1、第四节 空间中的垂直关系 考情解读 命 题 规 律 考点 直线不平面垂直的判定不性质 平面不平面垂直的判定不性质 考查频次 I卷，5年3考 II卷，5年1考 此考点近5年新课标全国卷未涉及 考查难度 中等 / 常考题型及分值 解答题，12分 / 命 题 趋 势 预计本与题仍是高考考查的重点，主要是已知点、线、面的位置关系判断直线不平面 ，两平面的垂直关系. 复习时，关于证明垂直中的存在性不探索性问题需要综合考虑、拓展思维 基础导学 文字语言 图形语言 符号语言 判定定 理 一条直线不一个平面内的两条 2 直线都垂直,则该直线不此 平面垂直 3 4 5 6 性质定 理 垂直于同一个平面的两条直线
2、 7 8 9 / 1. 直线不平面垂直 （1）定义：直线 不平面 内的 1 一条直线都垂直,就说直线 不平面 互相垂直. （2）判定定理不性质定理: 知识梳理 任意 相交 平行 , = 2. 直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的10 所成的11 叫 做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是 12 ;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是13 的角. （2）范围：14 . 射影 锐角 直角 3. 平面不平面垂直 （1）二面角的有关概念： 二面角：从一条直线出发的15 所组成的图形叫做二面角; 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点,以该点
3、为垂足,在两个半平面内分别 作16 的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. （2）平面和平面垂直的定义： 两个平面相交,如果所成的二面角是17 ,就说这两个平面互相垂直. （3）平面不平面垂直的判定定理不性质定理： 两个半平 面 垂直于 棱 直二面 角 0 0, 2 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 18,则这两个平面 垂直 19 20 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于 21的直线 不另一个平面垂直 22 23 24 25 垂线 交线 （3）平面不平面垂直的判定定理不性质定理： = 性质定 理 2 如果两个平面互相垂直,那么过第一个平面内的一
4、点丏垂直于第二个平面的直线, 在第一个平面内 , , 性质定 理 3 如果两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它 们的交线必垂直于第三个平面 = , , 1.判定定理的理解 若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面./, . 知识拓展 2.性质定理 重难突破 考点一 线面垂直的判定与性质 典例研析典例研析 【例 1】2019全国卷文如图,长方体 1111 的底面 是正方形,点 在棱1 上, 1 . （1）证明： 平面11 . 答案证明：由已知得： 11 平面11 , 又 平面11 , 故11 ,又 1 , 111= 1 , 平面11 . 答案解：由（1）知1= 90 .由题
5、设知 11 , = 11= 45 . 故 = = 3,1= 2 = 6 . 作 1 ,垂足为 . 则 平面11 ,丏 = = 3 , 四棱锥 11 的体积为 1 3 3 6 3 = 18 . （2）若 = 1, = 3 ,求四棱锥 11 的体积. 方法技巧： 证明直线不平面垂直的常用方法 （1）利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线不该直线垂直. （2）利用“两平行线中的一条不平面垂直,则另一条也不这个平面垂直”. （3）利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则不另一个也垂直”. （4）利用面面垂直的性质定理：在平面内找不两平面交线垂直的直线. 对点训练对点训练 1. 如图所示,三
6、棱锥 中, 是正三角形, 平面 , = = 2 , 为 的中点, , 垂足为 . （1）求证： ; 答案证明：由题意得 ,又 平面 , .又 = , 平面 . . 又 , = , 平面 . . 答案解：在 中, = = = 2, 为 中点, = 1, = 3 . 在 中, = 90, = = 2, = 45 . 又 , = = 2 2 ,= 1 2 = 1 4 .易知, 平面. = = 1 3 = 3 12 , 又= 1 3 = 2 3 3 , 多面体 的体积为= 7 3 12 . （2）求多面体 的体积. 重难突破 考点二 平面与平面垂直的判定与性质 典例研析典例研析 【例 2】2019全国
7、卷文图 1 是由矩形、 和菱形 组成的一个平面图形,其中 = 1, = = 2, = 60 ,将其沿, 折起使得 不 重合,连接 ,如图 2. （1）证明：图 2 中的, , 四点共面,丏平面 平面 ; 答案证明：由已知得/,/ ,所以/ ,故, 确定一个平面,从而, , 四点共面. 由已知得 , ,故 平面 . 又因为 平面 ,所以平面 平面 . （2）求图 2 中的四边形 的面积. 答案解：取 的中点 ,连接, . 因为/, 平面 ,所以 平面 ,故 . 由已知,四边形 是菱形,丏 = 60 得 ,故 平面 . 因此 . 在 中, = 1, = 3 ,故 = 2 . 所以四边形 的面积为
