1、第五节第五节 浮力综合问题浮力综合问题 浮力是初中阶段的重要知识点，牵扯的内容较多，题型多变，往往与其他知识相结合综合考察 学生的解题能力。浮力经常与物体的平衡、密度等知识结合。 一、液面的升降问题一、液面的升降问题 液面的升降问题是指液体中的物体由于某种变化而引起容器中的液面升高或降低的现象。对某 一容器而言，液面的高度取决于容器内液体的体积与物体排开的液体的体积之和，由于容器中液体 体积一般不会改变，因此液面的升降往往由物体排开的液体的体积来决定。当容器中的固体融化为 液体时，我们需要通过比较固体融化前排开液体的体积与融化后液体的体积大小关系，来判断液面 的升降。 例例 1 如图 7.92
2、 所示，冰块漂浮在水中。在下列情况下，判断圆柱形容器中液面的升降情况。 （1）如图 7.92（a）所示，冰块漂浮，全部融化成水后。 （2）如图 7.92（b）所示，冰块中包有一个小木块漂浮，冰块全部融化成水后。 （3）如图 7.92（c）所示，冰块中包有一个小铁块漂浮，冰块全部融化成水后。 （4）如图 7.92（d）所示，冰块中包有一个小铁块沉在容器底部，冰块全部融化成水后。 分析与解分析与解 容器中液面上升还是下降，取决于冰块融化前排开水的体积，与融化后变成的水的 体积之间的大小关系。 （1）设冰的质量为m冰，密度为冰，水的密度为水，由浮力等于冰块重力，则冰在水面以 下的体积V排满足V gm
3、 g 水排冰 ，解得 m V 冰 排 水 。当冰全部融化成水后，融化所得的水的体积 m V 冰 水 水 ，可见，VV 水排，即原来冰块在液面以下的体积恰好被融化的水所填满，因此液面不上 升，也不下降。 （2）冰融化前，冰和木块排开的水的体积为V排，V gm mmg 水排冰木 ，解得 mm V 冰木 排 水 。当冰全部融化后，变成的水的体积 m V 冰 水 水 ，木块密度小于水，木块仍漂浮在 水面上， 木块排开的水的体积V木排满足Vgm g 水木排木 ， 解得= m V 木 木排 水 。 可见， VVV 水木排排， 即冰块融化后，融化成的水的体积与木块排开水的体积之和，等于冰块融化前排开的水的体
4、积，因 此液面高度不变。 （3）冰融化前，冰块排开的水的体积 mm V 冰铁 排 水 ，融化后，变成的水的体积 m V 冰 水 水 ， 冰融化后铁块沉于水底，排开的水的体积等于铁块的体积V铁， m V 铁 铁 铁 ，所以，冰融化后变成的 水的体积与铁块排开的水的体积之和 +=+ mm VVV 冰铁 排水铁 水铁 ，比较 V排与V排的大小关系，由于 铁水，显然有 VV 排排，因此液面要下降。 （4）冰和铁块沉于水底，它们排开的水的体积等于它们的体积之和，即 mm V 冰铁 排 冰铁 ，冰 全部融化后，铁块仍沉于水底，则冰融化所变成的水的体积与铁块的体积之和 mm V 冰铁 排 水铁 ，由 于 水
5、冰，所以 VV 排排，因此液面要下降。 判断液面的升降，本质是判断物体排开液体的体积变大还是变小。本题中的第（1） 、 （2）小问 也可以这样判断：由于冰融化前，浮力等于冰（包含木块）的重力，冰融化后，融化的水可视为漂 浮，木块仍漂浮，因此融化后总浮力仍不变排开液体的体积不变，液面不变。而对于第（3） 、 （4） 小问，冰块融化后，铁块下沉，总浮力变小，因此排开液体的体积变小，液面下降。 例例 2 在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水中放入一块冰，冰与盐水的质量相等，并始终 漂浮在盐水面上。当三分之一的冰融化之后，发现容器里的液面上升了h，当剩余的冰全部融化之 后，液面又会上升（ ） A 2
6、3 h Bh C 3 2 h D2h 分析与解分析与解 设柱状容器底面积为s， 冰与盐水的质量均为m， 盐水密度为 2 ， 水的密度为水。 再设冰未融化时盐水的深度为 0 h，冰浸在盐水中的体积为 1 v1，则 1 222 Fmgm v gg 浮 。由 10 vvsh 盐水 ，即有 0 22 mm sh 当有三分之一的冰融化成水后，融化后盐水增加的体积为 3 m v 水 ，此时盐水的密度 2 22 4 3 13 3 m m mm 水水 冰浸入盐水的体积 2 1 2222 13 2 22 3 33462 mg Fmmmm v gg 水浮 水 则 10 2 m vvs hh 将 1 v，v代入，得
