1、1 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（26） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的 ( ) A 1 2 倍 B 1 4 倍 C 2 2 倍 D 2 4 倍 2 （5 分）满足条件|1| |34 |zi的复数z在复平面上对应点的轨迹是( ) A直线 B圆 C椭圆 D抛物线 3 （5 分）在二项式 10 (1) x的
2、展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是( ) A 2 5 B 4 11 C 5 11 D 6 11 4 （5 分）化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系 所处的状态根据计算系统的吉布斯自由能变化()G的热力学公式GibbsHelmholtz方 程和VantHoff方程，可以得到温度( )T与可逆反应的平衡常数()K的关系式： HTS GRTlnK 式中H为焓变（在一定温度变化范围内视为定值） ，S为熵变，R为气体常数利用上 述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算已知当 温度为 1 T时，可逆反应的平衡常数为 1 K；当温度
3、为 2 T时，可逆反应的平衡常数为 2 K则 1 2 ( K ln K ) A 12 1 2 ()H TT RTT B 21 1 2 ()H TT RTT C 12 ()S TT R D 21 ()S TT R 5 （5 分）已知a，b是非零向量且满足(2 )aba，(2 )bab，则a与b的夹角是( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 2 6 （5 分）习近平总书记在 2022 年北京冬奥会筹办工作汇报会上指出，建设体育强国是全 面建设社会主义现代化国家的一个重要目标 某学校为贯彻落实教育部新时代体育教育精神， 面向全体学生开设了体育校本课程 该校学生小烷选完课程后， 其他三位同学根
4、据小烷的兴 趣爱好对他选择的课程进行猜测 甲说： “小烷选的不是足球，选的是篮球 ” 乙说： “小烷选的不是篮球，选的是羽毛球 ” 丙说： “小烷选的不是篮球，也不是乒乓球 ” 已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推 断小烷选择的课程( ) A可能是乒乓球 B可能是足球 C可能是羽毛球 D一定是篮球 7 （5 分）已知平面与所成的二面角为80，P为、外一定点，过点P的一条直线 与、所成的角都是30，则这样的直线有且仅有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 8（5 分） 已知函数( )f x在(0,1)上恒有( )2 ( )xfxf x， 其中
5、( )fx为函数( )f x的导数， 若， 为一个锐角三角形的两个内角，则( ) A 22 sin(sin)sin(sin)ff B 22 cos(sin)sin(cos)ff C 22 cos(cos )cos(cos)ff D 22 sin(cos )sin(cos)ff 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分） 对任意A
6、，BR， 记A |Bx xAB，xAB， 并称AB为集合A， B的对称差例如，若1A，2，3，2B ，3，4，则A1B ，4，下列命题中， 为真命题的是( ) A若A，BR且ABB，则A B若A，BR且AB ，则AB C若A，BR且ABA，则AB D存在A，BR，使得A R BA RB 3 10 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p上三点 1 (A x， 1) y，(1,2)B， 2 (C x， 2) y，F为抛物 线的焦点，则( ) A抛物线的准线方程为1x B0FAFBFC，则|,|,|FAFBFC成等差数列 C若A，F，C三点共线，则 12 1y y D若| 6AC ，则AC的中
7、点到y轴距离的最小值为 2 11 （5 分）设函数 2 sin ( ) 1 x f x xx ，则( ) A( )f x的最大值为 4 3 B|( )|5|f xx C曲线( )yf x存在对称轴 D曲线( )yf x存在对称中心 12 （5 分） “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”大衍数列，来源于乾坤谱中 对易传 “大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中 华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题 大衍数列中的每一项都代表太极衍生过 程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为 0，2，4，8，12，18，24，32，40， 50，记大衍数列为 n a
