1、5.3 5.3 诱导公式诱导公式 本节课选自 普通高中课程标准数学教科书-必修第一册一 （人教 A 版） 第五章 三角函数 ， 本节课是第 5 课时。 本节主要是推导诱导公式二、 三、 四、 五、 六,并利用它们解决一些求值、 化简、 证明三角恒等式。 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公 式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、 证明等 问题。 在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是 利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体
2、现,在教学中注 意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识特别是在本课时的三 个转化问题引入后,为什么确定 180+a 角为第一研究对象,a 角为第二研究对象,正是化归思想的运 用。 课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角,学 生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制, 但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习。 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切 的诱导公式 B.能正确运用诱导公式将任意角的三角函
3、数化为锐角的三角函数，并解决有关三角 函数求值、化简和恒等式证明问题； C.了解未知到已知、复杂到简单的转化过 程，培养学生的化归思想。 1.数学抽象：利用单位圆找不同角的关系； 2.逻辑推理：诱导公式的推导； 3.数学运算： 有关三角函数求值、 化简和恒等式证明问 题。 1.教学重点：诱导公式的记忆、理解、运用； 2.教学难点：诱导公式的推导、记忆及符号的判断。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 任意角三角函数的定义 【答案】设角，是一个任意角，R它的终边与单位圆交于点 ),(Pyx。 那么（1）;sin,sinyy即的正弦函数。记作叫做 （2）;c
4、os,cosxx即的余弦函数。记作叫做 ;tan,tan x y x y 即的正切。记作叫做 2.诱导公式一 tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k ，其中，zk。 终边相同的角的同一三角函数值相等 二、探索新知 思考 1： （1）.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系? 【答案】相等 （2）.角 -与的终边 有何位置关系? 【答案】终边关于 x 轴对称 （3）.角与的终边 有何位置关系? 【答案】终边关于 y 轴对称 （4）.角与的终边 有何位置关系? 【答案】终边关于原点对称 思考 2： 已知任意角的终边与单位圆相交于点 P(x, y),请同学 们思考回答
5、点 P 关于原点、x 轴、y 轴对称的三个点的坐标是什么? 【答案】点 P(x, y)关于原点对称点 P1(-x, -y) 点 P(x, y)关于 x 轴对称点 P2(x, -y) 点 P(x, y)关于 y 轴对称点 P3(-x, y) 探究一 如图， 角的三角函数值与的三角函数值之间有什么 关系？ 角 + 与角 的终边关于原点O对 称， x y xytan,cos,sin ， x y x y xy )tan(,)cos(,)sin( 通过复习上节所学 任意角三角函数的 定义与诱导公式一， 引入本节新课。建立 知识间的联系，提高 学生概括、类比推理 的能力。 通过思考让学生了 解角终边之间的
6、关 系，为推导诱导公式 作铺垫，提高学生的 解决问题、分析问题 的能力。 通过探究，由图形观 察角 的三角函 数值与的三角函 数值之间有什么关 系，进而得到诱导公 式二，提高学生分析 问题、概括能力。 通过探究，由图形观 察角 的三角函数 值与的三角函数 值之间有什么关系， 进而得到诱导公式 三，提高学生分析问 题、概括能力。 （公式二）sin( + ) = sin ， cos( + ) = cos ， tan( + ) = tan 。 探 究 二 角与的 三 角 函 数 值 之 间 有 什 么 关 系 角 与角 的终边关于x轴对称，有 x y xytan,cos,sin 。 x y x y
7、xy )tan(,)cos(,)sin( 。 （公式三） sin() = sin ， cos() = cos ， tan() = tan 。 探究三 根据上两组公式的推导，你能否推导出角与角的 三角函数值之间的关系？ 角与 角的 终 边 关 于y轴 对 称 ， 故 有 x y xytan,cos,sin x y x y xy )tan(,)cos(,)sin( 所以，（公式二）sin( - ) = sin ， cos( - ) = cos ，tan( - ) = -tan 。 思考 3：这四个诱导公式有什么规律？ ，)(2Zkk的三角函数值，等于的同名 通过探究，由图形观 察角 的三角函 数值
8、与的三角函 数值之间有什么关 系，进而得到诱导公 式三，提高学生分析 问题、概括能力。 通过思考，寻找这四 个诱导公式的共同 规律，提高学生分析 问题、概括能力。 通过例题练习诱导 公式，进一步理解诱 导公式的作用，提高 学生解决问题的能 力。 通过思考总结用诱 导公式求任意角三 角函数值的步骤，提 高学生解决问题的 能力。 函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 总结为一句话：函数名不变，符号看象限。 例 1.求下列三角函数值 (1)cos225 ;(2)sin 3 8 ;(3)sin( 3 16 );(4)tan(-2 040 ). 活动活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉
