 A，B 两点， A 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 C 坐标为（06） ，连接 BC，点 C 关于 x 轴的对称点 D，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交直线 BD 于 点 M （1）求二次函数解析式； （2）点 P 在 x 轴上运动，若6m2 时，求线段 MQ 长度的最大值 （3）点 P 在 x 轴上运动时，N 为平面内一点，使得点 B、C、M、N 为顶点的四边形为菱形？如果存在，请 直接写出点 N 坐标；不存在，说明理由 【答案】 （1）yx2+x6； （
34、2）MQ 的最大值为 16； （3）N 坐标为（ ， ）或（2，0）或（7.23.6） 或（2，12） 理由见解析. （3）当 BC 边为菱形的边时， 情况一：N 点应该在 x 轴，关于 B 点对称，即点 N 坐标为（2，0） ， 情况二：BC、MB 是菱形两条邻边，且 BCBM，则点 N 坐标为（2，12） ， 情况三：BC、CM 为邻边时，则点 N 坐标为（7.23.6） ； 当 BC 边为菱形的对角线时，作 BC 的垂直平分线 MH， 4 （人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，B 点的坐
35、标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是直线 BC 下方抛 物线上的任意一点 （1）求这个二次函数 y=x2+bx+c 的解析式 （2）连接 PO，PC，并将POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POPC，如果四边形 POPC 为菱形,求点 P 的坐标 （3）如果点 P 在运动过程中，能使得以 P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似，请求出此时点 P 的坐标 【答案】 （1）y=x22x3（2） （2） （，- ） （3）P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似，此时点 P 的坐标（1，4） （3）PBC90 ，分两种情况讨论： 如图 1，当PCB90 时， 过 P 作
36、PHy 轴于点 H，BC 的解析式为 yx3，CP 的解析式为 yx3， 设点 P 的坐标为（m，3m） ，将点 P 代入代入 yx22x3 中，解得：m10（舍） ，m21，即 P（1， 4） ； AO1，OC3，CB，CP，此时3，AOCPCB； 如图 2，当BPC90 时，作 PHy 轴于 H，作 BDPH 于 D PCPB，PHCBDP，设点 P 的坐标为（m，m22m3） ，则 PH=m，HC=（m2 2m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3） ，PD=3m， ，解得：m或（舍去） 当 m时，m22m3= PHCBDP， = 3， 以 P、 C、 B 为顶点的三角形与AOC 不
37、相似 综上所述：P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似，此时点 P 的坐标（1，4） 5 （人教版数学九年级（上)第 22 章二次函数压轴题专项训练）如图，顶点为 D 的抛物线 y x2+ x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于两点 B、C（点 B 在点 C 的左边） ，点 A 与点 E 关于抛物线的对称轴对称，点 B、E 在直线 ykx+b（k，b 为常数）上 (1)求 k，b 的值； (2)点 P 为直线 AE 上方抛物线上的任意一点，过点 P 作 AE 的垂线交 AE 于点 F，点 G 为 y 轴上任意一点， 当PBE 的面积最大时，求 PF+FG+OG 的最小值； (3)在(2
38、)中，当 PF+FG+OG 取得最小值时，将AFG 绕点 A 按顺时方向旋转 30 后得到AF1G1，过点 G1 作 AE 的垂线与 AE 交于点 M点 D 向上平移 个单位长度后能与点 N 重合，点 Q 为直线 DN 上任意一点， 在平面直角坐标系中是否存在一点 S，使以 S、Q、M、N 为顶点且 MN 为边的四边形为菱形？若存在，直 接写出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)k= ，b=1；(2)PF+FG+OG 的最小值 2+3；(3)存在，点 S 的坐标为： （1，1） ， （1，9） ， （7，4） 【解析】(1)由题意得：A（0，4） 、B（2，0） 、D（3，）