8、，其前n项和为 n S， * nN，则( ) A 20 220a B 3572021 1111505 1011aaaa C 23 2156S D 24648 9800aaaa 4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若一个圆锥的轴截面是面积为4 3的等边三角形，则该圆锥的表面积为 14 （5 分）函数( )f x满足以下条件： ( )f x的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线； ( )f x是偶函数； ( )f x在(0,)不是单调函数； ( )f x恰有 2 个零点 请写出函数( )f x的一个解析式 1
9、5 （5 分）2020 年 12 月 31 日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒 灭活疫苗已获国家药监局批准附条件上市 在新冠病毒疫苗研发过程中， 需要利用基因编辑 小鼠进行动物实验 现随机抽取 100 只基因编辑小鼠对某种新冠病毒疫苗进行实验， 得到如 下22列联表（部分数据缺失）: 被新冠病毒感染 未被新冠病毒感染 总计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 总计 a 100 表中a的值为 ；计算可知，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“给基因 编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果” 参考公式： 2 ()2 ()()()() n adbc K ab
10、cd ac bd ，nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16 （5 分）已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) yx Eab ab 的两个焦点，E上的点P到 原点的距离为b，且 2112 sin3sinPF FPFF，则双曲线E的渐近线方程为 5 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（26） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小
11、题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的 ( ) A 1 2 倍 B 1 4 倍 C 2 2 倍 D 2 4 倍 【解答】解：水平放置的平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是2 2， 所以用斜二测画法作一个五边形的直观图，其直观图的面积是原来五边形面积的 1 2 2 倍， 即 2 4 倍 故选：D 2 （5 分）满足条件|1| |34 |zi的复数z在复平面上对应点的轨迹是( ) A直线
12、 B圆 C椭圆 D抛物线 【解答】解：设zxyi，由|1| |34 |zi， 可得|(1)| |34 |xyii，即 2222 (1)34xy， 两边同平方可得 22 (1)25xy， 所以复数z在复平面上对应点的轨迹是以(1,0)为圆心，5 为半径的圆 故选：B 3 （5 分）在二项式 10 (1) x的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是( ) A 2 5 B 4 11 C 5 11 D 6 11 【解答】解：有题意知本题是一个等可能事件的概率， 在二项式 10 (1)x 的展开式中任取一项有 11 种结果， 1 和x系数都为 1，我们只考虑二项式系数即可 二项式系数为 1，10，
13、45，120，210，252，210，120，45，10，1 得到奇数 4 个， 任取一项，该项的系数为奇数的概率 4 11 p 故选：B 6 4 （5 分）化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系 所处的状态根据计算系统的吉布斯自由能变化()G的热力学公式GibbsHelmholtz方 程和VantHoff方程，可以得到温度( )T与可逆反应的平衡常数()K的关系式： HTS GRTlnK 式中H为焓变（在一定温度变化范围内视为定值） ，S为熵变，R为气体常数利用上 述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算已知当 温度为 1 T时
14、，可逆反应的平衡常数为 1 K；当温度为 2 T时，可逆反应的平衡常数为 2 K则 1 2 ( K ln K ) A 12 1 2 ()H TT RTT B 21 1 2 ()H TT RTT C 12 ()S TT R D 21 ()S TT R 【解答】 解： 温度( )T与可逆反应的平衡常数()K的关系式： HTS GRTlnK ， 由题意可得 111 222 HTSRTlnK HTSRT lnK ，则有 1 1 1 2 2 2 TSH lnK RT TSH lnK RT ， 则有 11212 12 2121 2 ()KT SHTSHH TT lnlnKlnK KRTRTRTT 故选：A
