1、导入新课导入新课 （1）离散型随机变量的分布列：）离散型随机变量的分布列： 复习回顾复习回顾 X x1 x2 xi P p1 p2 pi （2）离散型随机变量分布列的性质：）离散型随机变量分布列的性质： pi0，i1，2，； p1p2pi1 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布对于离散型随机变量，可以由它的概率分布 列确定与该随机变量相关事件的概率列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问但在实际问 题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数 字特征字特征. 2.3.1离散型随机变 量的均值 （1）理解离散型随机变量均值的概念）理解离散型随机变量均
2、值的概念; （2）会计算简单的离散型随机变量的均值，）会计算简单的离散型随机变量的均值， 并解决一些实际问题并解决一些实际问题. 知识与技能知识与技能 教学目标教学目标 过程与方法过程与方法 （1）理解公式“）理解公式“E（a+b）=aE+b”，以，以 及“若及“若 B（n,p），则），则E=np”; （2）能熟练地应用它们求相应的离散型随）能熟练地应用它们求相应的离散型随 机变量的均值或期望机变量的均值或期望. 情感、态度与价值观情感、态度与价值观 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体体 现数学的文化功能与人文价值现数学的文化功能与人文价值. 教学重难点
3、教学重难点 重重 点点 离散型随机变量的均值或期望的离散型随机变量的均值或期望的 概念概念. 难难 点点 根据离散型随机变量的分布列求根据离散型随机变量的分布列求 出均值或期望出均值或期望 . 思考思考 18 元元 kg 24 元元 kg 36 元元 kg 某商场要将单价分别为某商场要将单价分别为18元元/kg，24元元/kg，36 元元/kg的三种糖果按的三种糖果按3：2：1的比例混合的比例混合 ，如何对，如何对 混合糖果定价才合理？混合糖果定价才合理？ 由于平均每由于平均每1kg的混合糖果中，的混合糖果中，3种糖果的质种糖果的质 量分别是量分别是1/2kg，1/3kg和和1/6kg，所以混
4、合糖果的，所以混合糖果的 合理价格应该是合理价格应该是 18 (1/2)+24 (1/3)+36 (1/6)=23(元元/kg). 它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的 权数分别是权数分别是1/2，1/3和和1/6. 权是秤锤，权数是起权衡轻重作用权是秤锤，权数是起权衡轻重作用 的数值的数值.加权平均是指在计算若干个数加权平均是指在计算若干个数 量的平均数时，考虑到每个数量在总量量的平均数时，考虑到每个数量在总量 中所具有的重要性不同，分别给予不同中所具有的重要性不同，分别给予不同 的权数的权数. 如果混合糖果中每一颗糖果的质如果混合糖果中每一颗糖果的质
5、 量都相等，你能解释权数的实际含义量都相等，你能解释权数的实际含义 吗？吗？ 根据古典概型计算概率的公式可知，在混合根据古典概型计算概率的公式可知，在混合 糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果为第一、二、糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果为第一、二、 三种糖果的概率分别为三种糖果的概率分别为1/2，1/3，1/6，即取出的，即取出的 这颗糖果的价格为这颗糖果的价格为18元元/kg，24元元/kg或或36元元/kg的的 概率分别是概率分别是1/2，1/3，1/6.用用X表示这颗糖果的价表示这颗糖果的价 格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为 X 18 24 36
6、P 1/2 1/3 1/6 因此权数恰好是随机变量因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率取每种价格的概率. 1.均值均值 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列为的分布列为 知识要点知识要点 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称则称 E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望.它反映了离散型它反映了离散型 随机变量的随机变量的平均水平平均水平. 2. E(aX+b)=aE(X)+b 若若Y=aX+b，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y也是随机也是随机 变量变量.因为因为 P(Y=ax
7、i+b)=P(X=xi)，i=1，2，n， 所以，所以，Y的分布列为的分布列为 X ax1+b ax2+b axi+b axn+b P p1 p2 pi pn 于是于是 E(Y) = (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axi+b)pi+(axn+b) pn =a(x1p1+x2p2+xipi+xnpn)+b(p1+p2+pi+pn =aE(X)+b， 即即 E(aX+b)=aE(X)+b 例题例题1 已知某射手射击所得环数已知某射手射击所得环数的分布列如下的分布列如下 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在在n次射击之
