1、第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数对数函数的概念的概念 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.4.1 节对数 函数的概念 。对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系 密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数 的图象亦有其独特的美感。学习中让学生体会在类比推理，感受图像的变化，认识变化的规律，这 是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养学 生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。
2、 课程目标 学科素养 1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定 义域； 2、了解对数函数与指数函数之间的联系，培 养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思 维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本 数学思想方法。 3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识 事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数 学应用的意识，感受数学、理解数学、探索 数学，提高学习数学的兴趣。 a.数学抽象：对数函数的概念； b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系； c.数学运算：求对数函数的定义域； d.直观想象：对数函数的图像； e.数学建模：运用对数函数解决实际问题； 教学重点：对数函数的概念、求对数函数的定义域 教学难点：
3、对数函数与指数函数的关系。 多 媒 体 教学过程 设计意图 核心教学素养目 标 （一） 、问题探究 问题问题 1 当生物死亡后， 它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减 （称为衰减率），大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为 “半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有 怎样的关系？ 设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 p，如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位， 那么， 死亡年后， 生物体内碳含量为 （1-p) 1 ； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p) 2 ； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p) 3 ； 死亡年后，生物体
4、内碳含量为（1-p) 5730 根据已知条件， （1-p) 5730 ,从而 1-p= ,所以 p=1- 设生物死亡年数为 x，死亡生物体内碳含量为 y，那么 y=（1-p) x ， 即 , （x，） 这也是一个函数，指数 x 是自变量死亡生物体内碳含量每年都以 1- 减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰 减因此，死亡生物体内碳 14 含量呈指数衰减 在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律 的问题对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对 其蕴含的规律作进一步的研究 在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳 14 的含量 y 随死亡时间 x
5、的变化而衰减的规律反过来，已知死亡生物体内碳 14 的含量，如何 得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间 x 是碳 14 的含量 y 的函 数吗？ 2、概念、概念建构建构 根据指数与对数的关系，由 （x）得到 如图过 y 轴正半轴上任意一点（0， ）（ ）作 x 轴的 温故知新， 通过 对上节指数函数 问题的回顾，提 出新的问题，构 建对数函数的概 念。培养和发展 逻辑推理和数学 抽 象 的 核 心 素 养。 通过对指数 函数回顾，类比 得出对数函数的 概念质，发展学 生逻辑推理，数 学抽象、数学运 算等核心素养； 平行线，与 （x） 的图象有且只有一个交点（ ， ） 这就说明，对于任意一
6、个 y（， 通过对应关系 ， 在，）上，都有唯一确定的数 x 和它对应，所以 x 也是 y 的函数 也就是说，函数 刻画了时间 x 随碳 14 含量 y 的衰减而变化的规律 同样地，根据指数与对数的关系，由 （ ，且 ） 可以得到 （ ，且 ）,x 也是 y 的函数 通常，我们用 x 表示自变量，表 y 示函数 为此，将 （ ，且 ）中的字母 x 和 y 对调， 写成 y x（ ，且 ） 对数函数的概念对数函数的概念 函数 ylo_x(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量， 函数的定义域是(0，) （二）、典例解析 题型题型 1 对数函数的概念及应用对数函数的概念及应用 例 1 (
7、1)下列给出的函数：ylog5x1； ylogax2(a0，且 a1 ；ylog( 3 1)x； y1 3log3x；ylogx 3(x0，且 x1 ； ylog2 x.其中是对数函数的为( ) A B C D (2)若函数 ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数，则 a_. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则 f 1 2 _. (1)D (2)4 (3)1 (1)由对数函数定义知，是对数函数，故选 D. (2)因为函数 ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数， 所以 2a10， 2a11， a25a40， 解得 a4. (3)设对数函数为 f(x)logax(a0 且
8、a1 ， 由 f(16)4 可知 loga164，a2， f(x)log2x， f 1 2 log21 21. 规律方法 判断一个函数是对数函数的方法 通过典例问题 的分析，让学生 进一步熟悉对数 函数的概念性。 培养逻辑推理核 心素养。 求解对数函数 的定义域，发展 学生数学运算、 逻辑推理的核心 素养； 跟踪训练 1若函数 f(x)(a2a5)logax 是对数函数，则 a_. 答案答案：2 由 a2a51 得 a3 或 a2.又 a0 且 a1，所以 a2. 题型题型 2 对数函数的定义域对数函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域 (1)f(x) 1 log1 2x1 ；(2)f(x)
9、 1 2xln(x1)； (3)f(x)log(2x1)(4x8). 解 (1)要使函数 f(x)有意义，则 log1 2x10，即 log 1 2x1， 解得 0 x0， 2x0， 2x0 即 x1， x2， 解得1x0， 2x10， 2x11， 解得 x1 2， x1. 故函数 ylog(2x1)(4x8)的定义域为 x 1 2x0， x30， 解得 x2 且 x3， 所以函数定义域为(2,3)(3， (2)要使函数有意义，需满足 164x0， x10， x11， 解得1x0 或 0 x0，且 a1 Cylogax2(a0，且 a1 Dyln x 【答案】D 结合对数函数的形式 yloga
10、x(a0 且 a1 可知 D 正确 2函数 f(x) lg xlg(53x)的定义域是( ) A. 0，5 3 B. 0，5 3 C. 1，5 3 D. 1，5 3 【答案】C 由 lg x0， 53x0， 得 x1， x5 3， 即 1x5 3. 3已知 f(x)log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若 f(a)f(2)，利用图象求 a 的取值范围. 【答案】(1)作出函数 ylog3x 的图象如图所示 (2)令 f(x)f(2)， 即 log3xlog32，解得 x2. 由图象知：当 0a2 时，恒有 f(a)f(2) 所以所求 a 的取值范围为 0a2. 通过练习巩固本 节所学知识，巩 固对数函数的概 念，增强学生的 数学抽象、数学 运算、逻辑推理 的核心素养。 ，0 四、小结 1.对数函数的定义:一般地,函数 叫做对数函数. 其中 x 是自变量.定义域为 . 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂 学习，自主总结 知识要点，及运 用的思想方法。 注意总结自己在 学 习 中 的 易 错 点； 1, 0logaaxy a 且
