1、第五节 空间向量及其应用 考情解读 命题 规律 考点 空间向量的线性运 算及基本定理 用空间向量证明平行与垂直 利用空间向量求空间角解决开放性问题 考查频次 此考点近 5 年全国卷未涉及 此考点近 5 年 全国卷未涉及 卷, 5 年 5 考 卷, 5 年 5 考 卷, 卷, 5 年 5 考 考查难度 中等 中等 中等 常考题型 及分值 选择题、填空题 选择题、填空题 解答题, 12 分 命题 趋势 本主题仍是高考的重点,主要考察如何建立坐标系,如何求夹角问题 . 复习时关于存在性与探索性问题需要综合考虑 . 基础导学 （2）空间一点 的坐标： 空间一点 的坐标可以用有序实数组(,) 来表示,记
2、作(,) ,其中 叫做点 的 3 , 叫做点 的 4 , 叫做点 的 5 ; 建立了空间直角坐标系,空间中的点 与有序实数组（,） 可建立 6 的关系. 知识梳理 1. 空间直角坐标系及有关概念 （1）空间直角坐标系： 横坐标 纵坐标 竖坐标 一一对应 定 义 以空间一点 为原点, 具有相同的单位长度, 给定正方向,建立两两垂直 的数轴: 轴、 轴、 轴,建立了一个空间直 角坐标系 1 坐标原点 点 坐标轴 2 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 轴、 轴、 轴 3. 直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线 9 或 10 ,则称此向量 为直
3、线 的方向向量. （2）平面的法向量：直线 ,取直线 的 11 向量 ,则向量 叫做平面 的法向量. 平行 重合 方向 2. 空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式：设点(1,1,1),(2,2,2), 则| = 7 设点(,) 则与坐标原点 乊间的距离为| = 8 （2）中点公式： 设点(,) 为1(1,1,1),2(2,2,2) 的中点, 则 = 1+2 2 = 1+2 2 = 1+2 2 (1 2)2+ (1 2)2; 2+ 2+ 2. 4. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线1 ,2 的方向向量分别为1,2 1/12 1/2 12 1 2 1 2 13 直线 的方
4、向向量为 ,平面 的法向量为 / 14 / 15 平面， 的法向量分别为, / / 16 17 1= 2 1 2= 0 = 0 = = = 0 5. 异面直线所成角的求法 设, 分别是两异面直线1,2 的方向向量,则 与 的夹角 1 与2 所成的角 范围 （0，） 18 求法 cos = | cos = |cos| = 19 (0, 2 | 6. 直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为, 直线 与平面 所成的角为 ,两向量 与 的夹角为 ,则有sin = |cos| = 20 . | | 7. 二面角的求法 （1）如图, 是二面角 两个半平面内与棱 垂直的直
5、线,则二面角的大小 = 21 . （2）如图,1,2 分别是二面角 的两个半平面, 的法向量,则二面角的大小 满足cos 22 或 23 . , cos1,2 cos1,2 知识拓展 1.空间向量基本定理 如果三个向量, ,不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组, ,使得 = + + .其中 , 叫做空间的一个基底. 2.、 四点共面的充要条件 空间存在一点 ,使 = + + , 且 + + = 1 . 3.确定平面的法向量 （1）直接法：观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定. （2）选定系数法：取平面的两条相交向量, ,设平面的法向量为 = (,) ,由 = 0, = 0 解方
6、程组求得. 重难突破 考点一 用法向量求直线与平面所成的角 典例研析典例研析 【例 1】2019浙江卷如图,已知三棱柱 111 ,平面11 平面, = 90 , = 30 ,1 = 1 = , , 分别是 ,11 的中点. 答案 （解法一）证明：如图,连接 1, 1 = 1, 是 的中点, 1 . （1）证明： ; 又平面11 平面,1 平面11, 平面11 平面 = , 1 平面 , 则1 . 又 1/, = 90, 1 . 又1 1 = 1, 平面1, . （解法二）证明：连接1, 1 = 1, 是 的中点, 1 . 又平面11 平面,1 平面11, 平面11 平面 = , 1 平面 .
