1、专题专题 09 特殊与一般特殊与一般 二次函数与二次方程 阅读与思考阅读与思考 二次函数的一般形式是0 2 acbxaxy，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上 是关于x的二次三项式，若令 y=0，则得0 2 cbxax 这是一个关于x的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当0时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个不同的交点，设为 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，其中 1 x， 2 x是方程两相异实根， a acb AB 4 2 ; 2.当0时，方程有两个相等实数根，抛物线与x轴只有一个交点； 3.当0时，方程没有实数根，抛物线与x轴
2、没有交点 由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转 化，是解相关问题的常用技巧 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 （1）抛物线cbxaxy 2 与x轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若ABC是直角三角 形，则ac= . （全国初中数学联赛试题） （2）为使方程bxx 3 1 132 2 有四个不同的实数根，则实数b的取值范围为 . 解题思路：解题思路：对于（1） ，A B C为直角三角形，则 A，B 两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影 定理解题，对于（2） ，作出函数图象，借助图象解题 【例【例 2】设一元二次方程062 2
3、kkxx的根分别满足下列条件：两根均大于 1；一根大于 1，另一根小于 1；两根均大于 1 且小于 4试求实数 k 的取值范围 解题思路：解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图 象找制约条件 【例【例 3】如果抛物线112 2 mxmxy与x轴交于 A，B 两点，且 A 点在 x 轴的正半轴上， B 点在 x 轴的负半轴上，OA 的长是 a，OB 的长是 b， （1）求m的取值范围； （2）若1:3:ba，求m的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）设（2）的抛物线与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点是 M，问：抛物线是否存在一点 P，使得PAB
4、 面积等于BCM的面积的 8 倍？若存在，求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由 （南京市中考试题） 解题思路：解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口 【例【例 4】 设 p 是实数， 二次函数ppxxy2 2 的图像与x轴有 2 个不同的交点 A0 , 1 x， B0 , 2 x （1）求证：032 2 21 pxpx； （2）若 A，B 两点之间距离不超过32 p，求 p 的最大值 （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：根据题意，方程02 2 ppxx有两个不同的实数根 1 x， 2 x，于是0，综合运用判 别式、根与系数关系、根的方程
5、、不等式来解 【例【例 5】是否存在这样的实数k，使得二次方程02312 2 kxkx有两个实数根，且两根都 在 2 与 4 之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次 函数交点在 2 与 4 之间，k应满足的条件，借助函数图象解题 【例【例 6】设m，n为正整数，且2m.如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy33 2 的图象 与x轴的两个交点间的距离不小于nt 2，求m，n的值 （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：由033 2 mtxmtx，
6、得mtxx 21 , 3，由条件得ntmt23，因此不等 式对任意实数t都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解 能力训练能力训练 A 级级 1已知二次函数 22 42mmxxy的图象与x轴有两个交点 A，B，顶点为 C，若ABC 的面积为 24，则m= . 2把抛物线 2 13xy向上平移k个单位，所得抛物线与x轴相交于点 A( 1 x，0)和 B( 2 x，0)，已 知 9 26 2 2 2 1 xx，那么平移后的抛物线的解析式为 . （杭州市中考试题） 3抛物线0 2 acbxaxy的图象如图所示 （1）判断abc及acb4 2 的符号： abc 0 ，acb4 2 0； . （2）当
7、OBOA 时，cba,满足的关系式为_ . y x y x 第第4 4题图题图 第第3 3题图题图 - -1 1 - -1 1 A C B O O y x 第第6 6题图题图 BAO 4已知二次函数cbxaxy 2 的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则a的取值范围为 . （黑龙江省中考试题） 5若关于x的方程032 2 mxx的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于 2 且小于 3，则m的 取值范围是（ ） A. 8 9 m B. 8 9 14m C. 59m D. 214m （天津市竞赛试题） 6设函数541 2 mxmxy的图象如图所示，它与x轴交于 A，B 两点，且线段 OA 与
8、 OB 的长的比为 1:4，则m的值为（ ） A. 8 B.-4 C. 11 D. -4 或 11 7已知二次函数cbxaxy 2 与x轴相交于两点 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，其顶点坐标为 P 4 4 , 2 2 bcb ，AB= 21 xx ，若1 APB S，则b与c的关系是（ ） A. 014 2 cb B. 014 2 cb C. 044 2 cb D. 044 2 cb （福州市中考试题） 8设关于 x 的方程092 2 axaax有两个不等的实数根 1 x， 2 x，且 1 x1 2 x，那么 a 的取 值范围是（ ） A. 5 2 7 2 a B. 5 2 a C.
