1、20212021 九年级数学培优讲义九年级数学培优讲义+ +答案答案 专题专题 01 二次根式的化简与求值二次根式的化简与求值 阅读与思考阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想：数学思想： 数学中充满了矛盾，如
2、正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若xyn（其中 x, y, n 都是正整数） ，则,xyn都是同类二次根式，为什么？ 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 当 12002 2 x 时，代数式 32003 (420052001)xx的值是（ ） A、0 B、1 C、1 D、 2003 2 （绍兴市竞赛试题） 【例【例 2】 化简 （1） 1 () a bb abb abababbab （黄冈市中考试题） （2） 1014152
3、1 10141521 （五城市联赛试题） （3） 64 33 2 ( 63)( 32) （北京市竞赛试题） （4） 3 15102 63 3218 52 31 （陕西省竞赛试题） 解题思路解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也 广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例【例 3】 比 6 ( 65)大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题）
4、 解题思路解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设65,65,xy 想一想想一想：设198 3,x 求 432 32 621823 7515 xxxx xxx 的值. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 形如：AB的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 【例【例 4】 设实数 x，y 满足 22 (1)(1)1xxyy，求 xy 的值. （ “宗泸杯”竞赛试题） 解题思路解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化. 【例【例 5】 （1）代数式 22 4(12)9xx的最小值. （2）求代数式 22 841413xxxx的最小值. （ “希
5、望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：对于（1） ，目前运用代数的方法很难求此式的最小值， 22 ab的几何意义是直角边 为 a，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2） ， 设 2222 (4)5(2)3yxx，设 A（x，0） ，B(4，5)，C(2，3)相当于求 ABAC 的最 小值，以下可用对称分析法解决. 方法精髓：方法精髓： 解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. . 【例【例 6】 设2121(12)maaaaa ， 求 1 0987 47m
6、mmmm的 值. 解题思路：解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值. 能力训练能力训练 A 级 1.化简： 20082008 1004 20082008 7315 ( ) 3735 （ “希望杯”邀请赛试题） 2.若3 52,3 25xyxy，则xy_(北京市竞赛试题) 3.计算： 19971999 ( 19971999)( 19972001)( 19992001)( 19991997) 2001 ( 20011997)( 20011999) （ “希望杯”邀请赛试题） 4.若满足 0 xy 及1088xy的不同整数对（x，y）是_（上海市竞赛试题）
7、5.如果式子 22 (1)(2)xx化简结果为 2x3，则 x 的取值范围是（ ） A. x1 B. x2 C. 1x2 D. x0 6、计算146 5146 5的值为（ ） A1 B. 5 C. 2 5 D. 5 （全国初中数学联赛试题） 7a，b，c 为有理数，且等式2352 6abc成立，则 2a999b1001c 的值是（ ） A1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定 （全国初中数学联赛试题） 8、有下列三个命题 甲：若，是不相等的无理数，则是无理数； 乙：若，是不相等的无理数，则 是无理数； 丙：若，是不相等的无理数，则是无理数； 其中正确命题的个数是（ ） A.0
8、 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 （全国初中数学联赛试题） 9、化简： （1） x yy xy xx y x yy xy xx y （2） 2 6 325 （3） 115 74 6 7776642 （4） 524 103615 （天津市竞赛试题） （5） 35 361015 （ “希望杯”邀请赛试题） 10、设 335 2 x ，求代数式(1)(2)(3)(4)xxxx的值. （ “希望杯”邀请赛试题） 11、已知 22 791375137xxxxx，求 x 的值. 12、设 11 , 11 nnnn xx nnnn （n 为自然数） ，当 n 为何值，代数式 22 1912319xx