9、公式,通过练习 加深印象,逐步达到熟练、 正确地应用.让学生观察题目中的角的范围, 对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：解：(1)cos225 =cos(180 +45 )=-cos45 = 2 2 ; (2)sin 3 8 =sin(2 3 2 )=sin 3 2 =sin) 3 ( =sin 3 = 2 3 ; (3)sin( 3 16 )=-sin 3 16 =-sin(5+ 3 )=-(-sin 3 )= 2 3 ; (4)tan(-2 040 )=-tan2 040 =-tan(6 360 -120 ) =tan120 =tan(180 -60 )=-tan60 =3. 思考
10、 4：通过例题，你对诱导公式一、二、三、四有什么进一步的认 识？你能归纳任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤吗？ 利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可 按下列步骤进行: 上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 例 2.化简： )180cos()180tan( )360sin()180cos( 解析见教材 探究四 作 P（x,y)关于直线 xy 的对 称点 P1,以 OP1为终边的角与角有什么 关系？角与角的三角函数值之间有什 么关系？ )(), 2 (2Zkk ， ),(P1xy，公式五 sin()cos, 2 cos()sin, 2 通过探究，由图 形
11、观察角 2 和 角 2 的三角函 数值与的三角函 数值之间有什么关 系，进而得到诱导公 式五、六，提高学生 分析问题、概括能 力。 通过思考，寻找诱导 公式的共同规律，提 高学生分析问题、概 括能力。 通过例题的讲解，让 学生进一步理解用 诱导公式化简三角 函数关系式、求任意 角的三角函数值，提 高学生解决与分析 问题的能力。 探究五：作点 P（x,y)关于 y 轴的对称点 P5， 又能得到什么结论？ 轴对称的终边关于与角角y 2 。 ）（yx,P5，公式六 sin()cos , 2 cos()sin 2 思考 5：你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？ 【答案】 2 的正弦(余弦)函数值
12、,分别等于的 余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 思考 6：诱导公式可统一为)( , 2 Zk k 的三角函数与的三角函 数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？ 【答案】口诀：奇变偶不变，符号看象限 口诀的意义： 2 1 2 kkZ k k （）的三角函数值 ）当 为偶数时，等于 的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； ）当 为奇数时，等于 的异名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 例3. 证明： sin) 2 3 cos()2( ;cos) 2 3 sin(.1）（。 解析见教材 例 4 化简 11 sin 2
13、coscoscos 22 9 cossin 3sinsin 2 解析见教材 例5 已 知 5 1 )53sin( ， 且 90270 ， 求 )37sin( 的值。 解析见教材 三、达标检测 1下列各式不正确的是( ) Asin(180)sin Bcos()cos() Csin(360)sin Dcos()cos() 【解析】 cos()cos()cos()， 故 B 项错误 【答案】 B 2sin 600的值为( ) A1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【解析】 sin 600sin(720120)sin 120 sin(18060)sin 60 3 2 .故选 D 【答案】 D
14、3cos 1 030( ) Acos 50 Bcos 50 Csin 50 Dsin 50 【解析】 cos 1 030cos(336050) cos(50)cos 50. 【答案】 A 4若 sin 2 0，则 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三角限角 D第四象限角 【解析】 由于 sin 2 cos 0，所以角 的终边落在第二象限，故选 B 【答案】 B 5已知 sin 6 11，求 cos 11 2 sin(3)的值. 【解】 sin 6 11， cos 11 2 cos 6 2 cos 2 cos 2 sin 6 11， cos 11 2 sin(3) 6 11sin() 6
15、 11sin 12 11. 通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识。 四、小结 1. 诱导公式； 2.诱导公式的记忆； 3.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤。 五、作业 习题 5.3 4,6 题 通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力,提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。 对本节内容在进行教学设计之前,本人反复阅读了课程标准和教材,针对教材的内容,精心编排 了导学精要,让学生亲历知识发生、发展的过程,积极投入到思维活动中来,通过与学生的互动交流, 关注学生的思维发展,在逐渐展开中,引导学生用己学的知
16、识、 方法予以解决,并获得知识体系的更新 与拓展,收到了一定的预期效果,尤其是练习的处理,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的 尝试活动,感受“观察一归纳一概括一一应用”等环节,在知识的形成、发展过程中展开思维, 逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力,充分发挥了学生的主体作 用,也提高了学生主体的合作意识,达到了设计中所预想的目标 然而还有一些缺憾:对本节内容,难度不高,本人认为,教师的干预(讲解)还是太多。在以后 的教学中,对于一些较简单的内容,应放手让学生多一些探究与合作。 随着教育改革的深化,教学理念、 教学模式、 教学内容等教学因素,都在不断更新,作为数学教师要更新教学观念,从学生的全面发展来 设计课堂教学，关注管学生个性和潜能的发展,使教学过程更加切合课程标准的要求。用全新的 理论来武装自己,让自己的课堂更有效。