9、 7 2 a D. 0 11 2 a （全国初中数学竞赛试题） 9已知二次函数628 222 mxmxy （1）求证：不论m取任何实数，此函数的图象都与 x 轴有两个交点，且两个交点都在 x 轴的正半轴 上； （2）设这个函数的图象与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴交于 A 点，若ABC 的面积为 48，求m的 值 （徐州市中考试题） 10已知抛物线mmxxy2 2 3 2 1 2 交x轴于 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，交轴于 C 点，且 1 x0 2 x， 112 2 COBOAO （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴的下方是否存在着抛物线上的点 P，使APB 为锐角
10、？若存在，求出 P 点的横坐标的范 围；若不存在，请说明理由 （武汉市中考试题） 11已知抛物线mmmxxy 22 183 8 1 与 x 轴交于 A( 1 x，0)，B( 2 x，0) ( 1 x 2 x)两点，与 y 轴 交于点 C(0，b)，O 为原点 （1）求m的取值范围 （2）若 8 1 m，且OCOBOA3，求抛物线的解析式及 A，B，C 的坐标； （3）在（2）情形下，点 P，Q 分别从 A，O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿 AB，OC 向 B，C 运动，连接 PQ 与 BC 交于 M，设 AP=k，问：是否存在k值，使以 P，B，M 为顶点的三角形与ABC 相 似？若存在
11、，求所有k值；若不存在，请说明理由 （黄冈市中考试题） y x C BA O P Q 12某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上 涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元） ，设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，每 个月的销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出售 价在什么范围时
12、，每个月的利润不低于 2200 元？ （武汉市中考试题） B 级级 1已知抛物线72 2 mmxxy与 x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则m的取值范围为 _. 2设抛物线 4 5 212 2 axaxy的图象与 x 轴只有一个交点，则 618 323 aa的值为 _. （全国初中数学联赛试题） 3设m是整数，且方程023 2 mxx的两根都大于 5 9 而小于 7 3 ，则m= . （全国初中数学联赛试 题） 4已知抛物线1 2 kxxy与 x 轴的正方向相交于 A，B 两点，顶点为 C，ABC 为等腰直角三角 形，则k= . 5如图，已知抛物线qpxxy 2 与 x 轴交于 A，B 两点，
13、交 y 轴负半轴于 C 点，ACB=90， 且 OCOBOA 211 ，则ABC 的外接圆的面积为 . y x C B AO 6已知抛物线1 2 kkxxy， （1）求证：无论 k 为何实数，抛物线经过 x 轴上的一定点； （2）设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，两点，且满足： 1 x 2 x， 21 xx ， 6 ABC S.问：过 A，B，C 三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标 （武汉市中考试题） 7已知抛物线qpxxy 2 上有一点 00,y xM位于 x 轴下方. （1）求证：已知抛物线必与 x 轴有
14、两个交点 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，其中 1 x 2 x； （2）求证： 1 x 0 x 2 x; （3）当点 M 为（1，-2）时，求整数 1 x， 2 x . （ 学习报公开赛试题） 8随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种 植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 y1与投资量 x 成正比例的关系，如图 1 所示；种植 花卉的利润 y2与投资量 x 成二次函数关系，如图 2 所示（注：利润与投资量的单位：万元） （1）分别求出利润 y1与 y2关于投资量 x 的函数关系式； （2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花
15、卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利 润是多少？ （南宁市中考试题） xx y2 2 y1 1 图图2 2图图1 1 P(1,2) 2 1 2 1 Q(2,2) 211 2 OO 9已知以 x 为自变量的二次函数2384 2 nnxxy，该二次函数图象与 x 轴两个交点的横坐标 的差的平方等于关于 x 的方程0)45)(1(267 2 nnxnx的一整数根，求n的值 （绍兴市竞赛试题） 10 如图， 在直角坐标系中， 点 A 的坐标为 （-2， 0） ， 连结 OA， 将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120， 得到线段 OB （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A，O，B
16、三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 周长最小？若存在，求点出 C 的坐标；若 不存在，请说明理由； （4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有， 求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 （深圳市中考试题） y x B O A 11如图 1，抛物线3 2 bxaxy经过两点 A（-3，0） ，B（-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 M，直线92 xy与y轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D，现将抛物线平 移，保持顶点在直线 OD 上，若平移的
17、抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，求它的顶点横坐 标的值或取值范围； （3）如图 2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q(0，3)作不平行于 x 轴的直线交抛物线于 E，F 两点，问在 y 轴的负半轴上是否存在点 P，使得PEF 的内心在 y 轴上？若存在，求出点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由 （武汉市中考试题） y x y x 图图2 图图1 QF E O M D C B AO 12已知二次函数cbxxy 2 的图象经过两点 P(1，a)，Q(2，10a) （1）如果 a，b，c 都是整数，且abc8，求 a，b，c 的值； （2）设二次函数cbxxy 2 的图象与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴的交点为 C，如果关于 x 的方 程0 2 cbxx的两个根都是整数，求ABC 的面积 （全国初中数学联赛试题）