39、、C（8，0） 、E（6，4） ， 则：过 BE 的直线为：y x+1； (2)延长 PF 交 BE 于点 H， (3)存在如图所示： AFG 绕点 A 按顺时方向旋转 30 后得到AF1G1， 在 RtG1AM 中，AG12，AG1M30 ， 则：AM1，M（1，4） ， 点 D 向上平移 个单位长度后能与点 N 重合，则：N（3，7） ， 则：MN5， 当四边形为菱形，在 MNQ1S1的位置时，MS1MN5，则点 S1（1，1） ， 当四边形为菱形，在 MNQ2S2的位置时，MS2MN5，则点 S2（1，9） ， 当四边形为菱形，在 MNQ3S3的位置时，点 S3与点 M 关于对称轴对称，
40、则点 S3（7，4） ， 故：所求点 S 的坐标为： （1，1） ， （1，9） ， （7，4） 6 （江苏省东台市第四联盟 2019 届九年级 12 月月考）已知，在平面直角坐标系内一直线 l1:y=-x+3 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A、B 两点，y 轴右侧部分抛物线上有一动点 C，过点 C 作 y 轴的平行线交直线 l1于点 D. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，C 在第一象限，求以 CD 为直径的E 的最大面积，并判断此时E 与抛物线的对称轴是否相 切？若不相切，求出使得E 与该抛物线对称轴相切时点 C 的横坐标； （3
41、）坐标平面内是否存在点 M，使 B、C、D、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 M 的坐标； 不存在，请说明理由. 【答案】(1)； （2）不相切， C 的横坐标分别为 2 和； （3）M（0,1） ， （2,3） （0,1-3） ， （0,1+3）. （2）可得抛物线对称轴为：1， C 在第一象限,以 CD 为直径的E 的最大面积，即 CD 最长时，圆的面积最大， 设直线 CD 的横坐标为 t，0t3， D 点坐标（t，-t+3） ，C 点坐标（t，-t +2t+3） ， =-t +2t+3-(-t+3)= -t +3t（0t3） ， 当 t= 时，CD 最长，此时 CD 最长为
42、，来源: 此时圆 E 的半径为 ，此时 CD 与对称轴的距离为 -1= ， 故不相切. 当 CD 在对称轴右边时，即 1t3 时 = -t +3t（1t3） ；圆 E 的半径为 t-1， 可得=2r；-t +3t=2（t-1） ，解得： =-1（舍去） ； =2； 当 CD 在对称轴左边时，即即 0t1 时， 有-t +3t=2（1-t） ，解得：（舍去） ， ； 综上所述：t=2 或 t=，E 与该抛物线对称轴相切. (3)存在，由菱形性质可得 M 点坐标（0,1） ， （2,3） （0,1-3） ， （0,1+3）. 7 （天津市北部联盟 2018-2019 学年上学期期中考试九年级数学试
43、卷）如图，二次函数的 图象与 x 轴的一个交点为，另一个交点为 A，且与 y 轴相交于 C 点 （1）求 m 的值及 C 点坐标； （2）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 M，使得它与 B，C 两点构成的三角形面积最大，若存在， 求出此时 M 点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P 为抛物线上一点，它关于直线 BC 的对称点为 Q，当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标(直接写 出答案)； 【答案】(1) (2) 存在, (3) 点坐标为()或() ， 8 如图， 抛物线与坐标轴相交于 、三点，是线段上一动点 （端点除外） ， 过 作， 交于点 ，连接 直接写出 、 、 的
44、坐标； 求抛物线的对称轴和顶点坐标； 求面积的最大值， 并判断当的面积取最大值时， 以、为邻边的平行四边形是否为菱形 【答案】 （1）、对称轴是直线，顶点坐标是 （3）以、为 邻边的平行四边形不是菱形 9 （浙江省绍兴市元培中学）如图，直线与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线经 过 、 两点，与 轴的另一个交点为 ，连接 （1）求抛物线的解析式及点 的坐标； （2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点的坐标； （3）点 从点 出发，沿线段由 向 运动，同时点 从点 出发，沿线段由 向 运动， 、 的运动速 度都是每秒 个单位长度，当 点到达 点时， 、 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在
