1、第一节 任意角的三角函数 考情解读 命 题 规 律 考点 任意角及其三角 函数 同角三角函数的基本关 系式 诱导公式 考查频次 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,4年3考 卷,5年2考 卷,5年2考 卷,4年1考 考查难度 容易 容易 容易 常考题型及 分值 选择题,5分 选择题,5分; 填空题,5分 选择题,5分; 填空题,5分 命 题 趋 势 预计高考对本部分内容的考查形式为:（1）同角三角函数的基本关系式及诱导公式的 简单应用,题目难度较小,理解定义即可求解;（2）以工具的形式考查三角函数的图象不性 质、三角恒等变换等,有一定难度,由于基本公式多、变换技巧多,复习时要在理解的基础上 记忆公
2、式,幵能熟练运用 基础导学 1. 任意角的概念 （1）我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角. 正角：按 1 方向旋转形成的角; 负角：按 2 方向旋转形成的角; 零角：如果一条射线 3 ,我们称它形成了一个零角. （2）终边相同角：不 终边相同的角可表示为：4 . 知识梳理 逆时 针 顺时 针 没有作任何 旋转 | = +2, 3. 任意角的三角函数 定义：设 是一个任意角,它的终边不单位囿交于点 (,) ,则sin = 12 ,cos = 13 ,tan = 14 ( 0) . 2. 弧度不角度的互化 （1）1 弧度的角：长度等于 5 的弧所对的囿心角. （2）角 的弧度数
3、公式： | = 6 . （3）角度不弧度的换算: 360= 7 ,1= 8 ,1 = ( 9 ) 5718 . （4）扇形的弧长及面积公式： 弧长公式： = 10 . 面积公式： = 11 = 1 2 2 . 半径 长 2 180 180 1 2 5. 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：18 . （2）商数关系：19 . 4. 终边相同的角的三角函数 sin( + 2) = 15 , cos( + 2) = 16 , tan( + 2) = 17 （其中 ）, 即终边相同的角的同一三角函数的值相等. sin cos tan sin2 +cos2 = 1 sin cos = tan 4.
4、三角函数定义的推广 设点(,) 是角 终边上任意一点且丌不原点重合, = | ,则sin = ,cos = ,tan = . 5.四种角的终边关系 （1）, 终边相同 = +2, . （2）, 终边关于 轴对称 = +2, . （3）, 终边关于 轴对称 = +2, . （4）, 终边关于原点对称 = + +2, . 组 数 一 二 三 四 五 六 角 2 +( ) + 2 2 + 正 弦 sin 20 21 22 23 24 余 弦 cos 25 26 27 28 29 正 切 tan 30 31 32 6. 三角函数的诱导公式 sin sin sin cos cos cos cos cos
5、 sin sin tan tan tan 重难突破 考点一 任意角的概念与弧度制 典例研析典例研析 【例1】 A. B. C. D. C （1）集合| + 4 + 2 , 中的角所表示的范围（阴影部分）是( ) 解析 当 = 2( ) 时,2 + 4 2 + 2 , , 此时 的终边和 4 2 的终边一样, 当 = 2 +1 时,2 + + 4 2 + + 2 , 此时 的终边和 + 4 + 2 的终边一样. （2）已知2弧度的囿心角所对的弦长为2,那么这个囿心角所对的弧长是( ) C 解析 如图： = 2 弧度, 过 点作 于 ,幵延长 交弧 于 D.则 = = 1 弧度,且 = 1 2 =
6、 1 , 在 中, = sin = 1 sin1 , 即 = 1 sin1 ,从而弧 的长为 = = 2 sin1 . A. 2 B. sin2 C. 2 sin1 D. 2sin1 方法技巧： （1）表示区间角的三个步骤 先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360 360 范围内的角 和, 写出最简区间. 起始、终止边界对应角, 再加上360 的整数倍,即得区间角集合. （2）象限角的两种判断方法 图象法：在平面直角坐标系中,作出已知角幵根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. 转化法：先将已知角化为 360+ (0 360 ,是 ）的形式,即
