1、导入新课导入新课 先看下面的问题先看下面的问题 若今天是星期一，再过若今天是星期一，再过810天后的那一天天后的那一天 是星期几？是星期几？ 1010 8= (7+1) 01019910 10101010 =C 7 +C 7 +.+C 7+C 在初中，我们已经学过了在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3 观察观察 对于对于(a+b)4， (a+b)5 如何展开如何展开? (a+b)100又怎么办？又怎么办？ (a+b)n (nN+)呢？呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规我们知道，事物之间或多或少存在着规
2、律律. 这节课，我们就来研究这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开的二项展开 式的规律性式的规律性. 1.3.1二项式定理 教学目标教学目标 知识目标知识目标 1.利用二项式定理及二项式系数的性质解利用二项式定理及二项式系数的性质解 决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算； 求余数或证明某些整除或余数的问题等；求余数或证明某些整除或余数的问题等； 2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这渗透类比与联想的思想方法，能运用这 个思想处理问题个思想处理问题. 能力目标能力目标 1.培养学生发现和揭示事物内在客培养学生发现和揭示事物内在客 观规律能力和逻辑
3、推理能力；观规律能力和逻辑推理能力； 2.培养学生运算能力，分析能力和培养学生运算能力，分析能力和 综合能力综合能力. 通过学生的主体活动，营造一种愉悦的通过学生的主体活动，营造一种愉悦的 情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围 中，不断获得成功的体验，从而对自己的数中，不断获得成功的体验，从而对自己的数 学学习充满信心学学习充满信心. 情感目标情感目标 教学重难点教学重难点 重点 二项式定理的推导及证明二项式定理的推导及证明. 难点 二项式定理的证明二项式定理的证明. 规律：规律： (a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+b
4、a+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 如何从组合知识得到如何从组合知识得到(a+b)4展开展开 式中各项的系数式中各项的系数? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取若每个括号都不取b，只有一种取法得到，只有一种取法得到a4； (2)若只有一个括号取若只有一个括号取b，共有种取法得到，共有种取法得到a3b； (3)若只有两个括号
5、取若只有两个括号取b，共有种取法得到，共有种取法得到a2b2； (4)若只有三个括号取若只有三个括号取b，共有种取法得到，共有种取法得到ab3； (5)若每个括号都取若每个括号都取b，共有种取法得，共有种取法得b4. 1 二项式定理二项式定理 知识要知识要 点点 n0n1n-11 nn (a+b) = C a +C ab +.+ kn-kknn* nn C ab +.+C b (nN ). 如何证明上述猜想呢？如何证明上述猜想呢？ 证明：证明： 由于由于(a+b)n是（是（a+b）相乘，每个（）相乘，每个（a+b） 在相乘时有两种选择，选在相乘时有两种选择，选a或或b，而且每个，而且每个 （a
6、+b）中的）中的a或或b都选定后，才能得到展开都选定后，才能得到展开 式的一项式的一项. 因此，由分步乘法计数原理可知，在合因此，由分步乘法计数原理可知，在合 并同类项之前，并同类项之前， (a+b)n的展开式共有的展开式共有2n项，项， 其中每一项都是其中每一项都是an-kbk（k=0，1，n）的）的 形式形式. 对于某个对于某个k（ ），）， 对应的项对应的项an-kbk是由是由n-k个（个（a+b）中选）中选a，k个个 （a+b）中选）中选b得到的得到的. 由于由于b选定后，选定后，a的选法也的选法也 随之确定随之确定. 因此，因此， an-kbk出现的次数相当于从出现的次数相当于从n个
7、个(a+b) 中取中取k个个b的组合数的组合数 . 这样，这样，(a+b)n的展开式的展开式 中，中， an-kbk共有共有 个，将它们合并同类项，就个，将它们合并同类项，就 可以得到二项展开式：可以得到二项展开式： k0,1,2,.,n k n C k n C n0n1n-1kn-kknn nnnn (a+b) =C a +C a b+.+C ab +.+C b . 对二项式定理的理解对二项式定理的理解 （1）它有）它有n+1项项; （2）各项的次数都等于二项式的次数）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母）字母a按降幂排列，次数由按降幂排列，次数由n递减到递减到0; 字母字母b按升幂
8、排列，次数由按升幂排列，次数由0递增到递增到n. 知识要知识要 点点 2 二项式系数二项式系数 我们看到的二项展开式共有我们看到的二项展开式共有n+1项，其中项，其中 各项的系数各项的系数 ( ) 叫做二项式系数（叫做二项式系数（binomial coefficient）. k0,1,2,.,n k n C 3 通项通项 式中的式中的 叫做二项展开式的叫做二项展开式的 通项，用通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第表示，即通项为展开式的第 k+1项：项： kn-kk n C ab kn-kk k+1n T= C ab 对通项的理解对通项的理解 （1）它是）它是(a+b)n的展开式的第的展
9、开式的第k+1项，这里项，这里 k=0，1，2，n; （2）字母）字母a，b是一种“符号”，实际上它是一种“符号”，实际上它 们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项 式的形式就可以用定理写出展开式式的形式就可以用定理写出展开式; （3）展开式是对）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，这个标准形式而言的， 还可以对等式进行变形还可以对等式进行变形. 例题例题1 用二项式定理展开下列各式：用二项式定理展开下列各式： 64 ) x 1 x(2(2) x 1 (x(1) 思考思考（1）如何求展开式中的第三项？）如何求展开式中的第三项？ （2）如何求展开式
