1、专题专题 12 12 三角函数三角函数 阅读与思考阅读与思考 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问 题时应注意以下两点： 1理解同角三角函数间的关系 （1）平方关系：1cossin 22 ； （2）商数关系： cos sin tan， sin cos cot； （3）倒数关系：1cottan 2善于解直角三角形 从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形解直角三角 形， 关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 的概念许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有： 例题与求
2、解例题与求解 【例例 1】在ABC 中，BC1992，AC1993，AB19931992，则CAcossin （河北省竞赛试题） 解题思路：解题思路：通过计算，寻找 BC2，AC2，AB2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角 函数的定义解题 【例例 2】 某片绿地形状如图所示， 其中A600， ABBC， ADCD， AB200m， CD100m 求 AD，BC 的长 （精确到 1m，732. 13 ） 图图2 2 图图1 1 F E A E A A B C D D C B D C B 解题思路：解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏A，所以连结 AC 不行延长
3、 AD 和 BC 交于一点 E（如图 1） ，这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角A； 或过点 D 作矩形 ABEF（如图 2）来求解 【例例 3】如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点将正方形折叠起来，使点 A 和点 E 重合，折痕为 MN若 3 1 tanAEN，DCCE10 （1）求ANE 的面积； （2）求ENBsin的值 解题思路：解题思路：将 3 1 tanAEN与 DCCE10 结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺 平道路 【例例 4】如图，客轮沿折线 ABC 从 A 出发经 B 再到 C 匀速航行，货轮从 AC 的中点 D 出发 沿某一方向匀速直线航行，将一
4、批物品送达客轮两船同时起航，并同时到达折线 ABC 上的某点 E 处已知 ABBC200 海里，ABC900，客轮速度是货轮速度的 2 倍 （1）选择：两船相遇之处 E 点（ ） A在线段 AB 上 B在线段 BC 上 C可以在线段 AB 上，也可以在线段 BC 上 （2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号） （南京市中考试题） 解题思路：解题思路：对于（2） ，过 D 作 DFCB 于 F，设 DE=x，建立关于 x 的方程 【例例 5】若直角三角形的两个锐角 A，B 的正弦是方程0 2 qpxx的两个根 （1）那么，实数 p，q 应满足哪些条件？ （2）如果 p，q 满
5、足这些条件，方程0 2 qpxx的两个根是否等于直角三角形的两个锐 角 A，B 的正弦？ （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用 一元二次方程，三角函数的知识与方法 C B A D 【例例 6】设 a，b，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数 n3求证： nnn cba （福建省竞赛试题） 解题思路：解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解其不等关系可以利用正弦、 余弦的有界性来证明 能力训练能力训练 A 级 1如图，D 是ABC 的边 AC 上一点，CD2AD，AEBC 于 E若 BD8， 4 3 sin
6、CBD， 则 AE 2已知 00 900，则sinsin45y的最大值是 ，最小值是 （上海市理科实验班招生考试试题） 3如图，在ABC 中，C900，BAC300，BC1，D 为 BC 边上的一点，ADCtan是 方程 2) 1 (5) 1 (3 2 2 x x x x的一个较大的根，则 CD 东东 北北 第第5 5题图题图第第1 1题图题图第第3 3题图题图 E BC A C BA O A D D B 4 已知ABC 的两边长 a3，c5， 且第三边长 b 为关于 x 的一元二次方程04 2 mxx 的两个正整数根之一，则Asin的值为 （哈尔滨中考试题） 5如图，小雅家（图中点 O 处）
7、门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点 A 处）在她家北偏东 600距离 500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是（ ） A250m B3250m C3 3 500 m D2250m 6如图，在ABC 中，C900，ABC300，D 是 AC 的中点，则DBCcot的值是（ ） A3 B32 C 2 3 D 4 3 （大连市中考试题） 7一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 600方向，这艘渔船以 28 海里/时的速度向正 东航行半小时后到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 150方向，此时灯塔 M 与渔船的距离是 （ ） （黄冈市中考试题） A27海