7、 0 22 623 mmmm s hh 水水 ，得 2 22 mm sh 水 再设冰全部融化时液面上升了h，则 0 2 mm s hhh 水 ，得 2 mm s hh 水 比较两式，可得hh ，选项B正确。 二、双层液体问题二、双层液体问题 所谓“双层液体”，即容器中存在两种密度不同互不相溶的液体，其中密度较小的液体浮在容 器上层，密度较大的液体出现在容器下层当物体浸没在双层液体中时，阿基米德原理仍然适用。 例例 3 （上海第 25 届大同杯复赛）如图 7.93 所示，大水槽里有不相溶的A，B两种液体，A 液体的密度为，B液体的密度为2。一个边长为a的小立方体物块， 一半浸没在A液体中，另一半
8、浸没在B液体中，物块的上表面与A液体上 表面齐平，则物块的密度为_。若在物块上端加一个大小为物块重 力0.1倍的竖直向下的压力， 物块始终未与水槽底部接触， 则物块下沉的距 离为_。 分析与解分析与解 正方体有一部分在上层液体中，另一部分在下层液体中，由于压强的传递，两部分 液体对浸入其中的体积均有浮力作用。设正方体密度为，则根据阿基米德原理和平衡条件，有 333 11 2 22 gagag a，解得 3 2 。 当施加大小为物块重力0.1倍的竖直向下的压力时，物块将下沉，但是不知物块下沉后是否会 完全处于下层液体中，不妨设物块下沉距离为x，先按照 1 2 xa进行计算，即物块下沉后仍有一部
9、分在上层液体当中。注意由于水槽较大可以忽略液面的变化。由阿基米德原理及平衡条件，有 2233 11 20.1 22 g aaxg aaxg ag a 解得 3 20 xa，可见假设成立，物块下沉了 3 20 a20a 的距离。 例例 4 （上海第 10 届大同杯初赛）如图 7.94 所示，某装有水的容器中漂浮着一块冰，在水的 表面上又覆盖着一层油。已知水面高度为 1 h，油面高度为 2 h，则当 冰融化之后（ ） A水面高度 1 h升高，油面高度 2 h升高 B水面高度 1 h升高，油面高度 2 h降低 C水面高度 1 h降低，油面高度 2 h升高 D水面高度 1 h降低，油面高度 2 h降低
10、 分析与解分析与解 设冰块质量为m，油和水的密度分别为 1 和 2 ，冰块浸没在油和水中的体积分别 为 1 v和 2 v，则由冰块重力等于冰块所受油和水的浮力之和，有 1122 mggvgv，即 1122 mvv，可解得 1 1 2 2 mv v 。当冰全部融化后，所变成的水的体积为 2 v m 水 ，显然， 2 vv 水 ， 因此水的液面高度 1 h升高。 判断 2 h的升降， 需比较v水与 12 vv的大小关系。 结合 12 ， 可得 1 12 22 12 2212 mvvvvvv， 即 12 2 m vvv 水 ， 因此油的液面高度 2 h下降， 选项B正确。 三、浮力参与下的力矩平衡三
11、、浮力参与下的力矩平衡 力对物体的转动效果与力的大小、 方向、 作用点均有关系。 浮力的大小可由阿基米德原理确定， 浮力的方向为竖直向上。但是浮力的作用点却不是我们通常误以为的“重心”。实际上，浮力的等 效作用点叫做“浮心”，浮心的位置就是被物体排开的那部分液体的重心。如果被排开液体的几何 形状是规则的，那么浮心就在被排开的液体原先的几何中心。 例例 5 （上海第 29 届大同杯初赛）如图 7.95 所示，长为L、密度为的均匀细棒下端系一根 细线， 细线的另一端被拴在杯底的A点处， 细棒竖直浸没在杯中的液体内， 液体密度为 00 4。 现打开杯底的阀门K，使液体缓慢流出。当细棒露出液面一定长度