9、yy的 值为 1985？ B 级级 1.已知 33 11 ,12_ 2323 xyxxyy 则. (四川省竞赛试题) 2.已知实数 x，y 满足 22 (2008)(2008)2008xxyy，则 22 32332007xyxy （全国初中数学联赛试题） 3.已知 42 47 ,_ 31 x xx 2 x 那么. （重庆市竞赛试题） 4. 333 421,a 那么 23 331 aaa . （全国初中数学联赛试题） 5. a，b 为有理数，且满足等式36142 3ab则 ab（ ） A.2 B. 4 C. 6 D. 8 (全国初中数学联赛试题) 6 已知21,2 26,62abc，那么 a，b
10、，c 的大小关系是（ ） . Aabc B. bac C. cbc D. cab (全国初中数学联赛试题) 7. 已知 1 xa a ，则 2 4xx的值是（ ） A. 1 a a B. 1 a a C. 1 a a D. 不能确定 8. 若a表示实数 a 的整数部分，则 1 166 7 等于（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 （陕西省竞赛试题） 9 把 1 (1) 1 a a 中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（ ） A. 1 a B.1a C. 1a D.1 a （武汉市调考题） 10、化简： （1） 1998 1999 2000 2001 1 4 （ “希望杯”邀请赛试题） （
11、2） 111 2 1 123 22 3100 9999 100 （新加坡中学生竞赛试题） （3） 82 15106 532 （山东省竞赛试题） （4）2(62 32 515) （太原市竞赛试题） 11、设01,x 求证 22 511 (1)12xx . （ “五羊杯”竞赛试题） 12、求 22 841413xxxx的最大值. 13、已知 a, b, c 为正整数，且 3 3 ab bc 为有理数，证明： 222 abc abc 为整数. 专题 02 从求根公式谈起 阅读与思考 一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方 程，几何问题、二次函数等方面有
12、广泛的应用. 初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解 解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有 一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项 系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是： 若0cba，则方程 2 0(0)axbxca必有一根为1. 若0cba，则方程 2 0(0)axbxca必有一根为1. 2、善于变形 解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零 值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解. 思想精髓 一元二次
13、方程的求根公式为 2 1,2 4 2 bbac x a 这个公式形式优美，内涵丰富： 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算； 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几 个？如何求出实根？ 例题与求解 例例 1 阅读下列的例题 解方程： 2 | 20 xx 解：当 x0 时，原方程化为 2 20 xx，解得 12 2,1xx (舍) 当0 x时，原方程化为 2 20 xx，解得1 1 x(舍)，2 2 x 请参照例题解方程： 2 |3| 30 xx ，则方程的根是 （晋江市中考试题） 解题思路：通过讨论，脱去绝
14、对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 例例 2 2 方程 2 |1| (42 3)(2)xx的解的个数为（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 （全国初中数学联赛试题） 解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解. 例例 3 已知 m，n 是二次方程 2 199970 xx的两个根，求 22 +19986)(20008)mmnn（的 值. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：若求出 m，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于 m，n 的等式， 不妨从变形等式入手. 反思： 一元二次方程常见的变形方法有： 把 2 0(0)axb