7、如图,以点 为原点,分别以射线,1 为 轴、 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 . 不妨设 = 4 ,则1(0,0,2 3),( 3,1,0),1( 3,3,2 3),( 3 2 , 3 2 ,2 3),(0,2,0). 因此 = ( 3 2 , 3 2 ,2 3), = ( 3,1,0) . 由 = 0 得 . 答案 （解法一）解：取 的中点 ,连接、 ,则四边形 ,是平行四边形.由于1 平面 , 故1 , 平行四边形1 为矩形.连接1 交 于 ,由（1）得 平面1, 则平面1 平面1, 在平面1 上的射影在直线1 上. 则 是直线 与平面1 所成的角（或其补角）. 不妨设 = 4 ,则在 1
8、 中,1 = 2 3, = 3 . 由于 为1 的中点,故 = = 1 2 = 15 2 , cos = 2+22 2 = 3 5 . 因此,直线 与平面1 所成角的余弦值是3 5 . （2）求直线 与平面1 所成角的余弦值. （解法二） 解：设直线 与平面1 所成角为 . 由（1）可得 = ( 3,1,0),1 = (0,2,2 3) . 设平面1 的法向量为 = (,). 由 = 0, 1 = 0, 得 3 + = 0, 3 = 0. 取 = (1, 3,1) ,故sin = |cos ,| = | | | | = 4 5 . 因此,直线 与平面1 所成角的余弦值为3 5 . 方法技巧：
9、求直线与平面所成角的方法 （1）定义法：利用线面垂直,作出斜线与射影所成的角,解直角三角形. （2）向量法：求斜线的方向向量 与平面的法向量 . 2 , 或, 2 为其线面角. 对点训练对点训练 1. 2018全国卷如图所示,四边形 为正方形, 分别为 , 的中点,以 为折痕把 折起, 使点 到达点 的位置,且 . （1）证明：平面 平面 ; 答案证明：由已知可得 , ,所以 平面 . 又 平面 ,所以平面 平面 . 答案解：如图所示,作 ,垂足为 . 由（1）得, 平面 .以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, | | 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 . 由（1）可得, . 又 =
10、2, = 1 ,所以 =3. 又 = 1, = 2 ,所以 . 所以 = 3 2 , = 3 2 . 则 (0,0,0),(0,0, 3 2 ),( 1, 3 2 ,0) , = (1, 3 2 , 3 2 ), = (0,0, 3 2 ) . 又 为平面 的法向量, 设 与平面 所成角为 , 则 sin = | | | | | = 3 4 3 = 3 4 . 所以 与平面 所成角的正弦值为 3 4 . （2）求 与平面 所成角的正弦值. 重难突破 考点二 用法向量求二面角 典例研析典例研析 【例 2】2019全国卷理如图,直四棱柱 1111 的底面是菱形,1= 4, = 2, = 60 ,
11、, , 分别是 ,1,1 的中点. 答案证明：连接 1, . , 分别为1, 的中点. = / 1 2 1 . 又 为1 的中点, = 1 2 1 . 由题设知11= / ,可得1 = / 1 ,故 = / ,因此四边形 为平行四边形,/ . 又 平面1, 所以/ 平面1 . 答案解：由已知可得 .以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则(2,0,0),1(2,0,4),(1, 3,2),(1,0,2),1 = (0,0,4),1 = (1, 3,2),1 = (1,0,2), = (0, 3,0). 设 = (,) 为平面1 的法向量,则 1 = 0, 1 =
12、 0, 所以 + 3 2 = 0, 4 = 0 , 可取 = ( 3,1,0). 设 = (,) 为平面1 的法向量,则 = 0, 1 = 0, 所以 3 = 0, 2 = 0.可取 = (2,0,1) . 于是cos, = | = 2 3 2 5 = 15 5 ,所以二面角 1 的正弦值为 10 5 . （2）求二面角 1 的正弦值. 方法技巧： 利用向量法计算二面角大小的常用方法 （1）法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的角得到二面角 的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小是锐角还是钝角. （2）定义法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂
13、直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的 大小就是二面角的大小. 对点训练对点训练 2. 2019全国卷 II如图,长方体 1111 的底面 是正方形,点 在棱1 上, 1 . （1）证明： 平面11 ; 答案证明：由已知得,11 平面11, 平面11, 故11 . 又 1, 所以 平面11. 答案解：由（1）知1= 90. 由题设知 11 ,所以 = 45 ,故 = ,1= 2 . 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| | 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 (0,1,0),(1,1,0),1(0,1,2),(1,0,1), = (1,0,0), = (1,1,1),1