8、前，可以根据这个分布列估计次射击之前，可以根据这个分布列估计 n次射击的平均环数次射击的平均环数. 解：解： 由该射手射击所得环数由该射手射击所得环数的分布列可知的分布列可知 E() =40.02+50.04+60.06+70.09+80.28+9 0.29+100.22 =8.32 所以，可以估计该射手所以，可以估计该射手n次射击的平均环数次射击的平均环数 为为8.32. 例题例题2 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值的均值. x 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1117 EX =1+2+.+6= 6662
9、 解：解： 例题例题3 在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1次得次得1分，不中得分，不中得 0分分.如果某运动员罚球命中的概率为如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他，那么他 罚球罚球1次的得分次的得分X的均值是多少？的均值是多少？ 解：解：因为因为P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，所以，所以 E(X)=1P(X=1)+0P(X=0) =10.7+00.3 =0.7 知识要点知识要点 2. 两点分布的均值两点分布的均值 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 (X)=1p+0 (1-p)=p. 于是有于是有 若若X服从两点分布，则服
10、从两点分布，则E(X)=p. 3.二项分布的均值二项分布的均值 如果如果XB(n，p)，那么由，那么由kCnk=nCn-1k-1，可得，可得 E(X)=kCnkpkqn-k = npCn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) =npCn-1kpkqn-1-k =np 于是有于是有 k=0 n k=1 n k=0 n-1 若若XB(n，p)，则，则E(X)=np. 例题例题4 一次英语单元测验由一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选个选择题构成，每个选 择题有择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答个选项，其中有且仅有一个选项是正确答 案，每题选择正确答案得案，每题选择正确答案得5分
11、，不作出选择或选错分，不作出选择或选错 不得分，满分不得分，满分100分分. 学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选个选项中随机地选 择一个择一个. 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中 的成绩的均值的成绩的均值. 解解 : 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正 确答案的选择题个数分别是确答案的选择题个数分别是和和，则，则 B(20，0.9)，B(20，0.25)， E200.918，E200.255 由于答对每题得由于答对每
12、题得5分，学生甲和学生乙在这次英分，学生甲和学生乙在这次英 语测验中的成绩分别是语测验中的成绩分别是5和和5.所以，他们在测验中所以，他们在测验中 的成绩的均值分别是的成绩的均值分别是 E(5)5E51890， E(5)5E5525 例题例题5 某城市出租汽车的起步价为某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不元，行驶路程不 超出超出4km时租车费为时租车费为10元，若行驶路程超出元，若行驶路程超出4km， 则按每超出则按每超出lkm加收加收2元计费元计费(超出不足超出不足lkm的部分按的部分按 lkm计计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km某司
13、机经常驾车在机场与此宾馆之间接送某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送 旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转 换成行车路程换成行车路程(这个城市规定，每停车这个城市规定，每停车5分钟按分钟按lkm 路程计费路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程，这个司机一次接送旅客的行车路程是是 一个随机变量设他所收租车费为一个随机变量设他所收租车费为. ()求租车费求租车费关于行车路程关于行车路程的关系式；的关系式； ()若随机变量若随机变量的分布列为的分布列为 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租车费求所收租车费的数学期
14、望的数学期望 ()已知某旅客实付租车费已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车元，而出租汽车 实际行驶了实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计，问出租车在途中因故停车累计 最多几分钟最多几分钟? 解：解： ()依题意得依题意得=2(-4)十十10，即，即 =2+2； ()E=15*0.1+16*0.5+17*0.3+18*0.1=16.4 =2+2 E= 2E+2=34.8 （元）（元） 故所收租车费故所收租车费的数学期望为的数学期望为34.8元元 ()由由38=2+2，得，得=18，5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟分钟 .