10、中第三项的系数？）如何求展开式中第三项的系数？ 方法方法（1）用定理展开，再找指定项；）用定理展开，再找指定项； （2）用通项公式）用通项公式. 解解: 31344 44 11 +C x ( ) +C ( ) xx 4224 11 = x +4x +6+4( ) +( ) xx 404131222 444 111 (1)(x+) = C x +C x ( ) +C x ( ) xxx （2）先将原）先将原式化简，再展开，得式化简，再展开，得 666 3 12x-11 (2 x -) =() =(2x-1) xxx 61524334256 666666 3 1 =(2x) -C (2x) +C
11、(2x) -C (2x) +C (2x) -C (2x)+C x 65432 3 1 =(64x -6*32x +15*16x -20*8x +15*4x -6*2x+1) x 32 23 60 121 = 64x -192x +240 x-160+-+. xxx 例题例题2 1. 的展开式中，第五项是的展开式中，第五项是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，不含的展开式中，不含a的项是第（的项是第（ ） A.7 项项 B.8 项项 C.9 项项 D.6项项 6 2 ) x a a x ( x 15 3 2 a 6x x 20 x 15 153 ) a 1 a( 要解答上题必须熟记
12、要解答上题必须熟记 二项式定理二项式定理 上题答案：上题答案： (1) B (2) A 例题例题3 求近似值（精确到求近似值（精确到0.001） （1）(0.997)3 （2）(1.002)6 分析：分析： （1）(0.997)3=(1-0.003)3 （2）(1.002)6=(1+0.002)6 类似这样的近似计算转化为二项式定类似这样的近似计算转化为二项式定 理求展开式，按精确度展开到一定项理求展开式，按精确度展开到一定项. 例题例题4 4.求二项式求二项式 的展开式中的有理项的展开式中的有理项. 73 ) 2 1 3( 分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）分析：方法一用通项公式（适用
13、于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用）方法二用定理展开（次数较小时使用） 答案：答案： 4 105 课堂小结课堂小结 1.二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ Cnran-rbr+Cnnbn是通过不完全归纳法是通过不完全归纳法，并并 结合组合的概念得到展开式的规律性结合组合的概念得到展开式的规律性，然后然后 用数学归纳法加以证明用数学归纳法加以证明. 2.二项式定理的特点二项式定理的特点 (1)项数：共项数：共n+1项项,是关于是关于a与与b的齐次多项式的齐次多项式 (2)系数系数 (3)指数指数 ：a的指数从的指数从n逐项递减到逐项
14、递减到0,是降幂排是降幂排 列；列；b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n，是升幂排列，是升幂排列. 1. 在在 的展开式中，常数项是的展开式中，常数项是_. A.14 B.14 C.42 D. 42 针对性练习针对性练习 73 ) x 1 (2x 解析：解析： ,x21)(C) x 1 ()(2xC k 2 7 21 k7kk 7 kk73k 7 1kT 0,k 2 7 21 1421)(C 66 7 则则k=6，故展开式中的常数项是故展开式中的常数项是 , ,选答案选答案A. . 令令 2.在在(x-a)10的展开式中，的展开式中，x7的系数是的系数是15，则实，则实 数数a的值为的值
15、为_. -1/2 . 2 1 a15,aC ,x1)(aCa)(xCT 33 10 7333 10 373 1013 解析：解析： 课堂练习课堂练习 1.填空填空 （1）(x+2)10(x2-1)的展开式中的展开式中x10的系数为的系数为_. （2）在）在(x-1)11的展开式中，的展开式中，x的偶次幂的所有项的偶次幂的所有项 的系数的和为的系数的和为_ . 1.179 -210 2.选择选择 （1）( i)12展开式中所有奇数项的和是展开式中所有奇数项的和是( ) A.-1 B.1 C.0 D.i （2） 数数11100-1的末尾连续的零的个数是的末尾连续的零的个数是( ) A.0 B.3
16、C.5 D.7 13 + 22 )rC12r 3.解答题解答题 （1）求）求( + )12展开式中所有的有理数项展开式中所有的有理数项. 3 3 r 4 2 2 r 3 解：解： 通项为通项为T r+1 C12r( )12-r( (r0,1,2，12)，为得有理数项，只需，为得有理数项，只需r 是是6的倍数，即的倍数，即r0,6,12，即有理数项为，即有理数项为T1 C120 2416，T7C126 22 3399792，T13 C1212 36729. 3 23 3 2 （2）二项式）二项式 的展开式中第三的展开式中第三 项系数比第二项系数大项系数比第二项系数大44，求第，求第4项的系数项的
17、系数. 分析：由第三项系数比第二项系数大分析：由第三项系数比第二项系数大44先先 求求n， 再由通项求第四项系数再由通项求第四项系数. 答案：答案：165 n 4 ) x 1 x(x (3) 某班有男、女学生各某班有男、女学生各n人，现在按照男人，现在按照男 生至少一人，女生至多生至少一人，女生至多n人选法，将选出的学人选法，将选出的学 生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的 选法共有选法共有2n(2n-1)种种. 证：证：依题意，这些小组中女生人数分别依题意，这些小组中女生人数分别 是是Cn0，Cn1,Cn2,Cnn个个.对于上述女生人数对于上述女生
18、人数 的每种情况，男生人数可以有的每种情况，男生人数可以有Cn0， Cn1,Cn2,Cnn个。个。 根据根据乘法原理和加法原理乘法原理和加法原理可得可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1 Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+ Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ + Cnn) (Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依题意所编成的小组共有依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个个.