12、时，细棒有可 能倾斜，该长度的最小值为（ ） A 4 5 L B 3 4 L C 2 3 L D 1 2 L 分析与解分析与解 当杆转动时， 绳子仍然竖直， 因此杆将会绕杆的底端O点在重力和浮力作用下转动。 当水位较低、重力的力矩大于浮力的力矩时，杆将会倾斜。如图 7.96 所示，为了求出杆露出水面的 长度x满足什么条件下杆才会倾斜，不妨假设杆绕底端O点转过一个小角度， 并设杆横截面积为s，杆所受重力GsLg，重力的作用点在整根杆的中点， 则 杆 重 力 的 力 矩sinsin 22 G LL MGsLg， 杆 所 受 浮 力 0 Fs Lx g 浮 ，浮力的作用点在水面以下部分的中点，则浮力
13、的力矩 0 11 sinsin 22 F MFLxs Lx gLx 浮 浮 当 GF MM 浮 时，杆将倾斜，解得 2 L x ，因此选项D正确。 例例 6 （上海第 31 届大同杯初赛）用竖直向上的外力F作用在浸在水中 的直棒AB的A端，棒的截面积处处相等，密度分布均匀，静止在如图 7.97 所示的位置。此时A端距离水面为x，棒与水面的夹角为，棒浸在水中的长 度为L，B端的深度为h，现由图示位置缓慢向上增大x直至棒的B端刚好离 开水面的过程中，下列关于F，L，h大小变化的判断，正确的是（ ） AF先不变后增大 BL先增大后减小 C先增大后不变 Dh先增大后减小 分析与解分析与解 棒受拉力F、
14、重力G、浮力F浮的作用棒整个运动过程中在竖直方向上受力平衡， 则有 FFG 浮 在棒缓慢转动的过程中，棒所受各力的力矩平衡。不妨取棒的重心为转轴，则拉力F与浮力F浮力 矩平衡，设棒的横截面积为s，棒总长为 AB L，棒所受浮力为FsLg 浮水 ，浮力的作用点在棒水 下部分的中点，则根据力矩平衡，有 2 1 coscoscos 22 N L F LLFsgL 浮水 可见，若直棒转动过程中水下部分的长度L变小，则F浮变小，由式可知，F将变大。但是再观 察式，发现上述L，F的变化情况将使得式等号不成立，同理直棒水下部分的长度L变大也不 能同时符合两式，因此，只能得出一个结论：在直棒转动过程中，L长度
15、不变，即木棒实际是 绕着水面和棒的交点转动的，这样，L不变，F浮不变，拉力F不变。因此图 7.97 中A，B两点到 水面的距离x，h均增大。 上述变化将一直持续到棒与水面的夹角变为 90，即棒竖直时。棒竖直后，其将被竖直提出水 面，在棒离开水面之前，L变小，F浮变小，B端与水面的距离h变小，而F变大。综上所述，本 题正确选项为 ACD。 练习题练习题 1 （上海第 12 届大同杯初赛）有一块冰浮在一杯浓盐水中（冰的密度为 33 0.9 10 kg/m，浓盐水的密度为 33 1.1 10 kg/m） ，当冰块全部融化后，盐水 的密度和液面将（ ） A密度变大，液面下降 B密度不变，液面不变 C密
16、度变小，液面不变 D密度变小，液面上升 2 （上海第 14 届大同杯初赛）如图 7.98 所示，在盛有水的烧杯内放置一冰块，冰块的下表面 与杯底接触，水面正好与杯口平齐，当冰融化时是否有水溢出？（ ） A当冰块的下表面对杯底有压力时，冰融化后水一定会溢出 B当冰块的下表面对杯底有压力时，冰融化后水一定不会溢出 C无论冰块的下表面对杯底是否有压力，冰融化后水都会溢出 D无论冰块的下表面对杯底是否有压力，冰融化后水都不会溢出 3 （上海第 12 届大同杯初赛）如图 7.99 所示四个相同的容器液面高度相同， （d）容器中的液 体（和水不相溶）比水的密度大，当四个容器中的冰融化后， （a） ， （b
17、） ， （c） ， （d）四个容器中 的液面高度分别变为 1 h， 2 h， 3 h， 4 h，则（ ） A 4123 hhhh B 1234 hhhh C 4123 hhhh D 1243 hhhh 4 （上海第 18 届大同杯初赛）如图 7.100 所示，高度为L、横截面积为s的物 块浮在盛水的杯内，杯内水的高度恰好为L。已知杯子的横截面积为2s，水的密度 为 0 ，物块的密度为 0 1 2 ，现用外力将物块按入水底，则外力所做的功至少是（ ） A 2 0 3 16 gsL B 2 0 1 4 gsL C 2 0 5 16 gsL D 2 0 1 8 gsL 5 （上海第 28 届大同杯初