8、里 B214海里 C7 海里 D14 海里 8如图，四边形 ABCD 中，A600，BD900，AD8，AB7， 则 BCCD 等于（ ） A36 B35 C34 D33 第第7 7题图题图第第6 6题图题图第第8 8题图题图 东东 北北 600 600 1 5 0 D BC AA O A B D B C 9如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图已知真空集热管 AB 与支架 CD 所 在直线相交于水箱横断面O 的圆心，支架 CD 与水平面 AE 垂直，AB150 厘米，BAC300， 另一根辅助支架 DE76 厘米，CED600 （1）求垂直支架 CD 的长度（结果保留根号） ； （2
9、） 求水箱半径 OD 的长度 （结果保留三位有效数字， 参考数据：73. 13,41. 12） （扬州市中考试题） 图图2 2 图图1 1 B AE C O D 10若为锐角，求证：4 cossin 1 cos 1 sin 1 （宁波市竞赛试题） 11如图，已知 ABCD1，ABC900, CBD300，求 AC 的长 （加拿大数学奥林匹克竞赛试题） 12如图，在ABC 中，ACB900，CDAB 于点 D，CD1若 AD，BD 的长是关于 x 的方程 0 2 qpxx的两根，且2tantanBA，求 p，q 的值并解此二次方程 A B D C B 级 1若 00 300，且 3 1 sin
10、km（k 为常数，k0） ，则 m 的取值范围是 2设 00 450， 16 73 cossin，则sin （武汉市选拔赛试题） 3已知在ABC 中，A，B 是锐角，且2tan, 13 5 sinBA，AB29cm，则ABC 的 面积等于 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 4 如图， 在正方形 ABCD 中， N 是 DC 的中点， M 是 AD 上异于 D 的点， 且MBCNMB， 则有ABMtan （全国初中数学联赛试题） 5 如图， 在 RtABC 中， C900, CAB300， AD 平分CAB， 则 CD AC CD AB 的值为 （ ） A3 B 3 3 C33 D326 （湖北省选
11、拔赛试题） 第第4 4题图题图第第5 5题图题图 N BC AD B CA M D 6如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ADCD，BCCD2AD，E 是 CD 上一点，ABE 450，则AEBtan的值等于（ ） （天津市竞赛试 题） A 2 3 B2 C 2 5 D3 7如图，在等腰 RtABC 中，C900, CBD300，则 DC AD （ ） A 3 3 B 2 2 C12 D13 （山东省竞赛试题） 第第7 7题图题图第第6 6题图题图 BC A BC D DA E 8如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成 370 角的楼梯 AD，BE 和一
12、段水平天台 DE 构成已知天桥高度 BC4.8 米，引桥水平跨度 AC8 米 （1）求水平天台 DE 的长度； （2）若与地面垂直的平台立柱 MN 的高度为 3 米，求两段楼梯 AD 与 BE 的长度之比 （参考 数据：取75. 037tan,80. 037cos,60. 037sin 000 ） （长沙市中考 试题） 370 N A C D E B M 9在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，且 c35若关于 x 的方程 0)35(2)35( 2 baxxb有两个相等的实根，又方程 0sin5)sin10(2 2 AxAx的两实数根的平方和为 6，求ABC 的面积 （武汉市中考
13、试题） 10 如图， EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形， 两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为， 且B E G 与CFH都是锐角已知,lFHkEG四边形 EFGH 的面积为 S （1）求证： kl S2 sin； （2）试用Slk ,来表示正方形 ABCD 的面积 （全国初中数学联赛试题） E G DA CB H F 11如图，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，A900，BCCD10， 5 4 sinC (1) 求梯形 ABCD 的面积； （2）点 E，F 分别是 BC，CD 上的动点，点 E 从点 B 出发向点 C 运动，点 F 从点 C 出发 向点 D 运动若两点均以每秒 1 个单位的速度同时出发，连接 EF，求EFC 面积的最大值，并说 明此时 E，F 的位置 （济宁市中考试题） B C AD E F 12如图，甲楼楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面已知当冬至中午 12 时太阳光线与水 平面的夹角为 300，此时，求： （1）如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？ （2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？ （山东省竞赛试题）
