1、1 专题专题 23 23 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【阅读与思考】【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与 圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.1.相交两圆作公共弦或连心线； 2.2.相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3.3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论. 【例题与求解】【例题与求解】 【例例 1 1】 如图，大圆O 的直径aABcm，分别以 OA，OB 为直径
2、作O1和O2，并在O 与 O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形 3241 OOOO的面积为 _cm 2. （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：解题思路：易证四边形 3241 OOOO为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长. O O2O1 O3 O4 BA 2 【例【例 2 2】 如图，圆心为 A，B，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l相切.若A，B， C 的半径分别为a，b，c（bac0） ，则a，b，c一定满足的关系式为（ ） A.cab2 B.cab2 C. bac 111 D. bac 111 （天津市竞赛试题） 解题思路：解题思路：从两圆相切位置关系入
3、手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基 本辅助线. l C A1C1 B1 B A 【例【例 3 3】 如图， 已知两圆内切于点 P， 大圆的弦 AB 切小圆于点 C， PC 的延长线交大圆于点 D.求证： （1）APD=BPD； （2）CBACPCPBPA 2 . （天津市中考试题） 解题思路：解题思路：对于（1） ，作出相应辅助线；对于（2） ，应化简待证式的右边，不妨从 ACBC=PCCD 入手. P B C D A 【例【例 4 4】 如图O1和O2相交于点 A 及 B 处，O1的圆心落在O2的圆周上，O1的弦 AC 与 O2交于点 D.求证：O1DBC. （全俄中学
4、生九年级竞赛试题） 解题思路：解题思路：连接 AB，O1B，O1C，显然O1BC 为等腰三角形，若证 O1DBC，只需证明 O1D 平分 B O1C.充分运用与圆相关的角. 3 O1 O2 D B C A 【例【例 5 5】 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=1,AB=2，DC=22，点 P 在边 BC 上运动（与 B，C 不重合）.设 PC=x，四边形 ABPD 的面积为y. （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若以 D 为圆心， 2 1 为半径作D，以 P 为圆心，以 PC 的长为半径作P，当x为何值时，D 与P 相切？并求出这两圆相切时
5、四边形 ABPD 的面积. （河南省中考题） 解题思路：解题思路：对于（2） ，P 与D 既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两 圆的性质建立关于x的方程. D C P B A 【例【例 6 6】 如图，ABCD 是边长为a的正方形，以 D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 交于另一点 P，延长 AP 交 BC 于点 N，求 NC BN 的值. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：AB 为两圆的公切线，BC 为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想 象，可生成解题策略与方法. N P BA CD 4 【能力与训练】【能力与训练】 A
6、A 级级 1. .如图，A，B 的圆心 A，B 在直线l上，两圆的半径都为 1cm.开始时圆心距 AB4cm，现A， B 同时沿直线l以每秒 2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，A 运动的时间为_秒. （宁波市中考试题） 2. .如图，O2是O1上任意一点，O1和O2相交于 A，B 两点，E 为优弧 AB 上的一点，EO2及延长 线交O2于 C，D，交 AB 于 F，且 CF1，EC2，那么O2的半径为_. （四川省中考试题） （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） 3.3.如图，半圆 O 的直径 AB4,与半圆 O 内切的动圆 O1与 AB 切于点 M.设O1的半径为y，A
7、M 的 长为x，则y与x的函数关系是_.（要求写出自变量x的取值范围） （昆明市中考试题） 4.4.已知直径分别为151和315 的两个圆，它们的圆心距为115 ，这两圆的公切线的条数是 _. 5.5.如图，O1和O2相交于点 A，B，且O2的圆心 O2在圆O1的圆上，P 是O2上一点.已知A O1B60，那么APB 的度数是（ ） A.60 B.65 C.70 D.75 （甘肃省中考试题） 6.6.如图，两圆相交于 A、B 两点，过点 B 的直线与两圆分别交于 C，D 两点.若O1半径为5， O2的半径为 2，则 AC：AD 为（ ） A.52:3 B.3:52 C.1:52 D.2:5 l
8、 BA F C E B A D O1 O2 O1 BOMA O1 O2 P B A O2 D B C A O1 B A T O1O2 5 （第 5 题图） （第 6 题图） （第 7 题图） 7.7.如图，O1和O2外切于点 T，它们的半径之比为 3:2，AB 是它们的外公切线，A，B 是切点，AB 64，那么O1和O2的圆心距是（ ） A.65 B.10 C.610 D. 13 3920 8.8.已知两圆的半径分别为 R 和r（rR ） ，圆心距为d.若关于x的方程0)(2 22 dRrxx有 两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（ ） A.外切 B.内切 C.外离 D.外切或内切 （连云
