1、1 第第 23 讲讲 不会输的游戏不会输的游戏 【专题简析】【专题简析】 小朋友都很喜欢做游戏，数学中也有很多游戏。通过数学游戏，不仅能培养我们把实际问 题数学化的能力，而且还能培养我们学习数学的兴趣。 在这些游戏中，想要使拿到最后一个者获胜，首先要决定谁先拿，如果把物品总数除以每次 取物品个数的和，没有余数，就让对方先拿，自己拿的个数必须和对方拿的个数合起来是两 人每次的和。 【例题 1】 桌上有 21 根火柴，小邱和小红轮流取，每人每次取 1 根或 2 根，谁取到最后一根谁就获胜。 小红该怎样取才能保证获胜？ 思路导航： 因为每人每次只能拿 1 根或 2 根，所以只要小邱先拿，小红就一定能
2、拿到第三根，即小邱拿 1 根，小红就 拿 2 根，小邱拿 2 根，小红就拿 1 根，如此拿下去小红就能把 3、6、9、12、15、18、21 这些“制高点”掌 握在手，从而获胜。因此只要把火柴总数除以二人每次取火柴的和，如果没有余数，就让双方先拿。 解：小红让小邱先拿，并且每次自己拿的个数和小邱拿的根数合起来是 3，则小红保证能获 胜。 练习 1 1.小明和小刚一起做游戏，他们把 18 粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次只能拿 1 粒或 者 2 粒，谁拿到最后一粒谁就获胜，你能让小明保证获胜吗？ 2.桌上放着一堆火柴，共 56 根。由甲乙两人轮流拿，每人每次拿 1 至 3 根，拿到最后一根的
3、 人获胜，问该怎样拿才能保证获胜？ 2 3.桌上有 20 颗彩珠，小丽和小兰轮流拿，每人每次只能拿 1 颗或 2 颗，谁拿到最后五颗，谁 就获胜，小兰该怎样拿才能保证获胜呢？ 【例题 2】甲、乙两名同学从 1 到 30 轮流连续报数，谁先报到 30 这个数，谁就获胜，规定： 每人每次最多报三个数，最少一个数。如甲报 1，乙可报 2 或 2，3 或报 2，3，4；接着甲可 报乙报的数后面的 1 个数或 2 个数或 3 个数。问：有没有必胜的报数策略？ 思路导航： 要想必胜，就要抢到 30。要抢到 30，只要捡到 26，这时如果对方报 27，你就报 28，29，30； 如果对方报 27，28，你就
4、报 29，30；对方报 27，28，29，你就报 30。同理，要抢到 26，只要抢到 22。要抢到 22， 只要抢到 18。同理只要抢以 14，10，6，2 即可。也就是从 30 继续减去 4（30472，余数是几，就 必须先抢到几） 。策略是自己先报，且先报到 2，这样就能确保抢到 6。 解：你先报到 2，对方报 3，你就报 4，5，6；对方报 3，4，你就报 5，6；对方报 3，4，5， 你就报 6；同理可以确保抢到 10，14，18，22，26，30。 练习 2 1.小东和小华做游戏，他们把 19 粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次能拿 1 粒或者 2 粒， 谁拿到最后一粒，谁就获胜。
5、这次小东该怎样拿才能保证获胜呢？ 2.桌上有 22 根火柴，小明和小红轮流取，每人每次只能取 1 根或 2 根，谁取到最后一根谁获 胜。这次小红该怎样取才能保证获胜？ 3 3.报 80，两人轮流报，从 1 开始，每人每次报 15 个连续数，如果一人报 1，另一个人可报 2 或 2，3 或 2，3，4，或 2，3，4，5，或 2，3，4， 5，6； 如果一人报 1、2、3、另一人可报 4 或 4， 5 或 4，5，6 或 4，5，6，7 或 4，5，6，7，8，谁先报到 80 谁就获胜。问怎样报才 能取胜？ 【例题 3】 有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，多取不限，但不有不
6、取。谁 取到了最后一枚棋子为胜，如果甲后取，他一定能取胜吗？ 思路导航： 由于两堆棋子的枚数相等，例如都有 5 枚，如图： 如果乙先在左边取 2 枚，甲在右边取 2 枚，这时两边都还有 3 枚： 乙先在哪一边取几枚，甲就在另一边取几枚，甲一定取走最后一枚棋子。甲后取，一定能获胜，不论乙先 在其中哪一堆里取多少枚棋子，甲总可以在另一堆里取相同枚数的棋子，因此甲一定能获胜，如果两堆棋 子数不相等，只要甲先取出较多一堆里比另一堆多的枚数，使得两堆棋子枚数相等，就可以转化为例题中 的情形。 解：见思路导航 练习 3 1.左边有 10 枚棋子，右边有 12 棋子，两人轮流去取，取到最后一枚的得胜，先取好
7、还是后 取好？怎样取才能获胜？ 4 2.有三行棋子如下图，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚或 2 枚，谁最后 取完为胜，问：要想获胜是先取还是后取？ 【例题 4】 小东和小华玩 25 根小棒轮流取的游戏， 每人每次可取 1 根或 2 根， 谁取到最后一根谁就获胜。 小东先取了 2 根，小华怎样取才能获胜？ 思路导航： 25 根小棒小东先取走了 2 根，还有 25223（根） ，23372，小华也跟着取 2 根，然后不管小东 取几根，只要小华每次取的和小东每次取的根数合起来是 3，小华就一定能获胜。 解：见思路导航 练习 4 1.小华和小东做游戏，桌上有 45 粒棋子，每人每次