14、 = (0,0,2). 设平面 的法向量为 = (,) ,则 = 0, = 0, 即 = 0 , + = 0, 所以可取 = (0,1,1) . 设平面1 的法向量为 = (1,1,1) ,则 1 = 0, = 0, 即 21 = 0, 1 1+ 1= 0 所以可取 = (1,1,0) . 于是cos, = | = 1 2 . 所以,二面角 1 的正弦值为 3 2 . （2）若 = 1 ,求二面角 1 的正弦值. 重难突破 考点三 空间向量的综合应用 典例研析典例研析 【例 3】如图所示,正方形11 与矩形 所在平面互相垂直, = 2 = 2 . （1）若点 为 的中点,求证：1/ 平面1 ;
15、 答案证明：四边形11 为正方形,连接1,1,1,1 1= ,则 是1 的中点,又因为点 为 的中点,连接 ,则 为 1 的中位线,所以/1 . 又因为1 平面1, 平面1 , 所以1/ 平面1 . （2）在线段 上是否存在点 ,使二面角1 的大小为 6 ？若存在,求出 的长;若不存在,请说明理 由. 答案解: 根据题意得1 ,1 , , 以 为坐标原点,1 所在直线分别为, 轴建立空间直 角坐标系 ,则(0,0,0),1(0,0,1),(0,2,0) . 设满足条件的点 存在, 令(1,0,0)(0 0 2), = (1,2 0,0),1 = (0,2,1), 设1= (1,1,1) 是平面
16、1 的法向量. 方法技巧： 此类问题是用向量夹角公式构造方程、函数、不等式. 其关键点为： （1）建系,建立空间直角坐标系,幵用待求值表示点的坐标,向量坐标. （2）法向量,用待求值（字母）求出平面的法向量. （3）求值,用向量夹角公式,根据二面角的条件,构造方程或不等式,求出待定值. 对点训练对点训练 3. 如图所示,在直棱柱 111 中,1= = = 2, , 分别是11,1, 的中点. （1）求证： . 答案证明：以 为坐标原点、 所在直线为 轴、 所在直线为 轴、1 所在直线为 轴建立如图所 示的空间直角坐标系.由题意可知(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(1,1,0)
17、, 故 = (2,0,1), = (1,0,2) ,由 = 2 (1) + 1 (2) = 0 ,可知 ,即 . 答案解：设 = (,1) 是平面 的一个法向量, 又 = (1,0,2), = (1,1,1) , 故由 = 2 = 0， = + = 0， 解得 = 2, = 3,故 = (2,3,1) .设 与平面 所成角为 ,则sin = | | | | = 5 14 5 = 70 14 ,点 到平面 的距离为| sin = 5 14 14 . （2）求 与平面 所成角的正弦值及点 到平面 的距离. 课时作业 1. 如图所示,在四棱锥 中, 平面 ,底面 是菱形, = 2 , = 60. （
18、1）求证： 平面 ; 答案证明： 四边形 是菱形, . 又 平面 , , 又 = , 平面 . 答案解：设 = . = 60 , = = 2 , = 1, = = 3 . 如图所示,以 为坐标原点,分别以, 为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,则 (0, 3,2),(0, 3,0) ,(1,0,0),(0, 3,0). 设 与 的夹角为 , cos = | | | = 6 4 . 与 所成角的余弦值为 6 4 . （2）若 = ,求 与 所成角的余弦值. 2. 在如图所示的多面体中,四边形 是平行四边形,四边形 是矩形, 平面 , = 2 （1）求证：平面 平面 ; 答案证明：在 中, =
19、 6 , = 2 , 由余弦定理,得 =3 , 从而 2+ 2= 2, 故 , 所以 为直角三角形且 = 2 . 因为 平面 , 平面 , 所以 . 又 = ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以平面 平面 . 答案解：由（1）可得,在 中, = 3 , =3 ,又由 = , 设 = 1 ,则 = =3 .因为 平面 , , 所以可以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,如图所示. （2）若 = ,求直线 与平面 所成角的正弦值. 则(1,0,0),(1, 3,0),(0,0, 3),(0, 3, 3) ,所以 = (1,0, 3), = (2, 3,0) . 设平
20、面 的法向量为 = (,) , 则 = 0， = 0， 即 + 3 = 0， 2 + 3 = 0， 令 = 1 ,得 = ( 3,2,1) ,为平面 的一个法向量. 因为 = (1, 3, 3) ,所以cos = | | = 42 14 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 42 14 . 3. 如图,在四棱锥 中,平面 平面, , = , , = 1, = 2, = = 5 . （1）求证： 平面 ; 答案证明：因为平面 平面 ,平面 平面 = , , 所以 平面 .所以 . 又 , = ,所以 平面 . (0,1,0),(1,1,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1) .