15、xca变形为 2 axbxc 把 2 0(0)axbxca变形为 2 axbxc 把 2 0(0)axbxca变形为 c axb x 其中体现了“降次”代换的思想；则是构造倒数关系作等值代换. 例例 4 4 解关于 x 的方程： 2 (1)(21)30mxmxm 解题思路：因未指明关于 x 的方程的类型，故首先分01m及1m0 两种情况，当1m0 时，还考虑就 2 4bac的值的三种情况加以讨论. 例例 5 5 已知三个不同的实数a，b，c满足3cba,方程01 2 axx和0 2 cbxx，有 一个相同的实根，方程0 2 axx和0 2 bcxx也有一个相同的实根，求 a，b，c 的值. 解
16、题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手. 方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： 若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. 设出公共根，设而不求，消去二次项. 例例 6 已知 a 是正整数， 如果关于 x 的方程 32 (17)(38)560 xaxa x的根都是整数， 求 a 的值及方程的整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现 1 为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变 更主元，将原方程整理为关于 a 的较低次数的方程. 能力训练 A 级 1、已知方程06 2 qxx可以配成7 2 px
17、的形式，那么26 2 qxx可以配成 _的形式. （杭州市中考试题） 2、若分式 2 2 2 21 xx xx 的值为 0，则x的值等于. （天津市中考试题） 3、设方程 2 199319940,xx和 2 (1994 )1993 199510 xx 的较小的根分别为，则 . 4、方程 2 |45| 62xxx的解应是（上海市竞赛试题） 5、方程 23 (1)1 x xx 的整数解的个数是. A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 （山东省选拔赛试题） 6、 若关于 x 的一元二次方程 22 (1)5320mxxmm的常数项为 0， 则 m 的值等于 （ ） A、1 B、2 C、1 或
18、 2 D、0 （德州市中考试题） 7、已知 a, b 都是负实数，且 111 0 abab ，那么 b a 的值是（ ） A、1 5 2 B、1 5 2 C、 15 2 D、 15 2 （江苏省竞赛试题） 8、方程 2 | 10 xx 的解是（ ） A、1 5 2 B、 15 2 C、1 5 2 或 15 2 D、 15 2 9、已知 a 是方程 2 199910 xx 的一个根，求 2 2 1999 1998 1 aa a 的值. 10、已知 2 410aa 且 42 32 1 3 22 ama amaa ，求 m 的值. （荆州市竞赛试题） 11、是否存在某个实数 m，使得方程 2 20
19、xmx和 2 20 xxm有且只有一个公共根？如果 存在，求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 12、已知关于 x 的方程 2 (4)(8)(80 12 )320kk xk x的解都是整数，求整数 k 的值. B 级 1、已知、是方程 2 (2)10 xmx 的两根，则 22 (1)(1 m)m的值为 2、若关于 x 的方程 2 0 xpxq与 2 0 xqxp只有一个公共根，则 1999 (p q) 3、设 a, b 是整数，方程 2 0 xaxb有一个根为74 3，则ba=_ (全国通讯赛试题) 4、用 x表示不大于 x 的最大整数，则方程 2 2 30 xx 解
20、的个数为（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 5、已知 1 | 1a a ，那么代数式 1 |a a （ ） A、 5 2 B、 5 2 C、5 D、5 6、方程| 3| 20 x xx 的实根的个数为（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 7、已知 2 519910 xx，则代数式 42 (2)(1)1 (1)(2) xx xx 的值为（ ） A、1996 B、1997 C、1998 D、1999 8、已知三个关于 x 的一元二次方程 222 0,0,0axbxcbxcxacxaxb恰有一个公 共实根，则 222 abc bccaab 的值为（ ） A、0
21、B、1 C、2 D、3 （全国初中数学联赛试题） 9、已知198 3x ，求 432 2 621823 815 xxxx xx 的值. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 10、设方程 2 |21| 40 xx ，求满足该方程的所有根之和. （重庆市竞赛试题） 11、首项系数不相等的两个二次方程 222 (1)(2)(2 )0axaxaa 及 222 (1)(2)(2 )0bxbxbb （其中 a， b 为正整数） 有一个公共根，求 ba ba ab ab 的值. （全国初中数学联赛试题） 12、 小明用下面的方法求出方程230 x 的解， 请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解， 并把你的解答过
