1、专题专题 27 数形结合数形结合 阅读与思考阅读与思考 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形” ，对现实世 界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质 时，离不开“形” ；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数” 我们把这种由数量关系来研究图形性 质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形 结合思想. 数形结合有下列若干途径： 1借助于平面直角坐标系解代数问题； 2借助于图形、图表解代数问题； 3借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4借助于函数解几何
2、问题. 现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要 具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能要有效地获得知识，则需要 两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了 解析几何，用代数方法统一处理几何问题从而成为现代数学的先驱几何问题代数化乃是数学的一大进 步 例题与求解例题与求解 【例【例 l】设13422 22 xxxxy，则y的最小值为_.（罗马尼亚竞赛试题） 解题思路解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾
3、此失彼9211 22 xxy 2 222 302101xx，于是问题转化为：在x轴上求一点 C(x，0)，使它到两点 A（1，1）和 B(2，3)的距离之和（即 CACB）最小. 【例【例 2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角 三角形 ( ) A不存在 B至多 1 个 C有 4 个 D有 2 个 （黄冈市竞赛试题） 解题思路解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存 在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数 【例【例 3】如图，在ABC 中，A 0 90，
4、B2C，B 的平分线交 AC 于 D，AEBC 于 E， DFBC 于 F. 求证： BEAEBFAEDFBD 111 . （湖北省竞赛试题） 解题思路解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显可依据题设条件， 分别计算出各个线段，利用代数法证明 F E D B A C 【例【例 4】 当a在什么范围内取值时，方程axx5 2 有且只有相异的两实数根？ （四川省联赛试题） 解题思路：解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数xxy5 2 与函数ay (a0)图象有且只有 相异两个交点作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围 【例【例 5】 设ABC 三边上的三个内接正
5、方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别 在三角形另两边上）的面积都相等，证明：ABC 为正三角形 （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：设ABC 三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为 a h， b h， c h，ABC 的面 积为S，则易得三个内接正方形边长分别为 a ha S 2 ， b hb S 2 ， c hc S 2 ，由题意得cba hchbha ， 即L c S c b S b a S a 222 则a，b，c适合方程L x S x 2 . 【例例 6】设正数x，y，z满足方程组 16 9 3 25 3 22 2 2 2 2 xzxz z y y xyx ，求zxy
6、zxy32的值 （俄罗斯中学生数学竞赛试题） 能力训练能力训练 1. 不查表可求得 tan 0 15的值为_. 2. 如图，点 A，C 都在函数 x y 33 (0 x)的图象上，点 B，D 都在x轴上，且使得OAB，BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为_. （全国初中数学联赛试题） 3平面直角坐标系上有点 P(1，2)和点 Q(4，2)，取点 R(1，m)，当m_时，PR RQ 有最小值. 4.若0a，0b，要使babxax成立，x的取值范围是_. 5.已知 AB 是半径为 1 的O 的弦，AB 的长为方程01 2 xx的正根，则AOB 的度数是 _. （太原市竞赛试题） 6. 如图，
7、所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依 次为 2，4，6，8，顶点依次用 1 A， 2 A， 3 A， 4 A，表示，则顶点 55 A的坐标是( ) A . (13，13) B(13，13) C.(14，14) D. (14，一 14) y x DB O A C y x O A2 A1 A3 A4 A6 A5A8 A7 A1 0 A9A1 2 A1 1 第 2 题图 第 6 题图 7在ABC 中，C 0 90，AC3，BC4在ABD 中，A 0 90，AD12.点 C 和点 D 分居 AB 两侧，过点 D 且平行于 AC 的直线交 CB 的延长线于 E如果
8、 n m DB DE ，其中，m，n是互质的正整 数，那么nm= ( ) A. 25 B.128 C.153 D.243 E.256 （美国数学统一考试题） 8设a，b，c分别是ABC 的三边的长，且 cba ba b a ，则它的内角A，B 的关系是( ) AB2A BB=2A CB2A D不确定 9如图，aS AFG 5 ，aS ACG 4 ，aS BFG 7 ，则 AEG S( ) Aa 11 27 Ba 11 28 Ca 11 29 Da 11 30 10. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1 个 B2 个 C3 个 D无穷多个
9、11.如图， 关于x的二次函数mmxxy2 2 的图象与x轴交于 A( 1 x， 0)， B( 2 x， 0)两点( 2 x0 1 x)， 与y轴交于 C 点，且BACBCO. (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 以点 D（2，0）为圆心D，与y轴相切于点 O，过抛物线上一点 E( 3 x，t)(t0， 3 x0) 作x轴的平行线与D 交于 F，G 两点，与抛物线交于另一点 H问是否存在实数t，使得 EFGHCF? 如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由 （武汉市中考题） y x A H GF B C D O E 12.已知正数a，b，c，A，B，C 满足aAbBcCk. 求证：a
10、B 十bCcA 2 k. 13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知 AG2，GF13，FC1，HI7，求 DE （美国数学邀请赛试题） 第第1313题图题图 F ED G H A O I BC 14.射线 QN 与等边ABC 的两边 AB， BC 分别交于点 M， N， 且 AC/QN， AMMB 2cm， QM 4cm. 动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心，3cm 为半径 的圆与ABC 的边相切（切点在边上） 请写出t可以取的一切值：_（单位：秒） 第第1414题图题图 NM B AC Q 15. 如图，已知 D 是ABC 边 AC 上的一点，AD：DC2：1，C 0 45，ADB 0 60 求证：AB 是BCD 的外接圆的切线 （全国初中数学联赛试题） 16.如图，在ABC 中，作一条直线lBC，且与 AB、AC 分别相交于 D，E 两点，记ABC，BED 的面积分别为 S，K求证：KS 4 1 （长春市竞赛试题） l 第第1616题图题图 D B C A E 17.如图， 直线 OB 是一次函数xy2的图象， 点 A 的坐标为(0， 2). 在直线 OB 上找点 C， 使得ACO 为等腰三角形，求点 C 的坐标 （江苏省竞赛试题） y x 第第1717题图题图 y=2x O B A