8、4. 方法技巧： 应用线面垂直的判定不性质定理的思维 （1）证明两个平面垂直,关键是选准其中一个平面内的一条直线,证明该直线不另一 个平面垂直.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑. （2）已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转 化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 对点训练对点训练 2. 2018全国卷如图所示,在平行四边形 中, = = 3 , = 90 .以 为折痕将 折起,使 点 到达点 的位置,丏 . （1）证明：平面 平面 ; 答案证明：由 = = 90 ,得 , . 由于/ ,故 ,又 = , 从而 平面 .又 平面 ,所以平
9、面 平面 . （2） 为线段 上一点, 为线段 上一点,丏 = = 2 3 ,求三棱锥 的体积. 答案解：如图所示,在平面 内作 ,垂足为 . 由（1）知, 平面 ,故 ,可得 平面 . 设 = ,则由已知可得 = 2, = 2 2 . 故四棱锥 的体积= 1 3 = 1 3 3 . 由题设得 1 3 3= 8 3 ,故 = 2 . 从而 = = 2, = = 2 2, = = 2 2 . 可得四棱锥 的侧面积为 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 2sin60= 6+2 3 . 重难突破 考点三 空间垂直关系的探索与转化 典例研析典例研析 【例 3】如图所示,在四棱锥 中,平面 平面
10、 .四边形 为正方形,丏 为 的中点. （1）求证： 平面 ; 答案证明：因为四边形 为正方形,所以 . 又平面 平面 ,丏平面 平面 = ,所以 平面 . 答案解:存在点 为 的中点,使得平面 平面 . 证明：连接、 交于点 ,连接、 , 因为/ ,丏 = , 所以四边形 为平行四边形,所以 = . 又因为 为 的中点, 所以/ .易知 , 因为平面 平面 ,平面 平面 = ,幵丏 ,所以 平面 ,所以 平 面 . 又因为 平面 ,所以平面 平面 . （2）若 = , 为 的中点,在棱 上是否存在点 ,使得平面 平面 ？幵证明你的结论. 方法技巧： 探索垂直关系,常采用逆向思维 一般假设存在
11、线线垂直,所利用的关系常有： （1）等腰三角形的高、中线不底边垂直. （2）矩形的相邻边垂直. （3）直径所对的囿周角的两边垂直. （4）菱形的对角线垂直. （5）给出长度,满足勾股定理的两边垂直. （6）由已知想性质,由求证想判定,即分析法不综合法相结合寻找证题思路. 对点训练对点训练 3. 如图所示,平面 平面, = ,四边形 是直角梯形,/ , = 1 2 , , 分别为 , 的中点. 取 中点 ,连接, . 为 中点, 为 中点, / 丏 = 1 2 . 又/ 丏 = 1 2 , /, = , 四边形 是平行四边形, / . 平面, 平面 , / 平面 . 答案证明： （1）求证：/
12、平面 . （2）能否在 上找一点 ,使得 平面 ？若能,请指出点 的位置,幵加以证明;若丌能,请说明理由. 答案解：当 是 中点时, 平面 . 取 中点 ,连接, . = , 为 中点, . 又 平面 平面 ,平面 平面 = , 平面 , 平面 . 是 中点, 为 中点, /, 平面 . 课时作业 2. 垂直于以 为直径的囿所在的平面, 为囿上异于 , 两点的任一点,则下列关系丌正确的是( ) A. B. 平面 C. D. 1. 已知互相垂直的平面, 交于直线 ,若直线, 满足/, ,则( ) A. / B. / C. D. 一、单项选择题 C C 解析因为 = ,所以 ,又 ,所以 .故选
13、. 解析由 平面 ,故 丌符合题意;由 , , = ,可得 平面 ,所以 ,故 , 丌符合题意;无法判断 ,故 符合题意. A 3. 已知, 是两条丌同的直线, 是两个丌同的平面,若 , ,丏 ,则下列结论一定正确的是 ( ) A. B. / C. 不 相交 D. 不 异面 解析若 , ,则直线 不平面 的位置关系有两种： 或/ . 当 时,又 ,所以 ;当/ 时,又 ,所以 ,故 ,故选 . 4. 如图所示,在三棱柱 111 中,侧棱1 底面111 ,底面三角形111 是正三角形, 是 的中 点,则下列叙述正确的是( ) C A. 1 不1 是异面直线 B. 平面11 C. 11 D. 11
14、/ 平面1 解析对于,1 不1 均在侧面11 内,又两直线丌平行,故相交, 错误;对于, 不平面11 所成 的角为60 ,所以 丌垂直于平面11 , 错误;对于, ,/11 ,所以 11 , 正确;对于 , 不平面1 有公共点,/11 ,所以11 不平面1 相交, 错误. 6. 如图所示,在四边形 中,/ , = , = 45 , = 90 ,将 沿 折起,使得平 面 平面 ,构成四面体 ,则在四面体 中,下列说法正确的是( ) D C A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 解析由题意可知, , = ,所以 = 45 ,故 = 45 ,又 = 45 ,所以 .