22、程填写在下面的表格中 方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 230 x 令xt ， 则230t 3 2 t 3 0 2 t 3 2 x ， 9 4 x 230 xx 240 xx 专题专题 3 根的检测器根的检测器 阅读与思考阅读与思考 一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与一 元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于以下几个方面： 1、判断方程实根的情况； 2求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围； 3证明等式或不等式； 4利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题 许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以
23、通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程 的根的性质，然后用判别式来解，这是运用判别式解题的技巧策略 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 如果方程 43222 69320 xxxpxp有且仅有一个实数根 （相等的两个实数根算作一个） ， 则p的值为 【例【例 2】 已知三个关于x的方程： 2 0 xxm， 2 (1)210mxx 和 2 (2)210mxx ，若 其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是（ ） A2m B 1 12 4 mm或 C1m D 1 1 4 m 【例【例 3】已知(2,3)P是反比例函数 k y x 图象上的点 （1）求过点 P 且与双曲线 k y x 只
24、有一个公共点的直线解析式； （2）Q 是双曲线 k y x 在第三象限这一分支上的动点，过点 Q 作直线，使其与双曲线 k y x 只有一个 公共点，且与x轴，y轴分别交于 C，D 两点，设（1）中求得的一直线与x轴，y轴分别交与 A，B 两 点，试判断 AD，BC 的位置关系 【例【例 4】已知, ,a b c满足0,8,0abcabcc且，求证 3 3 4c 【例【例 5】 已知关于x的方程 22 (31)220 xkxkk. （1）求证：无论k取何实数值，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长6a，另两边长, b c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC 的周 长. 【例
25、【例 6】已知XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形（Z90） ，它的三个顶点分别在等腰直角三 角形 ABC（C90）的三边上求ABC直角边长的最大可能值 能力训练能力训练 A 级级 1若关于x的一元二次方程 2 20 xxm有两个实数根，则m的取值范围是 2关于x的方程 2 (2)20axax只有一解（相同的解算一解） ，则a的值为 3设, ,a b c是ABC三边，且关于x的方程 22 ()()20(0)c xnb xnnaxn有两个相等的实 数根，则ABC是 三角形 4方程 22 3330 xxyyxy的实数解为 5关于x的一元二次方程 2 (21)10 xkxk 的根的情况是 （ ）
26、 A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C有两个实数根 D没有实数根 6 如 果 关 于x的 方 程 2 2(2)50mxmxm没 有 实 数 根 ， 那 么 关 于x的 方 程 2 (5 )2 (2 )0mxmxm的实数根的个数为 （ ） A2 个 B1 个 C0 个 D不确定 7关于x的方程 2 (6)860axx有实数根，则整数a的最大值是（ ） A6 B7 C8 D9 8 已知一直角三角形的三边为, ,a b c， B90， 那么关于x的方程 22 (1)2()(1)0a xxb x的 根为（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 9在等腰
27、三角形 ABC 中，A，B，C 的对边分别是, ,a b c已知3a ，b和c是关于x的方程 2 1 20 2 xmxm的两个实数根，求ABC的周长 10已知,m n为整数，关于x的三个方程： 2 (7)30 xm xn 有两个不相等的实数根； 2 (4)60 xm xn有两个相等的实数根； 2 (4)10 xmxn 没有实数根求mn，的值 11若, , ,0a b c d ，证明：在方程 2 1 20 2 xabxcd； 2 1 20 2 xbcxad； 2 1 20 2 xcdxab； 2 1 20 2 xdaxbc中，至少有两个方程有两个不相等的实 数根 12若实数, x y满足 2 2
28、45xxy，求2xy的最大值 B 级级 1当a ，b 时，方程 222 2(1)(3442)0 xa xaabb有实数根 2 已 知 二 次 方 程 2 (2)2 ()20a bb xba xaa b有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 那 么 11 ab = 3如果方程 32 5(4)0 xxk xk的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值 为 4已知实数, ,a b c满足0abc ，2abc ，那么abc的最小值是 5已知实数, ,a b c是不全为零的三个数，那么关于x的方程 2222 ()0 xabc xabc 的根的情况是（ ） A有两个负根 B有两个正根 C有两个异