18、赛）在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水里放入一块冰，冰与盐 水的质量相等，并始终漂浮在盐水面上当一半的冰融化后，发现容器里的水面上升的高度为h，当 剩余的冰全部融化后，水面又将会上升（ ） A 1 4 h B 1 3 h C 1 2 h Dh 6 （上海第 16 届大同杯初赛）如图 7.101（a）所示，容器内放有一长方体木块，上面压有一 铁块，木块浮出水面的高度为 1 h；用细绳将该铁块系在木块的下面，木块浮出水面的高度为 2 h，如 图 7.101（b）所示；将细绳剪断后，如图 7.101（c）所示，木块浮出水面的高度变为（ ） A 21 1 hh h 铁 水 B 21 2 hh h 铁
19、 水 C 21 2 hh h 木 水 D 21 2 hh h 铁 木 7 （上海第 32 届大同杯初赛）水平桌面上放有甲乙两个完全相同的柱状容器。在甲容器内倒入 部分液体A，在乙容器内倒入部分液体A和水（液体和水不相溶，且 A 水） 。然后分别在两容 器内放入质量相等的冰块，时甲容器内液面和乙容器内水面恰好相平，如图 7.102 所示。若冰块全 部融化后，甲、乙两容器内水面距离容器底部分别为 1 h和 2 h，水和液体A之间的界面距离容器底部 分别为 1 h和 2 h，则（ ） 。 A 12 hh， 12 hh B 12 hh， 12 hh C 12 hh， 12 hh D 12 hh， 12
20、 hh 8 （上海第 13 届大同杯初赛）甲、乙两个形状相同的容器，开口都向上，现倒入部分水，如图 7.103 所示，将两块完全相同的金属块用细线系着分别浸入同样的深度，这时两容器水面相齐平。 如将金属块匀速提离水面，则做功多的是（ ） A甲 B乙 C一样多 D无法判断 9 （上海第 28 届大同杯初赛）如图 7.104 所示，密度分布均匀的圆柱形棒的一端悬挂一个小铁 块并浸入水中。平衡时棒浮出水面的长度是浸入水中长度的n倍。设水的密度为，则棒的密度为 （ ） A 1 1n B 1 n n C 2 1 1n D 2 2 1 n n 10 （上海第 27 届大同杯初赛）如图 7.105 所示，密
21、度、粗细均匀的木棒，一端悬挂重为g的 小物块（体积忽略不计） ，棒的 1 N 浮出水面，则棒所受重力的大小为（ ） AnG B1nG C1nG D 1 1 n G n 11 （上海第 25 届大同杯初赛）容器内原来盛有水银，有一只小铁球浮在水银面上，如图 7.106 （a）所示。现再向容器里倒入油，使小铁球完全浸没在这两种液体中，如图 7.106（b）所示，则 （ ） A铁球受到的浮力增大 B铁球受到油的压力而下沉了些 C铁球上升些使它在水银中的体积减小 D铁球保持原来的位置不动 12 （上海第 14 届大同杯初赛）如图 7.107 所示，盛有某液体的圆柱形容器内放有一木块A， 在木块的下方用
22、轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B，金属块B浸没在液体内，而木块漂浮在 液面上， 液面正好与容器口平齐。 某瞬间细线突然断开， 待稳定后液面下降了 1 h； 然后取出金属块B， 液面又下降了 2 h；后取出木块A，液面又下降了 3 h。由此可判断A与B的密度比为（ ） A 312 :hhh B 123 :hhh C 213 :hhh D 231 :hhh 13.如图 7.108 所示， 在一只装着水的杯子中漂浮着一块冰， 而在冰和水的上面又覆盖着一层油， 当冰完全融化后，水面高度_，总液面高度_。 （选填“上升”“不变”或“下降”） 14 （上海第 25 届大同杯初赛）如图 7.109 所示