21、设 是棱 上一点,则存在 0,1 , 使得 = . 因此点(0,1 ,), = (1,) . 因为 平面 , 所以要使/ 平面 , 则 = 0 , 即(1,) (1,2,2) = 0 , 解得 = 1 4 . 所以在棱 上存在点 ,使得/ 平面 ,此时 = 1 4 . 答案解：取 的中点 ,连接, . 因为 = ,所以 . 因为 平面 ,平面 平面 , 所以 平面 . 因为 平面 ,所以 . 因为 = ,所以 . 如图,建立空间直角坐标系 .由题意得, （2）在棱 上是否存在点 ,使得 / 平面 ？若存在,求 的值;若不存在,说明理由. 4. 2019天津卷如图, 平面,/,/, , = =
22、1, = = 2 . （1）求证：/ 平面 ; 答案依题意, = (1,0,0) 是平面 的法向量,又 = (0,2,h) ,可得 = 0 ,又因为直线 平 面 ,所以/ 平面 . 解：依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 , , 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系 （如图） ，可得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2)，设 CF=h(h0)，则 F(1,2,h). （2）求直线 与平面 所成角的正弦值; 答案依题意, = (1,1,0), = (1,0,2), = (1,2,2) . 设 = (,) 为平面 的法向量,
23、则 = 0， = 0， 即 + = 0， + 2 = 0， 不妨令 = 1, 可得 = (2,2,1) .因此有cos , = | | = 4 9 . 所以,直线 与平面 所成角的正弦值为4 9 . 答案设 = (,) 为平面 的法向量,则 = 0， F = 0， 即 + = 0， 2 + h = 0， 不妨令 = 1 ,可得 = (1,1, 2 h) . 由题意,有|cos | = | | = |42 h| 3 2+ 4 h2 = 1 3 ,解得h = 8 7 .经检验,符合题意. 所以,线段 的长为8 7 . （3）若二面角 的余弦值为1 3 ,求线段 的长. 5. 如图 1,在高为 6
24、的等腰梯形 中,/ ,且 = 6, = 12 ,将它沿对称轴 1折起,使平面 1 平面 1 ,如图 2,点 为 的中点,点 在线段 上（不同于 , 两点）,连接 幵延长至 点 ,使 / . （1） （一题多解）证明: 平面 ; 答案证明：证法一 取 1的中点 ,连接 , ,如图所示. 为 的中点, / . / , / . , 四点共面. 由题图 1 可知 1, 平面 1 平面 1 ,且平面 1 平面 1 = 1, 平面 1 , 平面 1 . 平面 1 . 又 平面 1, . 由题意知, = 1, = 1, = 1, 1 . = 1 + = 1+ = 90 . . = ,且 平面 , 平面 ,
25、平面 . 证法二 由题设知,1 两两垂直, 以 为坐标原点,1 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建 立如图所示的空间直角坐标系,设 的长为 , 则(0,0,0),(6,0,0),(0,6,0),(0,3,6),(3,0,6),(6,0) . 为 的中点, (0, 9 2 ,3) . = (3,0,6), = (0,0), = (6, 9 2 ,3) . = 0, = 0, , .又 与 不共线, 平面 . 答案解： = 2,/ , = 1 2 = 3 ,则(6,3,0) . = (6,3,0), = (0,3,6) . 设平面 的法向量为1= (,), 由 1 = 0， 1 = 0， 得 6 + 3 = 0， 3 + 6 = 0， 令 = 1, 则 = 2, = 1,1= (1,2,1). 易得平面 的一个法向量为2= (0,0,1). 设二面角 的大小为 ,由图可知, 为锐角, 则cos = | 12 |1|2| | = 6 6 , 即二面角 的余弦值为 6 6 . （2）若 = 2 ,求二面角 的余弦值.
