1、专题专题 21 21 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 阅读与思考阅读与思考 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用 与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相 关问题时有广泛的应用. 1如图 1，以I 为ABC 的内切圆，则有： （1）AE=AF=as，BF=BD=bs，CD=CE=cs； （2）B+DIF=C+DIE=A+EIF=180. 这里 BC=a，CA=b，AB=c，s=1 2（a+b+c）. 2如图 2，设I 为 RtABC 的内切圆，则有： （1）四边形 IDCE 是正方形
2、； （2）内切圆半径 r=AC+BCAB 2 . 3如图 3，设O 为四边形 ABCD 的内切圆，则有；AB+CD=AD+BC. r I F I O F E A B C D A B CD E D C B A 图 1 图 2 图 3 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 如图， 在ABC 中， C=90， A 和B 的平分线相交于 P 点， 又 PEAB 于 E 点.若 BC=2， AC=3，则 AEEB= . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：P 为 RtABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解. P E BC A F O E B D C A 例 1 题图 例 2 题图
3、 【例【例 2】如图，以正方形 ABCD 的边 BC 为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交 AB 边于 点 E，则三角形 ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ） A3 4 B4 5 C5 6 D6 7 （杭州市中考试题） 解题思路：解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字 母或赋值. 【例【例 3】如图，已知ACE=CDE=90，点 B 在 CE 上，CA=CB=CD，过 A、C、D 三点的圆交 AB 于 F. 求证：F 是CDE 的内心. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：即要证 F 为CDE 角平分线的交点
4、，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关 的角的性质. F A BCE D 【例【例 4】如图，不等边ABC 内接于O，I 是其内心，且 AIOI. 求证：AB+AC=2BC. （四川省竞赛试题） 解题思路：解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系. I O A BC 【例【例 5】如图，已知 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，O、O1、O2分别是ABC、ACD、BCD 角平分线的交点. 求证： （1）O1OCO2； （2）OC=O1O2. （武汉市选拔赛试题） 解题思路：解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和
5、原三角形相似，得对应角相等. 故通过证交角等于 90的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等. O2 O1 O D B C A 【例【例 6】如图，已知直径与等边三角形 ABC 的高相等的圆与 AB 和 BC 边相切于点 D 和 E，与 AC 边 相交于点 F 和 G. 求DEF 的度数. （浙江省竞赛试题） 解题思路：解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键. G F A B E D C 能力训练能力训练 A A 级级 1如图，I 是 RtABC 的内切圆，切点为 D、E、F，若 AF、BE 的长是方程 x213x+30=0 的两根， 则 SABC的值是 . （泰州市
6、中考试题） y x O O O B A B D A F C E P l F D M E B C A （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） 2如图，RtABC 中，C=90，BC=5，O 内切 RtABC 的三边 AB、BC、CA 于 D、E、F，半 径 r=2，则 AC= . （杭州市中考试题） 3如图，已知直线6xy与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为 x 轴上可以移动的点，且点 P 在点 A 的左侧，PMx 轴，交直线6xy于点 M. 有一个动圆 O，它与 x 轴、直线 PM 和直线 6xy都相切，且在 x 轴上方.当O与 y 轴也相切时，点 P 的坐标是
7、 . （青岛市中考试 题） 4如图，已知ABC 的内切圆 O 与各边相切于 D、E、F，那么点 O 是DEF 的（ ） A三条中线的交点 B三条高的交点 C三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 （四川省中考题） O O F B D A F C E E A B D C （第 4 题图） （第 5 题图） 5如图，AD 是ABC 的角平分线，O 过点 A 且和 BC 相切于点 D，和 AB、AC 分别交于点 E、F. 若 BD=AE，且 BE=a，CF=b，则 AF 的长为（ ） A1+ 5 2 a B1+ 3 2 a C1+ 5 2 b D1+ 3 2 b 6.若 090，那么以 si