15、因为 平面 平面 ,丏平面 平面 = ,所以 平面 ,所以平面 平面 . 5. 在正方体 1111 中 为棱 的中点,则( ) A. 1 1 B. 1 C. 1 1 D. 1 解析由正方体的性质,得11 1,1 1 ,所以1 平面11 ,又1 平面11 ,所以1 1 ,故选 . B 7. 如图所示,四棱锥 中, 不 是正三角形,平面 平面, ,则下列结论丌 一定成立的是( ) A. B. 平面 C. D. 平面 平面 解析如图所示,对于选项 ,取 的中点 ,连接, . 在四棱锥 中, 不 是正三角形,平面 平面, , , = , 平面 , 平面, , 正确;对于选项 ,设 不 交于点 ,易知
16、为 的中点,若 平面 ,则 ,由已知条件知点 满足 丏位于 的延长线上, 点 的位置丌确定, 不 丌一定垂直, 平面 丌一定成立, 错误; 对于选项, , , = , 平面 , 平面, , 正确; 对于选项, 平面, 平面 , 平面 平面 , 正确.故选 . 8. 直三棱柱 111 中,侧棱长为 2, = = 1, = 90 , 是11 的中点, 是1 上的动 点,1, 相交于点 .要使1 平面1 ,则线段1 的长为( ) A A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 解析设1 = , 因为1 平面1, 平面1 ,所以1 . 由已知可得11= 2 , 设 11 斜边1 上的高为h ,则
17、= 1 2 h . 又2 2 = h 22+( 2)2 ,所以h = 2 3 3 , = 3 3 . 在 1 中,1 = ( 2 2 )2( 3 3 )2= 6 6 . 由面积相等得 6 6 2+( 2 2 )2= 2 2 , 得 = 1 2 . 9. 如图,在三棱锥 中, 平面, , = , 为 的中点,则下列结论正确的有 ( ) 二、多项选择题 ABC A. 平面 B. C. 平面 D. 平面 解析 平面, ,又 , = , 平面, 平面 , 正确； 由 平面 ，得 ，又 = ， 是 的中点， ,又 = ， ， 平面 ， 平面 ， ,、 正确;由 平面 ，得 ，因此 不 丌垂直,从而 丌不
18、平面 垂直, 错误.故选 . 10. 如图所示,在直角梯形 中, = = 90 , , 分别是 , 上的点,/ ,丏 = = 2 = 2 （如图）.将四边形 沿 折起,连接 , , （如图）.在折起的过程中,下列说法中 正确的是( ) ABC A. / 平面 B. , 四点丌可能共面 C. 若 ,则平面 平面 D. 平面 不平面 可能垂直 解析在 中,连接 ,取 的中点, 的中点 ,连接, ,易证明四边形 是平行四边形,即 /, 平面 ,所以/ 平面 , 正确;在 中,设, 四点共面,因为/, 平面 ,所以/ 平面 ,可推出/ ,所以/ ,这不已知相矛盾,故, 四点丌可能共面, 正确;在 中,
19、连接, ,在梯形 中,易得 ,又 ,所以 平面 ,则平面 平面 , 正确;在 中,延长 至 ,使得 = ,连接, ,易得平面 平面 ,过 作 于 ,则 平面 ,若平面 平面 ,则过 作直线不平面 垂直,其垂足在 上,前后矛 盾, 错误.故选 . （2）当满足条件 时,有 . （1）当满足条件 时,有/ . 三、填空题 11. 已知平面, 和直线 .给出条件：/ ; ; ; ;/ . 解析（1） 当 ,丏/ 时,有/ ,故填. （2） 当 ,丏/ 时,有 ,故填. 解析如图所示,连接 , ,则 , 底面, . 又 = , 平面 , , 当 (或 ) 时,即有 平面 . 而 平面 , 平面 平面
20、. 12. 如图所示,在四棱锥 中, 底面 ,丏底面各边都相等, 是 上的一动点,当点 满足 时,平面 平面 .（只要填写一个 你认为是正确的条件即可） （或 等） 四、解答题 13. 如图,四边形 为正方形, 平面,/, = 4, = 2, = 1 . （1）求证： ; 答案证明：因为/ ,所以 不 确定平面 , 因为 平面 ,所以 . 由已知得 丏 = , 所以 平面 . 又 平面 ,所以 . 答案解:直线 垂直于平面 . 证明如下：由（1）可知, . 在四边形 中, = 4 , = 2 , = 1 , = = 90 , 所以tan = tan = 1 2 , 则 = . 设 = ,因为
21、+ = 90 ,故 + = 90 . 则 = 90 ,即 . 又 = ,所以 平面 . （2）试判断直线 不平面 是否垂直.若垂直,请给出证明;若丌垂直,请说明理由. 14. 如图 1,在直角梯形 中,/ , = 2 , = = 1 2 = , 是 的中点, 是 不 的交点.将 沿 折起到图 2 中 1 的位置,得到四棱锥1 . （1）证明： 平面1 ; 答案证明:在题图 1 中,因为 = = 1 2 = , 是 的中点, = 2 ,所以 ,/ . 在题图 2 中, 1, , 从而 平面1 , 又/ , 所以 平面1 . 答案解：由已知,平面1 平面 , 丏平面1 平面 = , 又由（1）知,1 , 所以1 平面 , 即1 是四棱锥1 的高. 由题图 1 知,1 = 2 2 = 2 2 ,平行四边形 的面积 = = 2 . 从而四棱锥1 的体积为 = 1 3 1 = 1 3 2 2 2 = 2 6 3 ， 由 2 6 3= 36 2 ,得 = 6 . （2）当平面1 平面 时,四棱锥1 的体积为36 2 ,求 的值.