15、 5 （5 分）已知a，b是非零向量且满足(2 )aba，(2 )bab，则a与b的夹角是( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：(2 )aba，(2 )bab， ( 2 2 )2abaa0a b， ( 2 2 )2babb0a b， 22 2aba b，设a与b的夹角为， 则由两个向量的夹角公式得 2 1 cos 2| |2 a ba ba b aaba b ， 60， 故选：B 7 6 （5 分）习近平总书记在 2022 年北京冬奥会筹办工作汇报会上指出，建设体育强国是全 面建设社会主义现代化国家的一个重要目标 某学校为贯彻落实教育部新时代体育教育精神， 面向全体学生开
16、设了体育校本课程 该校学生小烷选完课程后， 其他三位同学根据小烷的兴 趣爱好对他选择的课程进行猜测 甲说： “小烷选的不是足球，选的是篮球 ” 乙说： “小烷选的不是篮球，选的是羽毛球 ” 丙说： “小烷选的不是篮球，也不是乒乓球 ” 已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推 断小烷选择的课程( ) A可能是乒乓球 B可能是足球 C可能是羽毛球 D一定是篮球 【解答】解：若小烷选的是乒乓球，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不符合题意； 若小烷选的是足球，则甲全不对，乙对一半，丙全对，符合题意； 若小烷选的是羽毛球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；
17、 若小烷选的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，符合题意， 故小烷选择的课程可能是足球和篮球， 故选：B 7 （5 分）已知平面与所成的二面角为80，P为、外一定点，过点P的一条直线 与、所成的角都是30，则这样的直线有且仅有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【解答】解：首先给出下面两个结论 两条平行线与同一个平面所成的角相等 与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上 （1） 如图 1， 过二面角l 内任一点作棱l的垂面AOB， 交棱于点O， 与两半平面于OA， OB，则AOB为二面角l 的平面角，80AOB 设 1 OP为AOB的平分线，则 11 40POAPOB ，与
18、平面，所成的角都是30，此时 过P且与 1 OP平行的直线符合要求，当 1 OP以O为轴心，在二面角l 的平分面上转动 时， 1 OP与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30情形 （2） 如图 2， 设 2 OP为AOB的补角AOB的平分线， 则 22 50POAPOB ， 与平面， 8 所成的角都是50当 2 OP以O为轴心，在二面角l 的平分面上转动时， 2 OP与两平面夹角变小， 对称地在图中 2 OP两侧会出现30情形， 有两条 此时过P且与 2 OP 平行的直线符合要求，有两条 综上所述，直线的条数共有 4 条 故选：D 8（5 分） 已知函数( )f x在(0,1)上恒有(
19、 )2 ( )xfxf x， 其中( )fx为函数( )f x的导数， 若， 为一个锐角三角形的两个内角，则( ) A 22 sin(sin)sin(sin)ff B 22 cos(sin)sin(cos)ff C 22 cos(cos )cos(cos)ff D 22 sin(cos )sin(cos)ff 【解答】解：根据题意，设 2 ( ) ( ) f x g x x ， 其导数 22 43 ( )()( )( )2 ( ) ( ) fxxxf xxfxf x g x xx ， 9 又由在区间(0,1)上恒有( )2 ( )xfxf x， 即( )2 ( )0 xfxf x，则有( )0
20、g x， 则函数( )g x在(0,1)上为增函数， 又由，为锐角三角形的两个内角，则 2 ，变形可得 2 ， 则有sinsin()cos 2 以及coscos()sin 2 ， 若sincos，则有(sin)(cos)gg， 即 22 (sin)(cos)ff sincos ，变形可得 22 cos(sin)sin(cos)ff，B正确， 若cossin，则有(cos )(sin)gg， 即 22 (cos )(sin)ff cossin ，变形可得 22 sin(cos )sin(cos)ff，D错误， 无法判断A、C是否正确， 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每