9、港市中考试题） 9.如图，O1与O2相交于 A，B 两点，点 O1在O2上，点 C 为O1中优弧AB 上任意一点，直线 CB 交O2于 D，连接 O1D. （1）证明：DO1AC； （2）若点 C 在劣弧AB 上， （1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论. （大连市中考试题） D B C A O1 O2 O1 O2 B A 图 1 图 2 10. .如图，已知O1与O2外切于点 P，AB 过点 P 且分别交O1和O2于点 A，B，BH 切O2于点 B，交O1于点 C，H. （1）求证：BCPHAP； （2）若 AP:PB3：2，且 C 为 HB 的中点，求 HA:BC. 6
10、 （福州市中考试题） O1 O2 P A B C H 11.如图，已知B，C 的半径不等，且外切于点 A，不过点 A 的一条公切线切B 于点 D，切C 于点 E，直线 AFDE，且与 BC 的垂直平分线交于点 F.求证：BC2AF. （英国数学奥林匹克试题） H F A E D C B 12. .如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点.正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过ABC 得内切圆圆心 O，且点 E 在半圆弧上. （1）若正方形的顶点 F 也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比； （2）若正方形 DEFG 的面积为 100，且ABC 的内切圆半径4
11、r，求半圆的直径 AB. （杭州市中考试题） O C EF D G B A B 级级 1. .相交两圆的半径分别为 5cm 和 4cm，公共弦长为 6cm，这两圆的圆心距为_. 2. .如图，O 过 M 点，M 交O 于 A，延长O 的直径 AB 交M 于 C.若 AB8，BC1，则 AM _. b-a 2 a aa b-a 2 O A B C M 7 （黑龙江省中考试题） （第 2 题图） （第 3 题图） （第 4 题图） 3. .已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将 50 个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链， 那么这条锁链拉直后的长度为_cm. 4. .如图， 已知 PQ
12、10， 以 PQ 为直径的圆与一个以 20 为半径的圆相切于点 P.正方形 ABCD 的顶点 A， B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q.若 ABnm，其中m，n为整数，则 nm_. （美国中学生数学邀请赛试题） 5. .如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 M，且分正方形为 4 个三角形，O1，O2，O3， O4，分别为AMB，BMC，CMD，DMA 的内切圆.已知 AB1.则O1，O2，O3，O4所夹 的中心（阴影）部分的面积为（ ） A. (4)(32 2) 16 B. (32 2) 4 C. (4)(32 2) 4 D. 4 16 （太原市竞赛试题）
13、M O4 O3 O1 O2 D C B A C D E A B O1 O2 D C B A O1 O2 （第 5 题图） （第 6 题图） （第 7 题图） 6. .如图， O1与O2内切于点 E， O1的弦 AB 过O2的圆心 O2， 交O2于点 C， D.若 AC： CD:BD 2:4:3，则O2与O1的半径之比为（ ） A.2:3 B.2:5 C.1:3 D.1:4 7. .如图，O1与O2外切于点 A，两圆的一条外公切线与O1相切于点 B，若 AB 与两圆的另一条外 公切线平行，则O1与O2的半径之比为（ ） A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3 Q D CB A P 8 （
14、全国初中数学联赛试题） 8. .如图，已知O1与O2相交于 A，B 两点，过点 A 作O1的切线，交O2于点 C，过点 B 作两圆 的割线分别交O1，O2于点 D，E，DE 与 AC 相交于点 P. （1）求证：PA PEPC PD （2）当 AD 与O2相切且 PA6，PC2，PD12 时，求 AD 的长. （黄冈市中考试题） EP C B D A O2 O1 9. .如图，已知O1和O2外切于 A，BC 是O1和O2的公切线，切点为 B，C.连接 BA 并延长交 O1于 D，过 D 点作 CB 的平行线交O2于 E，F. （1）求证：CD 是O1的直径； （2）试判断线段 BC，BE，BF
15、 的大小关系，并证明你的结论. （四川省中考试题） O1 O2 D E F A C B 10. .如图，两个同心圆的圆心是 O，大圆的半径为 13，小圆的半径为 5，AD 是大圆的直径，大圆的弦 AB，BE 分别与小圆相切于点 C，F，AD，BE 相交于点 G，连接 BD. （1）求 BD 的长； （2）求2ABED 的度数； （3）求 BG AG 的值. （淄博市中考试题） G O E F C A D B 11. .如图，点 H 为ABC 的垂心，以 AB 为直径的O1与BCH 的外接圆O2相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P.求证：P 为 CH 的中点. （ “ 数学周报杯”全国初中数学竞赛试题） 9 B D H C P A O1 O2 12. .如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，点 P 为直径 AB 上的任意一点，以点 A 为圆心，AP 为半径作 A，A 与半圆 O 相交于点 C，以点 B 为圆心，BP 为半径作B，B 与半圆 O 相交于点 D，且线段 CD 的中点为 M.求证：MP 分别与A，B 相切. （ “ 数学周报杯”全国初中数学竞赛试题） M PO B A C D