29、号的实根 D无实根 6 关于x的两个方程 22 44230 xmxmm， 22 (21)0 xmxm中至少有一个方程有实根， 则m的取值范围是（ ） A 31 24 m B 31 24 mm 或 C 11 42 m D 31 22 mm 或 7方程(1)0 x xk有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A 1 0 4 k B 1 0 4 k C 1 4 k D 1 4 k 8关于x的方程 2 1 x a x 仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ） A0a B4a C24a D04a 9当a在什么范围内取值时，方程 2 5xxa有且只有相异二实根 10求证：对于任意一个矩形
30、A，总存在一个矩形 B，使矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比等于 (1)k k 11关于x的方程 2 (1)10kxkx 有有理根，求整数k的值 12已知, a b为实数且 22 3aabb，若 22 aabb的最大值为m，最小值为n，求mn的值 专题专题 04 根与系数关系根与系数关系 阅读与思考阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由 16 世纪的法国数学家韦达所发现的韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1求方程中字母系数的值或取值范围； 2求代数式的值； 3结合根的判别式，判断根的符号特征； 4构造一元二次方程； 5证明代数等式
31、、不等式 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系， 然后再结合已知条件进行求解或求证， 这是利用根与系数的关系解题的基本思路， 需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的 关系解题时，必须满足判别式0 例题与求解例题与求解 【例【例 1】设关于x的二次方程 22 (4)(21)10mxmx (其中m为实数)的两个实数根的倒数和为 s，则s的取值范围是_. 【例【例 2】 如果方程 2 (1)(2)0 xxxm的三个根可以作为一个三角形的三边长，那 么，实数m的取 值范围是_. A
32、01m B 3 4 m C 3 1 4 m D 3 1 4 m 【例【例 3】已知，是方程 2 780 xx的两根，且不解方程，求 2 2 3 的值 【例【例 4】 设实数, s t分别满足 22 199910,99190sstt 并且1st ，求 41sts t 的值 【例【例 5】 （1）若实数, a b满足 2 58aa， 2 58bb，求代数式 11 11 ba ab 的值； （2）关于, ,x y z的方程组 32 236 xyza xyyzzx 有实数解( , , )x y z，求正实数a的最小值； （3） 已知, x y均为实数， 且满足17xyxy， 22 66x yxy， 求
33、 432 234 xx y x yx yy的值 【例【例 6】 , ,a b c为实数，0ac，且2350abc，证明一元二次方程 2 0axbxc有大于 3 5 而小于 1 的根 能力训练能力训练 A 级级 1已知m，n为有理数，且方程 2 0 xmxn有一个根是52，那么mn= 2已知关于x的方程 2 30 xxm的一个根是另一个根的 2 倍，则m的值为 3当m= 时，关于x的方程 22 8(26)210 xmmxm 的两根互为相反数； 当 时，关于x的方程 22 240 xmxm的两根都是正数；当 时，关于m 的方程 2 3280 xxm有两个大于2的根 4对于一切不小于 2 的自然数n
34、关于x的一元二次方程 22 (2)20 xnxn的两根记为 , nn a b(2)n 则 223320072007 111 (2)(2)(2)(2)(2)(2)ababab 5设 12 ,x x是方程 22 2(1)(2)0 xkxk的两个实根，且 12 (1)(1)8xx，则k的值为（ ） A3 1 或 B3 C1 D 1 2 k 的一切实数 6设 12 ,x x是关于x的一元二次方程 2 2xxnmx的两个实数根，且 121 0,30 xxx，则 （ ） A 1 2 m n B 1 2 m n C 1 2 m n D 1 2 m n 7设 12 ,x x是方程 2 20 xxk的两个不等的
35、实数根，则 22 12 2xx是（ ） A正数 B零 C负数 D不大于零的数 8如图，菱形 ABCD 的边长是 5，两对角线交于 O 点，且 AO，BO 的长分别是关于x的方程 22 (21)30 xmxm的根，那么m的值是（ ） A3 B5 C53或 D53 或 9已知关于x的方程： 2 2( 2)0 4 m x mx （1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个根是 12 ,x x，且满足 21 2,xx求m的值及相应的 12 ,x x 10已知 12 ,x x是关于x的一元二次方程 2 430kxx的两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2
