1、3.1.1 函数的概念 函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数 的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等. 课程目标课程目标 1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。 2.掌握判定函数和函数相等的方法。 3.学会求函数的定义域与函数值。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义； 2.逻辑推理：相等函数的判断； 3.数学运算：求函数定义域和求函数值； 4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域； 5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特
2、殊到一般”的分析问题 的能力，提高学生的抽象概括能力。 重点：重点：函数的概念，函数的三要素。 难点：难点：函数概念及符号 y=f(x)的理解。 教学方法教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、 情景导入情景导入 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？ 高中又是怎样定义？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课预习课本，引入新课 阅读课本 60-65 页，思考并完成以下问题 1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？ 2. 如何用区间
3、表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、三、 新知新知探究探究 1函数的概念 (1)函数的定义： 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属 x，在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)x A. (2)函数的定义域与值域： 函数yf(x)中，x叫做自变量， x 的取值范围叫做函数的定义域， 与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合*()| +叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集 2区间概念(a，b 为实
4、数，且 ab) 3其它区间的表示 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 函数的定义函数的定义 例例 1 1 下列选项中(横轴表示 x 轴,纵轴表示 y 轴),表示 y 是 x 的函数的是( ) 【答案】D 解题技巧：（判断是否为函数） 定义定义 名称名称 符号符号 数轴表示数轴表示 x|axb 闭区间闭区间 x|axb 开区间开区间 x|axb 半开半闭区间半开半闭区间 x|axb 半开半闭区间半开半闭区间 R x|xa x|xa x|xa x|xa 定定 义义 符符 号号 a，b (a，b) a，b) (a，b (，) a，) (a， ，) (，a (，a) 1. （图
5、形判断） y 是 x 的函数,则函数图象与垂直于 x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点, 则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象. 2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一跟踪训练一 1.集合 A=x|0 x4,B=y|0y2,下列不表示从 A 到 B 的函数的是( ) 【答案】C 题型二题型二 相等函数相等函数 例例 2 2 试判断以下各组函数是否表示同一函数: (1)f(x)=( ) 2 ,g(x)= ; (2)y=x 0 与 y=1(x0);(3)y=2x+1(xZ)与 y=2x-1(xZ). 【答案】见
6、解析 【解析】 :(1)因为函数 f(x)=( )2 的定义域为x|x0,而 g(x)= 的定义域为x|xR,它们的定 义域不同,所以它们不表示同一函数. (2)因为 y=x 0 要求 x0,且当 x0 时,y=x 0 =1,故 y=x 0 与 y=1(x0)的定义域和对应关系都相同,所以 它们表示同一函数. (3)y=2x+1(xZ)与 y=2x-1(xZ)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定定义义域域优优先先原原则则 1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等. 2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训
7、练二跟踪训练二 1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: f(x)= - ,g(x)=x-1; f(x)= ,g(x)= ; f(x)= ) ,g(x)=x+3; f(x)=x+1,g(x)=x+x 0 ; 汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系 f(t)=80t(0t5)与一次函数 g(x)=80 x(0 x5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】 【解析】f(x)与 g(x)的定义域不同,不是同一函数; f(x)与 g(x)的解析式不同,不是同一函数; f(x)=|x+3|,与 g(x)的解析式不同,不是同一函数; f(x)与 g(x)的定义域不同,不是同一函数; f
8、(x)与 g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三题型三 区间区间 例例 3 3 已知集合 A=x|5-x0,集合 B=x|x|-30,则 AB 用区间可表示为 . 【答案】(-,-3)(-3,3)(3,5 【解析】A=x|5-x0,A=x|x5.B=x|x|-30,B=x|x3. AB=x|x-3 或-3x3 或 3x5,即 AB=(-,-3)(-3,3)(3,5. 解题技巧：（如何用区间表示集合） 1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别. 2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟
9、踪训练三跟踪训练三 1.集合x|0 x1 或 2x11用区间表示为 . 2. 若集合 A=2a-1,a+2,则实数 a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)2,11 (2)(-,3) 【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或a,b)成立的条件是 ab. A=2a-1,a+2,2a-1a+2.a3,实数 a 的取值范围是(-,3). 题型四题型四 求函数的定义域求函数的定义域 例例 4 4 求下列函数的定义域:(1)y= ) | |- ; (2)f(x)= - - - . 【答案】(1) (-,-2)(-2,0) (2) (-,1)(1,4 【解析】(1)要使函数有意义
10、,自变量 x 的取值必须满足 , | |- , 即 - , | | ,解得 x , , 解得- x2,且 x0,所以函数 y= - 的定义域为 |- ,且 . (2)已知 f(x)的定义域是-1,4,即-1x4.故对于 f(2x+1)应有-12x+14, -22x3,-1x .函数 f(2x+1)的定义域是- , . 题型五题型五 求函数值（域）求函数值（域） 例例 5 5 (1)已知 f(x) (xR，且 x1)，g(x)x 2 2(xR)，则 f(2)_， f(g(2)_. (2)求下列函数的值域： yx1； yx 2 2x3，x0,3)；y ； y2x . 【答案】（1）1 3 1 7
11、（2） R 2,6) y|yR 且 y3 15 8 ， 【解析】(1) f (x) 1 1x，f(2) 1 12 1 3. 又g (x)x 22，g (2)2226， f ( g(2)f (6) 1 16 1 7. (2) (观察法)因为 xR，所以 x1R，即函数值域是 R. (配方法)yx 22x3(x1)22，由 x0,3)，再结合函数的图象(如图)， 可得函数的值域为2,6) (分离常数法)y3x1 x1 3x34 x1 3 4 x1. 4 x10，y3，y 3x1 x1 的值域为y|yR 且 y3 (换元法)设 t x1， 则 t0且 xt 21， 所以 y2(t21)t2 t1 4
12、 215 8 ，由 t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为 15 8 ， . 解题方法（求函数值（域)的方法） 1.已知 f(x)的表达式时,只需用数 a 替换表达式中的所有 x 即得 f(a)的值. 2.求 f(g(a)的值应遵循由内到外的原则. 3. 求函数值域常用的 4 种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像 求其值域； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域； （4） 换元法： 即运用新元代换，
13、将所给函数化成值域易确定的函数， 从而求得原函数的值域.对于 f （x） =ax+b+ （其中 a，b，c，d 为常数，且 a 0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五跟踪训练五 1.求下列函数的值域：(1)y 1；(2)y . 【答案】(1) 1，) (2) ( , 【解析】(1)因为 2x10，所以 2x111，即所求函数的值域为1，) (2)因为 y1x 2 1x 21 2 1x 2，又函数的定义域为 R，所以 x 211，所以 0 2 1x 22，则 y(1,1 所以所求函数的值域为(1,1. 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、七、作业作业 课本 67 页练习、72 页 1-5 本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的 能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律. 3.1.1 函数的概念 1.定义 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 2.区间