23、，在底面积为 2 s的柱形水槽中放有部分水，在 水面上浮着一块横截面积为 1 s的柱状物块，物块浸入水中的深度为h，如图（a）所示。沿物块上下 面中心的连线，将物块镂空贯通，镂空部分的横截面积为 0 s，物块平衡后如图（b）所示，与图（a） 比较，水面下降的高度为_；将镂下的部分压在物块上，平衡后如图（c）所示，与图（a） 比较，物块下端下降的高度为_。 15 （上海第 24 届大同杯初赛）如图 7.110（a）所示，装有部分水的试管竖直漂浮在容器内的 水面上，试管内水面与容器底部的距离为h，试管壁的厚度不计，粗细均匀。现将某物块放入试管， 物块漂浮在试管内的水面上，试管仍漂浮在容器内的水面上
24、，此时试管内水面与容器底部的距离为 h ，如图 7.110（b）所示则 h _h（选填“”“”或“”） ；取走该物块，将另一物 块完全浸没在该试管水中发现试管内水面与容器底部的距离恰好又变为h，如图 7.110（c）所示， 若试管横截面积与容器横截面积之比为 1:5，则新放入的物块密度为_ 3 kg/m。 16 （上海第 20 届大同杯初赛）如图 7.111 所示，横截面积为S的容器内盛有部分水，水面上 方压有一块横截面积也为S的活塞M，现在活塞的中央挖一面积为 0 S的小孔，小孔内塞入一木塞 N。假设N与M之间、M与容器器壁之间紧密结合，且不考虑任何摩擦。已知水的密度为水， 当在N的上方放置
25、一块质量为m的物块后，活塞M上升的距离为_；木塞N下沉的距离为 _。 17 （上海第 17 届大同杯初赛）如图 7.112 所示，圆柱形物体高为2m，底面积为 2 200cm， 密度为 33 2k.5 10g/m，某人在河岸边通过图示滑轮装置（滑轮、绳子质量和摩擦均不计）将该物 体从水中以0.2m/s的速度匀速拉起， 水面高度始终不变， 人手中绳子能承受的最大拉力为400N， g取10N / kg，某时刻，圆柱体下底面距离河面H为5m，从此时算起，经过_s，绳子将 被拉断，该过程中，人所做的功为_J。 18 （上海第 19 届大同杯复赛）如图 7.113 所示，容器底部一根中间为圆柱形的管子与
26、大气相 连，管的直径为20cmd 不计管的厚度。现在管子上方压一个边长为50cma的塑胶正方体，将 管口封住，使容器中盛有一定质量的水。已知大气压强为 5 0 1.0 10 PaP ，塑胶正方体的密度为 33 0.6 10 kg/m。当水面恰好在塑胶正方体高的中点时，塑胶正方体受到的水对它的浮力大小 为_N。当容器中所盛水的水面到塑胶正方体底面的高度满足一定的条件时，塑胶正方体能 封住管口，不让水从管子的孔中流出，则该条件是_。 （计算时保留小数点后两位） 19 （上海第 29 届大同杯复赛）有一半径为R、长为L、质量分布均匀的圆柱体，将其水平放 入密度为 0 的水中，圆柱体浮于水面，截面如图
27、 7.114（a）所示。测得圆柱体顶端距离水面高度为 0.5HR。 （1）求圆柱体的密度和 0 的比值。 （2）若将圆柱体中间挖出半径为r、长度为L的圆柱形空腔，截面如图 7.114（b）所示。现将 其水平放入水中，空腔恰好全部没入水中，测得此时0.48HR，则挖去部分的半径r是圆柱体半 径R的多少倍？（计算中可能用到的角度与对应余弦值如表 7.2 所示） 表表 7.2 / 62.6 61.3 60.0 58.7 57.3 /rad 0.348 0.341 0.333 0.326 0.318 cos 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 20 （上海第 25 届大同杯复赛）一底面积
28、是 2 100cm的柱形容器内盛有适量的水，现将含有石 块的冰块投入容器的水中，恰好悬浮，此时水位上升了6cm。当水中冰块全部融化后，相比融化前 水对容器底部的压强改变了55.28Pa。求石块的密度。 21 （上海第 20 届大同杯复赛）水面上浮着长为 11.0m、截面积为 42 1.0 10 m 、密度为的 直棒AB，棒的一端A与绳连接，将A端竖直地慢慢向上提起，如图 7.115（a）所示。在表中记录 了点A停在距水面x高度时，绳子拉力F大小等部分数据如表 7.3 所示。 表表 7.3 序号 1 2 3 4 5 6 sin 0 0.25 /mx 0 0.150 0.300 0.600 0.9