21、小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分） 对任意A，BR， 记A |Bx xAB，xAB， 并称AB为集合A， B的对称差例如，若1A，2，3，2B ，3，4，则A1B ，4，下列命题中， 为真命题的是( ) A若A，BR且ABB，则A B若A，BR且AB ，则AB C若A，BR且ABA，则AB D存在A，BR，使得A R BA RB 【解答】 解： 对于A选项， 因为ABB
22、， 所以 |Bx xAB，xAB， 所以AB， 且B中的元素不能出现在AB中，因此A ，即选项A正确； 对于B选项，因为AB ，所以 |x xAB ，xAB，即AB与AB是相 同的，所以AB，即选项B正确； 对于C选项，因为ABA，所以 |x xAB，xABA，所以BA，即选项C 错误； 10 对于D选项，设1R ，2，3，4，5，6，1A，2，3，2B ，3，4，则A1B ， 4，4 R C A，5，6，1 R C B ，5，6， 所以 R C A1 R C B ，4，因此A R BC A R C B，即D正确 故选：ABD 10 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p上三点 1 (A
23、 x， 1) y，(1,2)B， 2 (C x， 2) y，F为抛物 线的焦点，则( ) A抛物线的准线方程为1x B0FAFBFC，则|,|,|FAFBFC成等差数列 C若A，F，C三点共线，则 12 1y y D若| 6AC ，则AC的中点到y轴距离的最小值为 2 【解答】解：把(1,2)B代入抛物线 2 2ypx得，42p，解得2p ，所以抛物线的方程为 2 4yx 选项A，准线方程为1 2 p x ，即A正确； 选项B，因为0FAFBFC，所以F为ABC的重心，所以 12 12 1 1 3 2 0 3 xx yy ，解得 12 12 2 2 xx yy ， 由抛物线的定义可知， 12
24、|224FAFCxxp，| 11 12 2 p FB ， 所以2| |FBFAFC，即B正确； 选项C， 因为A，F，C三点共线， 所以可设直线AC的方程为1xty， 联立 2 1 4 xty yx ， 得 2 440yty， 所以 12 4y y ，即C错误； 选项D，由题可知，| 6AFCFAC，当且仅当A、C、F三点共线时，等号成立， 由抛物线的定义可知， 1212 |2AFCFxxpxx， 所以 12 2 6xx ， 即 12 4xx， 11 所以AC的中点到y轴距离为 12 4 2 22 xx ，即D正确 故选：ABD 11 （5 分）设函数 2 sin ( ) 1 x f x xx
25、 ，则( ) A( )f x的最大值为 4 3 B|( )|5|f xx C曲线( )yf x存在对称轴 D曲线( )yf x存在对称中心 【解答】解：对于A，因为当 1 2 x 时，函数sinyx取得最大值 1，同时函数 22 13 1() 24 yxxx 取得最小值 3 4 ，所以( )f x的最大值为 4 3 ，故选项A正确； 对于B，考虑 2 2 ( )sinsin4 | |5 13 13 () 24 f xxx xxxxx x ，故|( )| 5|f xx， 故选项B正确； 对于C，函数sinyx的图象关于 1 2 x 对称，且函数 22 13 1() 24 yxxx 的图象也 关于
26、 1 2 x 对称，所以曲线( )yf x存在对称轴 1 2 x ，故选项C正确； 对于D，若( )f x存在对称中心，则结合C可知，( )f x为周期函数，而原函数( )f x的分母 在 1 2 x 时递增至，而分子是有界的，故不是周期函数，所以( )f x不存在对称中心，故 选项D错误 故选：ABC 12 （5 分） “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”大衍数列，来源于乾坤谱中 对易传 “大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中 华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题 大衍数列中的每一项都代表太极衍生过 程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为
27、0，2，4，8，12，18，24，32，40， 50，记大衍数列为 n a，其前n项和为 n S， * nN，则( ) 12 A 20 220a B 3572021 1111505 1011aaaa C 23 2156S D 24648 9800aaaa 【解答】解：数列 n a的奇数项为 0，4，12，24，40， 即 2 11 2 ， 2 31 2 ， 2 51 2 ， 2 71 2 ， 2 91 2 ， 所以 2 1( 2 n n an 为正奇数） ， 数列 n a的偶数项为 2，8，18，32，50，即 2 2 2 ， 2 4 2 ， 2 6 2 ， 2 8 2 ， 2 10 2 ，