8、n、cos、tancot为三边的ABC 的内切圆半径 r 与外接 圆半径 R 之和是（ ） （安徽省竞赛试题） Asin+cos 2 Btan+cot 2 C2sincos D 1 sin+cos 7如图，设 AD 是ABC 的中线，ABD、ADC 的外心分别为 E、F，直线 BE 与 CF 交于点 G. 若 DG=1 2BC，求证：ADG=2ACG. （ “我爱数学”夏令营竞赛试题） 8如图，BC 是O 的直径，AB、AD 是O 的切线，切点分别为 B、P.过 C 点的切线与 AD 交于点 D.连结 AO、DO. （1）求证：ABOOCD； （2）若 AB、CD 是关于 x 的方程 x25
9、2（m1）x+（m1） 2=0 的两个实数根，且 S ABO+SOCD=20， 求m的值. y x O O B D C BC A F P G D N M A D E B C E A （第 7 题图） （第 8 题图） （第 9 题图） 9如图，以坐标原点 O 为圆心，6 为半径的圆交 y 轴于 A、B 两点，AM、BN 为O 的切线，D 为切 线 AM 上的一点（D 与 A 不重合），DE 切O 于点 E，与 BN 交于点 C，且 ADBC. 设 AD=m，BC=n. （1）求 mn 的值； （2）若 m，n 是方程 2t230t+k=0 的两根，求：COD 的面积；CD 所在直线的解析式；切
10、点 E 的坐标. （辽宁省中考题） 10如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，BC=3，其中O1，O2，On为 n 个（n2） 相等的圆，O1与O2相外切，O2与O3相外切，On1与On相外切，O1，O2， On都与 AB 相切，且O1与 AC 相切，On与 BC 相切.求这些等圆的半径 r（用 n 表示）. （河北省竞赛试题） A4 A3 A2 A1 I3 I2 I1 On C F O2O1 G BA （第 10 题图） （第 11 题图） 11如图，四边形 A1A2A3A4内接于一圆，A1A2A3、A2A3A4、A3A4A1的内心分别是 I1、I2、I3.求 证： （1）A2、I1
11、、I2、A3四点共圆； （2）I1I2I3=90. （四川省竞赛试题） B B 级级 1如图，ACBC，BC=a，AC=b，O 的半径为 r，那么满足关系式 r= ab a+b的图形是 .（把 正确的所有图形的序号填在横线上） O OO B B B A C O A C A C C B A 2已知在ABC 中，C=90，AC=4，BC=3，CD 为 AB 上的高. O1、O2分别为ACD、BCD 的 内心，则 O1O2= . （太原市竞赛试题） 3如图，半圆与两直角边相切，且圆心 O 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 上.若直角三角形面积为 S， 斜边长为 c，则半圆的半径 r= . （五城市
12、联赛试题） 4已知：如图，以定线段 AB 为直径作半圆 O，P 为半圆上任意一点（异于 A、B） ，过点 P 作半圆 O 的切线分别交过 A、B 两点的切线于 D、C，AC、BD 相交于 N 点，连接 ON、NP下列结论：四边形 ANPD 是梯形；ON=NP；DPPC 为定值；PA 为NPD 的平分线其中一定成立的是（ ） A B C D O O B D B D B A C P O DN A C E C A O B D A E C （第 3 题图） （第 4 题图） （第 5 题图） （第 6 题图） 5如图，半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边 AB 上，且与其余三边 BC、CD、DA
13、相切，若 BC=2， DA=3，则 AB 的长（ ） A等于 4 B等于 5 C等于 6 D不能确定 （全国初中数学联赛试题） 6如图，在矩形 ABCD 中，连结 AC.如果 O 为ABC 的内心，过 O 作 OEAD 于点 E，作 OFCD 于 F，则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为（ ） A1 2 B 2 3 C 3 4 D不能确定，与 AB、BC 的长度有关 （ 学习报公开赛试题） 7一条直线 DE 平分ABC 的周长，同时直线 DE 又平分了ABC 的面积. 求证：直线 DE 经过ABC 的内切圆圆心 O. （全国初中数学联赛试题） 8如图，AB、BC、CD 分别
14、与圆相切于 E、F、G，AB=BC=CD. 连结 AC 与 BD 相交于点 P，连结 PF. 求证：PFBC. （江苏省竞赛试题） S R H B D BA F C P G A E C （第 8 题图） （第 9 题图） 9如图，在ABC 中，CH 为高，R、S 分别为ACH 和BCH 的内切圆与 CH 的切点.若 AB=1995， AC=1994，BC=1993，则 RS 可表示成m n，其中 m，n 是互质的正整数.求 m+n 的值. （美国中学生数学邀请赛试题） 10如图，ABC 的三边满足关系式 BC=1 2（AB+AC），O、I 分别为ABC 的外心、内心.BAC 的 外角平分线交O
15、 于 E，AI 的延长线交O 于 D，DE 交 BC 于 H. 求证：（1）AI=BD；（2）OI=1 2AE. （湖北省选拔赛试题） P K O L M D H y x O B D C B E A C P l O E N M A D E C B A （第 10 题图） （第 11 题图） （第 12 题图） 11如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为 A（2，0） 、B（8，0）.以 AB 为直径的半 圆 P 与 y 轴交于点 M，以 AB 为一边作正方形 ABCD. （1）求 C、M 两点的坐标； （2）连接 CM，试判断直线 CM 是否与P 相切？说明你的理由； （3）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得QMC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由 （南宁市中考试题） 12如图，O 是等边ABC 的内切圆，与 AB、AC 两边分别切于 D、E 两点，连结 DE. 点 P 是劣弧 DE上的一个动点（不与 D、E 重合） ，过点 P 作 PMAB 于 M，PNAC 于 N，PKBC 于 K，PK 交 DE 于 L 点.求证： （1）PL2=PMPN； （2） PK= PM+ PN. （黄石二中理科实验班自主招生考试试题）