29、00 1.200 / NF 0 0.24 （1）求直棒的密度。 （2）求绳子拉力F大小等部分数据。 （3） 在图 7.115 （b） 的坐标系中画出F大小随A点距离水面高度x（x的取值范围在0.11.2m） 的变化图像，要标出关键点的坐标。 参考答案参考答案 1D。冰漂浮，冰排开的盐水的体积 1 V满足 1 m gV g 盐冰 ，则 1 m V 冰 盐 ，冰全部融化后变成 的水的体积 1 m V 冰 水 ，显然 12 VV，液面上升，同时由于融化后的水与原来盐水混合在一起，盐水 密度将变小。 2A。若冰与容器底部无压力，则冰相当于漂浮，有m gV g 冰水排 ，= m V 冰 排 水 冰融化后
30、变成 的水的体积= m V 冰 水 水 ，可见VV 水排，融化后面不变，水不会溢出；若冰与容器底部有弹力，冰所 受浮力小于重力，冰融化后液面将上升，水会溢出。 3A略，可参考本节例 1。 4A设外力F使物块下降了x距离时，水面上升距离为y，则2xsyss，即物块所受 浮力 00 =2 22 LL Fgsxygsx 浮 ，物块所受重力 0 1 2 GgsL。当外力F使物块缓慢 下降时，做功最少。即FGF 浮，0 2FFGgsx 浮 。当 2 L xy时，物体恰好全部浸没 在水中，此时 4 L x ，对应外力 0 1 2 FgsL，此后，物块继续下降 到达容器底部，这一过程中外力恒定不变。综上所述
31、，画出Fx图 像如图 7.116 所示，图中梯形面积即为外力F所做的功，则 2 00 113 242216 LL WgsLgsL 。 5C。本题除了可参考本节例 8 的解析以外，可以采用下面的方法求解。 设盐水和冰的质量均为m，密度分别为水和盐，由于柱状容器底部所受液体的压力等于容 器内冰和盐水的总重力，设容器底面积为s，冰融化前液面深度为 0 h，则有 0 2gh smg 盐 当一半冰融化成水时，液面升高了h，但柱状容器的底面在冰融化前后受到的压力是不变的，冰融 化后，盐水的密度变小，其实是质量为m的盐水与质量为 1 2 m的水混合后的密度，即密度变为 1 1 3 2 1 2+ 2 + mm
32、 m m 盐水 盐水 盐水 则冰融化一半后容器底受到的压力为 0 3 2 2+ g hh smg 盐水 盐水 当全部冰融化后，设液面会升高h，此时盐水的密度又变为质量为m的盐水与质量为m的水混合 后的密度，即 2 2 + mm mm 盐水 盐水 盐水 则冰全部融化后容器底受到的压力为 0 2 2 + g hhh smg 盐水 盐水 以上三式中，两式相除，可得 0 0 3 h hh 水 盐 将式代入式，解得 1 2 hh ，因此选项C正确。 6A。设木块M的高度为H，底面积为S。在图 7.11（a）和（b）中，木块与铁块整体所受 浮力等于整体的重力，因此排开水的体积相等，则有 12 m S Hh
33、S Hh 铁 ，即 21 m S hh 铁 在图 7.117（b）和（c）中，由于铁块m下沉，整体所受浮力减少，减少的浮力等于容器底部 对m的支持力， 即 m Fmgg 浮水 铁 ， 图 （c） 中整体排开的水的体积比图 （b） 中少了 F g 浮 水 ， 故有 13 Fm S HhS Hh g 浮 水铁 ，即 31 m S hh 水 两式相除，可得 21 31 hh hh 铁 水 。 7A。对甲容器，设冰块质量为m，则冰块融化前结合浮力等于重力，可得冰块排开的A液体 的体积为 A m V 排甲 ，冰块全部融化后，成的水的体积 m V 水 水 ，显然VV 水排甲，因此甲中液面 要上升，上升的高
34、度 1 A mm VV h ss 水排甲水 ，其中s为容器底面积。对乙容器，设冰块排开 的水和A液体的体积分别为 1 V和 2 V,由冰块重力等于总的浮力， 有 12 + A mVV 水 ， 由于 A 水， 则 12 mVV 水 ， 即 12 = m VVV 水 水 ， 可见乙中水面要上升， 上升的高度 12 2 VVV h s 水 。 同 样 考 虑 到 A 水 ， 有 1212AA mVVVV 水 ， 即 12 A m VV ， 可 见 12 21 A mm VVV hh ss 水水 ，由于原来液面高度相等，因此可知 12 hh。当冰块全部 融化后，甲中水的液面高度大于乙中水的液面高度，而