45、点 ，使 、 运动过程中的某一时刻，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在， 说明理由 【答案】 （1）（2），或（3）或或 解得：或， ， 设， 当时，如答图所示 ， ，故点满足条件 过点作轴于点 ，则， ， ， 直线的解析式为： 联立与， 得：， 解得：， ， ； ， 直线的解析式为： 联立与得：， 解得：， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为：或 则， 点与点 横坐标相差 个单位， ； 若以为菱形对角线，如答图此时，菱形边长 ， ，点 为中点， 点与点 横坐标相差 个单位， ； 10（2018 年中考试题） 如图， 已知二次函数的图象经过点， 与 轴分
46、别交于点 ， 点. 点 是直线上方的抛物线上一动点. （1）求二次函数的表达式； （2）连接，并把沿 轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点 的坐标； （3）当点 运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形的最大面积. 【答案】(1）该二次函数的表达式为； （2）点 P 的坐标为（， ） ； （3）P 点的坐标 为，四边形 ABPC 的面积的最大值为 （3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F， 设 P（m，） ，设直线 BC 的表达式为， 类型三类型三 矩形的存在性探究矩形的存在性探究 例 3： （海南省琼中县 2018 年中考
47、数学二模试卷）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与直线 AB：y=x+ 相 交于点 A（1，0）和 B（t， ） ，直线 AB 交 y 轴于点 C （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 D 是 x 轴上的一个动点，连接 BD、CD，请问 BCD 的周长是否存在最小值？若存在，请求出点 D 的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由 （3）设点 M 是抛物线对称轴上一点，点 N 在抛物线上，以点 A、B、M、N 为顶点的四边形是否可能为矩 形？若能，请求出点 M 的坐标，若不能，请说明理由 【答案】 （1）y= x2+x ，x=1； （2）5+2； （3）能为矩形，M（1，4）
48、 （2）直线 AB：y=- x+ 相交于点 C（0， ） ， 作点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（0，- ） ， 连接 BC交 x 轴于点 D，根据“两点之间线段最短”可得 BD+CD 的和最小， 从而BCD 的周长也最小， B（4， ） ，C（0， ） ， 直线 BC的解析式为 y= x 令 y=0，可得 x= ， D（ ，0） ， 当BCD 的周长最小时，点 D 的坐标为（ ，0） ， 最小周长=BC+BC=+=5+2； （3） 针针对训练对训练 1 （山东省德州市第七中学 2019 届九年级数学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点 （点 在点 的左侧） ， 经
49、过点 的直线与 轴交于点 ， 与抛物线的另一个交点为 ，且 直接写出点 的坐标，并求直线 的函数表达式（其中 ， 用含 的式子表示） ； 点 是直线 上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为 ，求 的值； 设 是抛物线对称轴上的一点，点 在抛物线上，以点 ， ， ， 为顶点的四边形能否成为矩形？若能， 求出点 的坐标；若不能，请说明理由 来源:ZXXK 【答案】 （1）A（1，0） ，； （2）a= ； （3） 点的坐标为， （2）过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax22ax3a） ，则 F（x，ax+a） ，EF=ax22ax3aax a=ax23ax4a，S ACE
50、=S AFE S CEF = （ax23ax4a） （x+1） （ax23ax4a）x= （ax23ax4a） = a（x ）2a，ACE 的面积的最大值=a ACE 的面积的最大值为 ，a= ，解得：a= ； （3）以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形，令 ax22ax3a=ax+a，即 ax23ax4a=0，解得： x1=1，x2=4，D（4，5a） 抛物线的对称轴为直线 x=1，设 P（1，m） ，分两种情况讨论： 若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，则易得 Q（2，3a） ，m=5a（3a）=8a，则 P（1，8a） 四边形 APDQ 是矩形，APD=90 ，AP2+PD2
