1、专题专题 28 顺思逆想顺思逆想 阅读与思考阅读与思考 解数学题时，大多是从条件出发，进行正面的顺向思考对有些数学问题，如果从正面去直接求 解，思维常常受阻，这时可以改变一下思维的角度，从问题的反面进行思考顺向推导有困难时就逆向推 导，直接证明有困难时就间接证明，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性等，我们把这种“倒着干” 的思维方法称为“逆向思维”. 逆向思维解题的常见形式有： 1逆用定义； 2逆用公式、法则； 3常量与变量的换位； 4主元与辅元的互换； 5反倒否定； 6. 反证法. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】设a，b，c均为非零实数，并且baab 2，cbbc3，acac4，则
2、 cba_ （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：直接通过解方程组求a，b，c的值较困难，就对已知条件变形，由baab 2， 得 2 1 ab ba ，逆用分式加法法则得 2 111 ba ，这是解本例的关键 【例【例 2】设三个方程03244 22 mmmxx，012 22 mxmx， 0121 2 mmxxm中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 ( ) A 4 1 2 3 m B. m 2 3 或m 4 1 Cm 2 3 或m 2 1 D 4 1 m 2 1 （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：三个方程中至少有一个方程有实根的可能情况有七种，逐一讨论情况复杂若从反面 考虑，就只需
3、研究三个方程均无实根一种情况，问题就简单得多 【例【例 3】求出所有这样的正整数a，使得二次方程034122 2 axaax至少有一个整数根 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：常规的想法是用求根公式先求出方程的根，再讨论方程至少有一个整数根的条件，从 而求出整数a，这样解过程复杂，由于a的最高次数为 1，不妨着眼于a来考虑 分类讨论法是解数学题中一个重要方法，但如何准确分类却是一个技巧性很强的工作，有时为避 免分类使解题过程中得以优化，常用如下方法： 整体考虑； 数形结合； 反面思考 “顺难则逆，直难则曲，正难则反” 在具体应用中，分析法、逆推法、反证法、常量与变量的 换位、主元
4、与辅元的互换、公式定理的逆用，都体现了转换角度昀思考 【例【例 4】 证明：当n为自然数时，122n形式的数不能表示为两个整数的平方差 （西安市竞赛试题） 解题思路：由于n为任意自然数，不可能逐个试凑，而命题的结论又是否定形式，故可考虑用反 证法来证明. 【例【例 5】解方程：03332 24 xxx 解题思路解题思路：由于x次数较高，直接求解较困难，不妨令3为主元，将原方程转化为关于3的方程 进行求解. 【例【例 6】已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上试问：是否一定能从这样 的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于 0 45？请证明你的结论 （江苏省
5、竞赛试题） 解题思路：解题思路：结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理若推出矛盾，则说明结 论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的， 能力训练能力训练 1方程 21 4 127 1 65 1 23 11 2222 xxxxxxxx 的解是_. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 2若 25 2335 2235 k ，则k=_. （ “五羊杯”邀请赛试题） 3已知x满足22 2 3 2 2 xx xx ，那么xx2 2 的值为_. （河南省竞赛试题） 4. 若a，b，c为实数， 2 2 2 baA， 3 2 2 cbB， 6 2 2 acC，则 A，B，C 中 至 少有一个
6、的值大于_. 5. 化简113131 23 xxx的结果是( ) A1 3 x B. 3 x C 3 2x D31x 6化简 1009999100 1 3223 1 2112 1 的值是 ( ) A 4 3 B 10 9 C. 1 D2 （新加坡中学生数学竞赛试题） 7方程023 2 xx的最小一个根的负倒数是( ) A 2 1 B73 2 1 C173 2 1 D. 317 4 1 8设 A，B，C，D 为平面上的任意四点如果其中任何三点不在一条直线上，则ABC，ABD， ACD，BCD 中至少有一个三角形的某个内角满足 ( ) A不超过 0 15 B不超过 0 30 C不超过 0 45 D
7、以上说法都不对 9已知三个关于x的方程0 2 mxx，0121 2 xxm，0122 2 xxm.若其中至 少 有两个方程有实根，则实数m的取值范围为 ( ) Am2 Bm 4 1 或 1m2 Cm1 D 4 1 m1 10. 某班参加运动会的 19 名运动员的运动服号码恰是 119 号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则 一 定有顺次相邻的某 3 名运动员，他们运动服号码之和不小于 32，请你说明理由 （ “希望杯”邀请赛试题） 11.证明： 如果整系数二次方程00 2 acbxax有有理根， 那么a，b，c中至少有一个是偶数 （波兰中学生竞赛试 题） 12.已知平面上n条直线两两相交，求证：
8、它们的交角中至少有一个不大于 n 0 180 （天津市竞赛试 题） 13. 在一次马拉松长跑比赛上，有 100 位选手参加大会准备了 100 块标有整数 1 到 100 的号码布， 分 发给每位选手。选手们被要求在比赛结束时，将自己的号码布上的数与到达终点时的名次相加，并 将这个和数交上去问这样交上去的 100 个数的末 2 位数字是否可能都不相同？请回答可能或不可 能，并清楚地说明理由 （注：没有同时到达终点的选手） （日本奥林匹克竞赛试 题） 14. 有n(nb)名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果表明：任意 5 人中既有 1 人胜于其余 4 人，又 有 1 人负于其余 4 人求证：必有 1
9、 人获全胜 （ 学习报公开赛试题） 15. 如果正整数a和b之和是n，则n可变为ab，问能不能用这种方法数次，将 22 变成 2001？ （世界城际间数学联赛试 题） 16. 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2 002 的和都是完全平方数吗？若能够， 请举出一例；若不能够，请说明理由 （北京市竞赛试题） 17. 【问题背问题背景景】在ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面 积 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1） ，再在网格中画出 格 点ABC(即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图 1 所示
10、，这样不需求ABC 的高，而借 用网格就能计算出它的面积 (1) 请你将ABC 的面积直接填写在横线上：_. (2) 【思维拓展思维拓展】我们把上述求ABC 面积的方法叫作构图法. 若ABC 三边的长分别为a5， a22，a17 (0a)，请利用图 2 的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求 出它的面积 (3) 【探索创新探索创新】 若ABC 三边的长分别为 22 16nm ， 22 49nm ， 22 2nm （0m，0n） ， 且nm） ，试运用构图法求出这个三角形的面积 （咸宁市中考试题） 图图2 2 图图1 1 C B A 18. 设ABC 是等腰直角三角形，它的腰长是 1，P 是斜边 AB 上一点，P 到其他两边的射影是 Q，R. 考虑APQ，PBR 的面积以及矩形 QCRP 的面积，证明 P 无论怎样选择，这三个面积中最大的 至 少是 9 2 （加拿大数学竞赛试题） 19.有 12 位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为 13 束他们进行分花游戏，每次 分 花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左、右 两 位同学，每人一束. 试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有 7 位同学手中持 有鲜花的情况 （山东省竞赛试 题）