35、甲中水少，乙中水多因此甲中水与A液体的 液面必然较高。综上所述，选项A正确。 8A。将金属块匀速提起过程中，细线拉力相同。由题可知甲液面面积较大，当物体离开液面 时，甲中液面下降距离较小，即物体上升高度较大，因此甲做功较多。 9C设木棒水下部分的长度为 L，则木棒总长度为1nL，设木棒密度为，横截面积为 s，则木棒所受浮力为FgsL 浮 ，木棒重力为1gs nLG。取木棒底端为转动轴，并设木 棒与水面夹角为，则由力矩平衡，可得 1 coscos 22 nLL FG 浮 ，将F浮，G代入，有 1 cos1cos 22 nLL gsLgs nL 解得 2 1 1n 。 10C。设木棒所受重力为 G
36、 ，总长为L，则木棒水下长度为 1n L n 。木棒漂浮，则有 FG G 浮 ，取木棒底端为转轴，并设木棒与水面夹角为，则由力矩平衡，可得 11 coscos 22 nLL FG n 浮 两式联立，可解得1GnG 。 11C。铁球所受浮力等于重力，浮力并没有增大，选项A错误；上层的油对铁球也产生了浮 力，因为总浮力不变，所以水银对铁球的浮力减小，铁球将上升些使它在水银中的体积减小，因此 选项C正确，选项BD均错误。 12A。设A，B体积为V，A，B以及水的密度分别为 A ， B 和水，剪断绳子前后，系 统所受浮力减少，减少的浮力等于容器底部对B的支持力，即 BB FGVgVgVg 浮水水 排开
37、的水的体积减少 F g 浮 水 ，则 1 BVg Vg sh g 水 水 取出金属块B，则有 2 Vsh 木块A漂浮时，排开的水的体积为 AA GVg gg 水水 ，取出木块A后，可得 3 AVg sh g 水 可得 1 2 B h h 水 水 由可得 12 2 = B hh h 水 由两式可知 3 12 A B h hh 13上升，下降。略，参考本节例 4 的解答。 14 0 2 s h s ， 0 10 s h ss 。设柱状物体密度为柱，高度为H，由物体漂浮在水中，所受浮力等于物 体的重力，则： 11 s hgs Hg 水柱 ，即 h H 柱 水 ，可见柱状物体浸在水中的高度与总高度的比
38、值 是个定值。当柱体被镂空时，其水下部分的高度仍不变，而排开的液体体积减少了 0 s h，因此液面 下降 0 2 s h s 。当将镂下部分压在剩余物块上重新平衡时，由于物块整体重力不变，因此浮力不变，则 图 7.109 （c） 与 （a） 中物体排开液体体积不变， 设图 （c） 中水面以下的高度为 h ， 则有 110 s hss h ， 解得 1 10 s h h ss ，与图（a）比较，物块下降的高度为 01 1010 s hs h hhh ssss 。 15.； 3 1.25 10。设试管和容器的横截面积分别为 1 s， 2 s，物体的质量为m。物块放入试管 后，试管整体所受浮力增加m
39、g，试管排开水的体积增加 m 水 ，设试管下降了 1 h，容器中水面上 升了 2 h， 则有 112 m shh 水 ， 11212 s hssh， 解得 21 1 2 1 m ss h s s 水 ， 2 2 m h s 水 。 物块漂浮在试管内，试管内的水面相对于试管上升的高度 3 1 m h s 水 ，可见 31 hh ，由 31 hhhh ，可得hh 。当试管中水面与容器底部的距离又变为h时，说明试管底部下降 的高度 21 1 1 2 m ss h s s 水 与此时试管内水面相对于试管上升的高度 3 h相等，设物体的体积为V， 则 3 1 V h s ，根据 21 1 21 m ss