7、找出不已知角终边相同的角, 再由角 终边所在的象限判断已知角是第几象限角. （3）应用弧度制解决问题的方法 利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. 求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. 在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用囿心角所在的三角形. 对点训练对点训练 1. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一方田三三：“今有 宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的 田,弧长30步,其所在囿的直径是16步,则这块田的面积为( ) A. 120平方步 B. 240平方步 C. 360平
8、方步 D. 480平方步 A 解析由题意可得： = 1 2 8 30 = 120 （平方步）. 2. 不2 010 终边相同的最小正角是 . 150 解析因为2 010= (6) 360+150 所以150 不2 010 终边相同,又终边相同的两个角相差360 的整 数倍,所以在0 360 中只有150 不2 010 终边相同,故不2 010 终边相同的最小正角是150. 重难突破 考点二 三角函数的定义与同角三角函数 的关系式 （3）已知tan = 2 ,则 sin4cos 5sin+2cos = . （2）已知角 的终边经过点(,6) ,且cos = 5 13 ,则 的值为 . 典例研析典
9、例研析 【例2】 B （1）已知点(cos,tan) 在第三象限,则角 的终边在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5 2 1 6 解析 由题意可得 0, 0, 0, 2 2+36 = 25 169 , 解得 = 5 2. 解析 原式= tan4 5tan+2 = 24 52+2 = 1 6 . 方法技巧： （1）已知角 的终边求三角函数值,其关键点为： 已知角 终边上点 的坐标 a.求 到原点的距离. b.利用三角函数定义求解. 已知角 终边所在的直线方程 a.根据象限位置,设出 的终边上点 的坐标. b.利用三角函数定义求解. （2）判断三角函数值符号的
10、关键点 确定 的终边所在的象限位置. 根据 终边上 的坐标符号：正弦值不纵坐标同号,余弦值不横坐标同号;横纵坐标同号,正切值为正;异号正切 值为负. 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan = sin cos 化成正弦、余弦,戒者利用公式 sin cos = tan 化成正切 表达式中含有 sin,cos 不tan “1”的变换 1 = sin 2 +cos2 = cos2(1+tan2) = tan 4 = (sin cos)22sincos 表达式中需要利用 “1”转化 和积转换 利用(sin cos)2= 1 2sincos 的关系迚行变形、转化 表达式中含有 sin cos
11、 戒 sincos 次幂升降 对于含有根号的,即形如 （其中 是可以转化为形如2 的三角函数式）的式子,常把根 号下的式子化为完全平方式,根据二次根式的性质化简戒求值.对于含有高次的三角函数 式,一般借助于因式分解、约分、构造sin 2 +cos2 = 1 来降低次数 出现根号戒高次幂 的结构形式 对点训练对点训练 D B 3. 若cos 0 且 tan 0 ,得 的终边在第一戒第四象限戒 轴非负半轴上,又由tan 0 ,得 的终边在第二戒第四 象限,所以 是第四象限角. 4. 已知sin +cos = 4 3 , (0, 4) ,则sin cos 的值为( ) A. 2 3 B. 2 3 C
12、. 1 3 D. 1 3 解析因为(sin +cos)2= sin 2 +cos2 +2sin cos = 1+2sincos =16 9 ,所以2sincos = 7 9 ,则 (sin cos)2= sin 2 +cos2 2sin cos = 12sincos =2 9 . 又因为 (0, 4), 所以sin cos ,即sin cos 0 时, = 10 , sin = 3 10 = 3 10 , 1 cos = 10 = 10 , 10sin + 3 cos = 3 10+3 10 = 0 ; 当 0 时, = 10 , sin = 3 10 = 3 10 , 1 cos = 10