36、）是否存在这样的实数k，使 12 12 3 222xx x x 成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理由 11如图，已知在ABC 中，ACB90 ，过 C 点作 CDAB 于 D，设 ADm，BDn，且 AC2：BC2 2：1；又关于x的方程012) 1(2 4 1 22 mxnx两实数根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值 D B A C 12已知,m n是正整数，关于x的方程 2 ()0 xmnxmn有正整数解，求,m n的值 B 级级 1设 1 x， 2 x是二次方程03 2 xx的两根，则 32 12 419xx= 2已知1ab ，且有 2 5199580aa及 2 8199
37、550bb则 a b 3已知关于x的一元二次方程 2 610 xxk的两个实数根是 12 ,x x，且 22 12 24xx，则 k 4已知 12 ,x x是关于x的一元二次方程 2 2xaxa的两个实数根，则 1221 (2)(2 )xxxx的最大值 为 5如果方程 2 10 xpx （p0）的两根之差为 1，那么p等于（ ） A2 B4 C3 D5 6已知关于x的一元二次方程 2 210 xmxm 的两个实数根分别是 12 ,x x，且 22 12 7xx，则 2 12 ()xx的值是 ( ) A1 B12 C13 D25 7在 RtABC 中，C90，a、b、c分别是A、B、C 的对边，
38、a、b是关于x 的方程077 2 cxx的两根，那么 AB 边上的中线长是 ( ) A 2 3 B 2 5 C5 D2 8设 2 13aa ， 2 13bb 且ab，则代数式 22 11 ab 的值为（ ） A5 B7 C9 D11 9 已 知, a b为 整 数 ，ab， 且 方 程 2 33()40 xab xab的 两 个 根, 满 足 关 系 式 (1)(1)(1)(1) 试求所有整数点对( , )a b 10 若方程 2 310 xx 的两根, 也是方程 62 0 xpxq的两根， 其中, p q均为整数， 求, p q的 值 11. 设, a b是 方 程 2 310 xx 的 两
39、 根 ，c，d是 方 程 2 420 xx的 两 根 ， 已 知 abcd M bcdcdadababc 求证： （1） 2222 77 abcd M bcdcdadababc ； （2） 3333 4968 abcd M bcdcdadababc 12 设m是不小于1的实数， 使得关于x的一元二次方程 22 2(2)310 xmxmm 有两个不相 等实数根 12 ,x x （1）若 22 12 6xx，求m的值； （2）求 22 12 12 11 mxmx xx 的最大值 13已知关于x的一元二次方程 2 0 xcxa的两个整数根恰好比方程 2 0 xaxb的两个根都大 1，求abc 的值
40、专题专题 05 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 阅读与思考阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而 且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这 类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青 睐. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3运用根与系数的关系
41、由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质 求解. 4巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解例题与求解 【例例 1】 已知关于x的方程032)1280()8)(4( 2 xkxkk的解都是整数，求整数k的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两 种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确. 【例例 2】 qp,为质数且是方程013 2 mxx的根，那么 q p p q 的值是（ ） A 22 121 B 22 123 C
42、22 125 D 22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：解题思路：设法求出qp,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系 【例例 3】 关于yx,的方程292 22 yxyx的整数解),(yx的组数为（ ） A2 组 B3 组 C4 组 D无穷多组 解题思路：解题思路：把292 22 yxyx看作关于x的二次方程，由x为整数得出关于x的二次方程的 根的判别式是完全平方数，从而确定y的取值范围，进而求出x的值. 【例例 4】 试确定一切有理数r，使得关于x的方程01)2( 2 rxrrx有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0