8、可取 1 粒或 2 粒，谁取到最后一粒谁获胜， 小华先拿走了 1 粒，问小东怎样取才能获胜？ 2.小军和小明在做游戏，他们在桌上放 50 根火柴棒，规定每人每次可取 1 根至 3 根，谁拿到 最后一根，谁获胜，小军先拿了 3 根，问小明怎样取才能获胜？ 3.两堆糖，两人轮流拿，一次只能在其中一堆拿，拿几根不限，最后一个把糖拿走的人算输， 怎样拿会输？ 5 1 11 1 1 10 0 8 8 7 75 5 4 4 2 2 1 1 1 12 2 3 3 6 6 9 9 【例题 5】 12 枚棋子摆成一圈，小华和小东轮流从中取走一枚或两枚，如果取走 2 枚，这两枚必须相邻。 谁取走最后一枚谁就获胜，
9、小华应采取什么样的策略才能获胜？ 思路导航： 小华可以这样做： （1）让小东先取走一枚或两枚之后，圆圈的某一位置将出现单独的空当。于是小华从圆圈中与这个空当 相对的一侧取走一枚或两枚，使得余下的棋子被两个空当分成数目相等的两部分。 （2）从这以后，小东从哪一部分中取走一枚或两枚，小华就从另一部分中取走相同数量的棋子，这样小 华就能取走最后一枚而获胜。 解：如右图：（数字是图中棋子的编号）小东在一侧 取一枚或几枚棋子，小华就在空当相对的另一侧取走 相同数量的棋子，小华获胜。 练习 5 1.桌子上摆成一圈放着 10 枚棋子，甲、乙两人轮流从中取，每次取一枚或取相邻的两枚，如 果 2 枚棋子之间已有
10、棋子被取走，它们不算相邻的，谁取到最后一枚就算胜利，你看是先取 有利还是后取有利？有没有必胜的方法？ 2.桌上摆成一圈放着 8 根小棒，每次只能取一根或相邻的两根（如果两根小棒之间有小棒被 取走，就不算相邻） ，小芳先取，乐乐后取，谁能取到最后一根就算胜利，乐乐要想取胜应怎 样取？ 3.有 11 根火柴，A、B 两个比赛，规定每个人每次可以拿 13 根火柴，但不能连续再次拿去 相同数目的火柴，谁拿到最后一根火柴，谁就得胜，如果 A 先开始拿，是否有必胜的方法？ 6 练习题答案 练习 1 1.让小刚先拿，小明 每次拿的个数与小刚拿的个数合起来是 3，小刚保证能获胜。 2.56414 没有余数，若
11、甲先拿，刚乙只要每次拿的火柴数和甲的合起来是 4，乙就会拿到 最后一根而获胜。 3.小兰必须先拿两颗，然后按小丽 1 颗，小兰 2 颗；或小丽 2 颗，小兰 1 颗的方法继续拿下 去，小兰才能保证获胜。 练习 2 1.19361，余数是 1，小东就先拿 1 粒，然后不管小华拿几粒，他都能保证拿到第 4， 第 7最后获胜。 2.22371，除下来有余数，小红应先把这个 1 根拿下，然后不管小明几根，只要小红 每次拿的火柴根数和小明拿的火柴根数合起来是 3，小红就能获胜。 3.806132，除下来有余数，先报者应先报两个数，然后不管后报者报几个数，只要先 报者每次报数的个数和后者合起来是 6，先报
12、者就会报到 80，从而获胜。 练习 3 1.要想取胜，要先取右边的 2 枚，然后对方取几枚，你就在另一堆也取几枚。 2.应先取。甲先在第二行取一枚棋子，如甲乙在第一行（或第二行）取 1 枚棋子，甲只需在 第三行取 2 枚棋子，则剩下第三行一枚棋子和第二行（或第一行）一枚棋子，甲必胜；甲先 在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行取一枚棋子，则甲只需在第三行取剩下的棋子，这时 在第一行和第二行分别剩下一枚棋子，甲必胜；甲先在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行 取 2 枚棋子，则甲只需在任一行取一枚棋子，这时在剩余的两行分别剩下一枚，甲必胜。 练习 4 1.45144（粒） ，443142，小东拿 2 粒
13、，然后不管小华拿几粒，只要小东每次取 的和小华合起来是 3，小东就一定取胜。 2.50347（根） ，474113，小军先拿 3 根，小明也跟着拿 3 根，然后小军不管拿几 根，只要小明每次拿的和小军合起来是 4，小明就一定获胜。 3.（1）如果两堆糖同样多，甲先拿几块，乙在另一堆也拿和甲同样多的块数，这样拿下去， 后拿的人一定得输。 （2）如果两堆糖不一样多，可以先从多的一堆里取出比少的一堆多的块数，然后后拿的人 拿几块，先拿的人也拿几块，这样下去，先拿的一定得输。 练习 5 7 1.后取者有利，有必胜的办法，无论先取者取走 1 枚或 2 枚棋子，后者总是在“缺口”对面取走 1 枚或 2 枚棋子，使余下的棋子变成数目相同的两段以后，无论先取者取走哪些棋子，后取 者总在另一段相应的位置上取走同样多的棋子，这样可以必胜。 2.乐乐后取，要想取胜，可以这样想 ： 不论小芳先取 1 根还是 2 根，乐乐总在“缺口”的对面取 走 1 根或 2 根，使余下的小棒变成数目相同的两段以后，不论小芳取走哪些小棒，乐乐只要 在另一段同样位置上取走同样多的小棒，这样可以必胜。 3.A 先拿，第一次拿 3 根，以后每次按规则拿后，使余下的根数为 8 或 4 或 0 根，即可取胜。