13、= 10 , 10sin + 3 cos = 3 103 10 = 0 . 5. 已知角 的终边在直线 = 3 上,则10sin + 3 cos 的值为 . 重难突破 考点三 诱导公式 典例研析典例研析 【例3】 C （1）已知() = sin()cos(2) cos()tan ,则( 31 3 ) 的值为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 3 （2）已知cos( 6 ) = 2 3 ,则sin( 2 3 ) = . 2 3 解析 () = sincos costan = cos , ( 31 3 ) = cos( 31 3 ) = cos(10 + 3) = cos
14、3 = 1 2 . 解析 因为sin( 2 3 ) = sin( 2 3 ) = sin ( 3 +) = sin( 3 +) = sin 2 ( 6 ) = cos( 6 ) = 2 3. （1）应用诱导公式时,注意： 明确函数名是变,还是丌变; 明确函数值符号是正还是负; 明确是否直接用公式; 明确各公式的应用顺序,合理转化角度： （2）含2 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2 的整数倍的三角函数式中可直接将2 的整数倍去掉后再迚行运算, 如cos(5) = cos( ) = cos . 方法技巧： 对点训练对点训练 0 6. 已知cos( 6 ) = (| 1
15、) ,则cos( 5 6 +)+sin( 2 3 ) 的值是 . 解析由题意知cos( 5 6 +) = cos ( 6 ) = cos( 6 ) = ,sin( 2 3 ) = sin 2 +( 6 ) = cos( 6 ) = 则cos( 5 6 +)+sin( 2 3 ) = 0. 7. 已知 是第四象限角,且sin( + 4) = 3 5 ,则tan( 4) = . 4 3 解析因为 是第四象限角, 且sin( + 4) = 3 5, 所以 + 4 为第一象限角, 所以cos( + 4) = 4 5, 所以tan( 4) = sin( 4) cos( 4) = cos 2+( 4) s
16、in 2+( 4) = cos(+ 4) sin(+ 4) = 4 3. 课时作业 一、单项选择题 C 2. 已知扇形的面积为2,扇形囿心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 C 1. 不457 角终边相同角的集合是( ) A. | = 360+457, B. | = 360+97, C. | = 360+263, D. | = 360263, 解析解法一 457= 2 360+263, 应选 . 解法二 457 角不97 角终边相同,又97 角不263 角终边相同, 又263 角不 360+263 角终边相同, 应选 . 解析设扇形的半径为 ,弧长为
17、,则由扇形面积公式可得2 = 1 2 = 1 2 2 = 1 2 2 4 ,求得 = 1, = = 4 .所 以所求扇形的周长为2 + = 6 . D C 3. 已知点(sin 3 4 ,cos 3 4 ) 落在角 的终边上,且 0,2) ,则 的值为( ) A. 4 B. 3 4 C. 5 4 D. 7 4 解析sin 3 4 = 2 2 ,cos 3 4 = 2 2 , 在第四象限角平分线上. 4. 已知一囿弧的弧长等于它所在囿的内接正三角形的边长,则这段囿弧所对囿心角的弧度数为( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 2 解析设等边三角形边长为 ,囿的半径为 ,由正弦定理得2 =
18、sin 3 , = 3 ,故 = = = 3 .故选 . B D 5. 已知cos29= ,则sin241tan151 的值是( ) A. 1+2 B. 12 C. 1+2 D. 12 解析sin241tan151 = sin(27029)tan(18029) = (cos29)(tan29) = sin29= 12 . 6. 已知sin( +) = 3cos(2),| 2 ,则 等于( ) A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 解析 sin( +) = 3cos(2 ), sin = 3cos, tan = 3. | 0 ,又sincos = 12 25 0 , cos 0 ,则sin cos = 7 5 . 由可得sin = 4 5 ,cos = 3 5 , tan = sin cos = 4 5 3 5 = 4 3 . 12. 已知角 为 的内角,且sin +cos = 1 5 ,则tan 的值为 . 4 3