43、r时，由根与系数的关系得到关于r的两个不等 式，消去r，先求出两个整数根. 【例例 5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等 于这个四位数. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：设前后两个两位数分别为yx,，99,10yx，则yxyx100)( 2 ，即 0)()50(2 22 yyxyx，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例例 6】 试求出所有这样的正整数解a，使得二次方程0) 3(4) 12(2 2 axaax至少有一个整 数根. （ “祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路：本题有两种解法. 由于a的次数较低
44、，可考虑“反客为主” ，以a为元，以x为已知数整理成 一个关于a的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式. 能力训练能力训练 A 级级 1已知方程01999 2 axx有两个质数根，则._a (江苏省竞赛题) 2已知一元二次方程01 2 mmxx（m是整数）有两个不相等的整数根，则._m (四川省竞赛题) 3 若关于x的一元二次方程044 2 xmx和05444 22 mmmxx的根都是整数， 则整数m 的值为_ 4若k正整数，且一元二次方程0) 1( 2 kpxxk的两个根都是正整数，则)( kppk kpk的值等 于_. 5两个质数ba,恰是x的整系数方程021 2
45、txx的两个根，则 b a a b 等于（ ） A2213 B 21 58 C 49 2402 D 38 365 6若06 2 mxx的两个根都是整数，则m可取值的个数是（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D以上结论都不对 7方程01997 2 pxx恰有两个整数根 21,x x，则 ) 1)(1( 21 xx p 的值是（ ） A1 B1 C 2 1 D 2 1 （北京市竞赛试题） 8若ba,都是整数，方程02008 2 bxax的相异两根都是质数，则ba3的值为（ ） （太原市竞赛试题） A100 B400 C700 D1000 9求所有的实数k，使得方程0) 1() 1( 2 kxkk
46、x的根都是整数. （ “祖冲之”邀请赛试题） 10已知关于x的方程2384 2 nnxx和022)3( 22 nxnx，是否存在这样的n值，使第一 个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请 说明理由. （湖北省选拔赛试题） 11若关于x的方程0)2()3(2 2 axaax至少有一个整数根，求整数a的值. （上海市竞赛试题） 12已知qp,为整数，且是关于x的方程016)( 4 15 9 11 2 2 qpx p x的两个根，求qp,的值. （全国初中数学联赛试题） B 级级 1已知96qp，并且二次方程0 2 qpxx的根都是整数，则其最大根
47、是_. 2若关于x的二次方程06 2 aaxx只有整数根，则_a . （美国数学邀请赛试题） 3若关于x的方程054)15117()9)(6( 2 xkxkk的解都是整数，则符合条件的整数k的值有 _个. 4使方程071 222 aaxxa的两根都是整数的所有正数a的和是_. （上海市竞赛题） 5已知方程015132)83( 2222 aaxaaxa（其中a为非零实数）至少有一个整数根，那么 _a. （全国初中数学联赛试题） 6设方程03)6( 2 mxmx有两个不同的奇数根，则整数m的值为_ （ 学习报公开赛试题） 7若1ab，且有0920015 2 aa及0520019 2 bb，则 b
48、a 的值为（ ） A 5 9 B 9 5 C 5 2001 D 9 2001 8若方程023 2 mxx有一个正跟 1 x，和一个负根 2 x，由以 21, x x为根的二次方程为（ ） A023 2 mxx B023 2 mxx C0241 2 mxmx D0241 2 mxmx 9 设关于x的二次方程4)462()86( 2222 kxkkxkk的两根都是整数， 求满足条件的所有 实数k的值. （全国初中数学联赛试题） 10当x为何有理数时，2239 2 xx恰为两个连续的正偶数的乘积？ （山东省竞赛题） 11是否存在质数qp,使得关于x的一元二次方程0 2 pqxpx有有理数根？ （全国
49、初中数学竞赛试题） 12已知关于yx,的方程组 bcxaky akykx )( 0)( 2 只有一组解且为整数解，其中cbak,均为整数且 0a，cba,满足1 2 bcaa，. 2cb （1）求a的值； （2）求k的值及它对的yx,的值. 专题专题 06 转化与化归转化与化归-特殊方程、方程组特殊方程、方程组 阅读与思考阅读与思考 特殊方程、方程组通常是指高次方程（组） （次数高于两次） 、结构巧妙而富有规律性的方程、方程 组. 降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数； 5、整体叠加、叠乘等. 转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二 次方程，这也可以说是“九九归宗”. 例题与求解例题与求解 【例【例 1 1】已知方程组 233 5 22 yx yx 的两组解是),( 11 yx与),( 22 yx，则 1221 yxyx的值是_ （