40、V s ss 水 ，得 233 21 5 1.25 10 kg/m 4 sm Vss 水 物水 。 16. m S水 ， 0 0 m SS S S 水 。活塞上放置质量为m的物块后，水对活塞的浮力增加了mg，则木塞 排开的水的体积增加了 m V 水 。设活塞上升的距离为 1 h，木塞下降的距离为 2 h，则木塞排开的 水的体积增加了 012 m VShh 水 ，再结合木塞下降，相当于使木塞下方体积为 02 S h的水平 铺在液面上，有 0201 S hSSh，解得 1 m h S 水 ， 0 2 0 m SS h S S 水 。 1720，2500.圆柱体受重力1000NGsHg，露出水面前受
41、浮力400NFsHg 浮水 。 则人手中绳子拉力F满足2FFG 浮 ，解得300NF ，圆柱体运动3m后开始露出水面，用时 15s，这一过程中人拉绳子移动距离为6m，拉力F做功 1 1800JW 。当绳子拉力达到400N刚好 断裂时，浮力大小为 200NF 浮 ，可见圆柱体恰好露出1m，从刚露出到露出1m，用时5s，人拉 绳子移动了2m，拉力的平均值为 300400 N350N 2 F ，拉力F做功 2 700JW ，因此，经 过20s绳子断裂拉力做功为 1 2500JW 。 18546.50，34.31cmh。当水面恰在正方体高的中点时，正方体所受浮力等于水对正方体 底部的压力，即 2 2
42、564.50N 22 ad Fga 浮水 。若不让水从管子中流出，则正方体应压紧 管口，对正方体进行受力分析，正方体的重力与上表面所受大气压力之和应大于下表面受到水的压 力与下表面受到大气压力之和，即有 22 322 000 22 dd a gPaPghaP 水 解得0.3431m34.31cmh。 19 （1）由图 7.118（a）中何关系，得 1 cos 2 ， 3 。由平衡条件可得 2 222 0 221 222 R g R LgRR RL 解得 0 23 34 。 （2） 由图 7.118 （b） 中几何关系， 得cos0.52， 对应的58.70.326。 由平衡条件， 有 2 22
43、222 0 22 2 a gRrLgRRHRRHrL 代入数据解得0.237rR，即r是R的 0.237 倍。 20由平衡条件，有gs hmmg 石水冰 ，得0.6mmkg 石冰 。冰融化后，水位下降的 高 度 3 5 . 5 2 81 0m P h g 水 。 水 位 下 降 就 是 由 于 冰 化 成 水 体 积 减 小 引 起 的 ， 即 mm S h 冰冰 冰水 ， 解 得0 . 4 9 8 k gm 冰 ， 因 此0 . 1 0 2 k gm 石 ， 石 块 的 体 积 53 4.67 10 m m VS h 冰 石 冰 。石块的密度 33 2.18 10 kg/m m V 石 石
44、石 。 21 （1）由本节例 6 可知，在棒到达竖直位置之前，拉力F始终不变，棒露出水面的长度 1 l和 浸没在水下的长度 2 l均不变，且由几何关系可知 1 sin x l 。由题给表 7.2 的序号 2 数据，可知棒露 出水面的长度 1 0.150 m0.6m sin0.25 x l ，则水下部分长度 2 0.4ml 。当棒转至竖直位置时， 0.6mx，90，结合题给表 7.3 的序号 3 数据，可知细线拉力0.24NF 。根据平衡条件， 此时细线拉力满足FFG 浮 ，即 2 Fsl gsLg 水 ，代入数据可得 33 0.64 10 kg/m。 可以求出棒的重力0.64NGsLg。在棒由竖直位置逐渐被提离水面的过程中（x的取值 范围在0.61.0m） ，棒所受浮力变小拉力F从0.24N逐渐增大到0.64N，当0.900mx，可由 FGs Lx g 水 求得0.54NF ；棒离开水面后，拉力0.64NF 保持不变。 （2）见表 7.4。 表表 7.4 序号 1 2 3 4 5 6 sin 0 0.25 0.5 1 1 1 /mx 0 0.150 0.300 0.600 0.900 1.200 / NF 0 0.24 0.24 0.24 0.54 0.64 （3）见图 7.119