15、 1. 期望的概念期望的概念 E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn 2. 期望的意义期望的意义 离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望，反映了随机变量反映了随机变量 取值的平均水平取值的平均水平. 3. 期望的计算公式期望的计算公式 E(aX+b)=aE(X)+b 课堂小结课堂小结 4.求离散型随机变量求离散型随机变量的期望的基本步骤的期望的基本步骤 （1）理解理解的意义的意义，写出写出可能取的全部值；可能取的全部值； （2）求求取各个值的概率取各个值的概率，写出分布列；写出分布列； （3）根据分布列根据分布列，由期望的定义求出由期望的定义求出E. 5. 两个特殊随机变量的均值两
16、个特殊随机变量的均值 （1）二次分布的期望：二次分布的期望：E=np； （2）两点分布的期望：两点分布的期望：E=p. 1. 设离散性随机变量设离散性随机变量 可能取的值为可能取的值为1，2，3， 4 ，P(=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又又的数学期望的数学期望 E=3，则，则a+b= _ 针对性训练针对性训练 1 10 2.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回人，每人回 答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中，乙队中3人答对人答对
17、 的概率分别为的概率分别为 且各人正确与否相互之间没有影响且各人正确与否相互之间没有影响.用用 表示甲队的总得分表示甲队的总得分. （）求随机变量）求随机变量分布列和数学期望；分布列和数学期望； （）用）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件，求这一事件，求P(AB). （I）由题意知，）由题意知，的可能取值为的可能取值为0，1，2，3，且，且 03 3 12 3 22 3 33 3 21 P( = 0) = C(1-) =, 327 222 P( =1) =
18、 C(1-) =, 339 224 P( = 2) = C( )(1-) =, 339 28 P( = 3) = C( ) =, 327 所以所以的分布列为的分布列为 0 1 2 3 P 1/27 2/9 4/9 8/27 1248 E = 0+1+2+3= 2. 279927 所以所以的数学期望为的数学期望为 （II）用）用C表示“甲得表示“甲得2分乙得分乙得1分”这一事件，分”这一事件， 用用D表示“甲得表示“甲得3分乙得分乙得0分”这一事件，分”这一事件， AB=CD，C，D互斥互斥. 22 3 4 2221112111110 P(C) =C( )(1- )=, 333323323323
19、 5 4 P(D) =, 3 455 1043434 P(AB) = P(C)+P(D) =+=. 333243 1.填空填空 课堂练习课堂练习 （1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为 止，每次命中率为止，每次命中率为0.6，现共有子弹，现共有子弹4颗，命中后尚颗，命中后尚 剩余子弹数目剩余子弹数目的数学期望是的数学期望是_ . 2.376 （2）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷 达发现飞行目标的概率分别为达发现飞行目标的概率分别为0.9和和0.85，设发现，设发现 目标的雷达台数为目标的雷达台数为，则，则E=
20、_ . 1.75 （1）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手 打出的分数如下：打出的分数如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的平均值和方差分别为（的平均值和方差分别为（ ） A9.4，0.484 B9.4，0.016 C9.5，0.04 D9.5，0.016 2.选择选择 （2）口袋中有）口袋中有5只相同的球，编号为只相同的球，编号为1、2、 3、4、5，从中任取，从中任取3球，用球，用表示取出的球的表示取出的球的 最大号码，则最大号码，则E= ( ) A
21、.4 B.4.5 C.4.75 D.5 （3）一个袋中装有大小相同的）一个袋中装有大小相同的3个红球和个红球和2 个黄球，从中同时取出个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个个，则其中含红球个 数的均值是数的均值是( ) A、0.4 B、1 C、1.2 D、1.5 3.解答题解答题 （1 1）离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布列为的概率分布列为 求求X可能取值的算术平均数可能取值的算术平均数 求求X的均值的均值 解：解： X 1 100 P 0.01 0.99 1+100 X = 50.5 2 EX=1 0.01+100 0.99=99.01 （2）若一部机器在一天内发生故障的概若一
22、部机器在一天内发生故障的概 率为率为0.2，机器发生故障时全天停止工作机器发生故障时全天停止工作。一一 周周5个工作日里无故障可获利个工作日里无故障可获利10万元万元，发生一发生一 次故障可获利次故障可获利5万元万元，发生两次故障没有利润发生两次故障没有利润， 发生三次或三次以上故障就亏损发生三次或三次以上故障就亏损2万元万元，求一求一 周内平均获利多少元周内平均获利多少元? (保留三位有效数字保留三位有效数字). 解：解：设一周内机器发生故障的次数为设一周内机器发生故障的次数为，则，则 的分布列为：的分布列为： 0 1 2 3 P(i) 0.85 C510.20.84 C520.220.83
23、 1- 0.85- C510.20.84- C520.220.83 那么，随机变量利润那么，随机变量利润的分布列为：的分布列为： 10 5 0 -2 P(i) 0.32768 0.4096 0.2048 0.05792 E=100.32768+50.4096+(2)0.05792 =5.208965.21 （3）某商场举行抽奖促销活动）某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是抽奖规则是:从从 装有装有9个白球、个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出个红球的箱子中每次随机地摸出 一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得 奖金奖金10元；摸出两个红球可获得奖金
24、元；摸出两个红球可获得奖金50元元.现有甲、现有甲、 乙两位顾客乙两位顾客,规定规定:甲摸一次甲摸一次,乙摸两次乙摸两次.令令表示甲、表示甲、 乙两人摸球后获得的奖金总额，求：乙两人摸球后获得的奖金总额，求： （1）的分布列；的分布列； （2）的数学期望的数学期望. (1) 的所有可能的取值为的所有可能的取值为0，10，20，50，60. 3 2 2 9729 P( = 0) = () =; 101000 19918243 P( =10) =() +=; 101010101000 2 2 3 11818 P( = 20) =; 10101000 919 P( = 50) =; 10101000 11 P( = 60) =; 101000 7292431891 (2)E =0+10+20+50+60= 3.3 10001000100010001000