28、所以 2 ( 2 n n an为正偶数） ， 故 2 2 1, 2 , 2 n n n a n n 为正奇数 为正偶数 ， 对于A， 2 20 20 200 2 a，故选项A错误； 对于B，因为当n为正奇数时， 2 1 2 n n a ， 所以 2 12211 1(1)(1)11 n annnnn ， 所以 3572021 1111 aaaa 111111 ()()() 244620202022 11505 220221011 ，故选项B正确； 对于C， 2222 23 11231231 ()()() 2222222 S 222 11 (1223 )12 22 1232447 62156 26
29、 ，故选项C正确； 对于D， 24648 aaaa 13 222 222 24481 (2448 ) 2222 1482549 9800 23 ，故选项D正确 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分） 若一个圆锥的轴截面是面积为4 3的等边三角形， 则该圆锥的表面积为 12 【解答】解：设等边三角形的边长为a， 则等边三角形的面积为 22 13 sin604 3 24 aa ，解得4a ， 所以该圆锥的底面圆半径为2r ，母线长为4l ， 所以圆锥的表面积为 22 22412SSSrrl 侧底面 故答案为
30、：12 14 （5 分）函数( )f x满足以下条件： ( )f x的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线； ( )f x是偶函数； ( )f x在(0,)不是单调函数； ( )f x恰有 2 个零点 请写出函数( )f x的一个解析式 2 ( )2| 3f xxx（答案不唯一） 【解答】解：根据题意，要求函数( )f x满足 4 个条件， 则( )f x可以由二次函数变换得到，比如 2 ( )2| 3f xxx， 故答案为： 2 ( )2| 3f xxx（答案不唯一） 15 （5 分）2020 年 12 月 31 日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒 灭活疫苗已获国家药
31、监局批准附条件上市 在新冠病毒疫苗研发过程中， 需要利用基因编辑 小鼠进行动物实验 现随机抽取 100 只基因编辑小鼠对某种新冠病毒疫苗进行实验， 得到如 下22列联表（部分数据缺失）: 被新冠病毒感染 未被新冠病毒感染 总计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 14 总计 a 100 表中a的值为 30 ；计算可知，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“给基 因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果” 参考公式： 2 ()2 ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.100 0.050 0.025 0
32、.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解：根据题意，补充22列联表如下： 被新冠病毒感染 未被新冠病毒感染 总计 注射疫苗 10 40 50 未注射疫苗 20 30 50 总计 30 70 100 所以表中a的值为102030； 计算 2 2 100(10302040)100 4.7623.841 5050307021 K ， 所以在犯错误的概率最多不超过 0.05 的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能 起到预防新冠病毒感染的效果” 故答案为：30，0.05 16 （5 分）已知 1 F， 2 F分
33、别为双曲线 22 22 :1(0,0) yx Eab ab 的两个焦点，E上的点P到 原点的距离为b， 且 2 11 2 s i n3 s i nP FFP FF， 则双曲线E的渐近线方程为 2 2 yx 【解答】解： 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的两个焦点， 不妨设双曲线的焦点坐标为 1(0, )Fc、 2(0, ) Fc， 2112 sin3sinPF FPFF，所以 12 | 3|PFPF， 12 | 2PFPFa， 1 | 3PFa， 2 |PFa，双曲线上的点P到原点的距离为b，所以|OPb， 2 |OFc， 222 cab， 2 90OPF， 15 过P作 2 PHOF，垂足为H， | ab PH c ， 222 2 2 | a bb OHb cc ， 设( , )P m n，| ab m c ， 2 b n c ， 把P点的坐标代入双曲线方程可得 4224422 2222222 1 ba bbaba c ac bc aa ， 即2ba， 该双曲线的渐近线方程 2 2 yx 故答案是： 2 2 yx
