1、20212021 人教版版六年级下册数学人教版版六年级下册数学 教材解读教材解读 大家好，下面我们对六年级下册的整体编排情况做一个简要的介绍。教 材的目录，从目录上我们可以看到，本册中近 2/3 的内容是新授内容，而剩 下 1/3 的内容是对小学阶段所学习的数学内容进行一个整理和复习。首先我 们来看新授内容，在数与代数方面，本册教材编排了负数、百分数（二）和 比例三个单元，配合着百分数二和比例这两个单元，还编排了两个综合与实 践的活动，分别是生活与百分数、自行车里的数学、在图形与几何方面，本 册教材编排了的圆柱和圆锥教学内容。 最后一个单元是人教版教材的特色单元数学广角。在本册的数学广角 中，
2、我们主要介绍鸽巢问题，也就是抽屉原理。我们先来看数与代数的三个 单元，在前面 5 年半的时间里，我们学习了整数、小数、分数的认识以及相 关的计算，但都局限于非负有理数。到了初中以后，数系会在此基础上进一 步扩展，学生将逐步学习负数、认识有理、数实数，并进行相关的运算，在 学生正式学习这些知识之前，编排负数的初步认识，可以承上启下，为中学 的数学学习打下坚实的基础，有利于做好中小衔接，但是也要注意，在小学 阶段只是借助学生熟悉的生活情境，初步认识负数，会用负数表示日常生活 中的一些量，教学的时候需要注意把握好要求。 关于百分数的认识及应用，我们已经在六年级上册学习了百分数一，理 解了百分数的意义
3、，会用百分数解决一般性的实际问题，这些都为本册的学 习打下了良好的基础。本次学习百分数在生活中的 4 类特殊应用折扣、陈 述、税率、利率，在解决这些实际问题时，基本的数量关系还是保持不变。 而学生学习时遇到的最大困难，主要来自于对折扣缴税、存款、理财等实际 情境的复杂性的理解。紧接着百分数单元教材还安排了一个综合与实践的活 动，生活与百分数，让学生通过了解生活中各种理财方式，综合应用所学的 数学知识，解决真实的实际问题。 从小学会理财，在六年级上册的时候，我们学习了比的有关知识，在此 基础上，本册来学习比例的相关知识，通过比例的学习，初步渗透函数思 想，建立代数思维，为中学学习函数的相关知识奠
4、定必要的基础。本册教材 的主要任务是使学生理解比例的意义和基本性质，掌握正比例反比例的意 义，会用比例的知识解决一些简单的实际问题，例如会用比例尺解决问题， 会把一个图形在方格纸上放大或缩小，以及会用比例的方法来解决归一归总 问题。紧接着比例单元教材也安排了一个综合与实践的活动。 自行车里的数学让学生通过探究自行车中前后齿轮齿数和转数之间的关 系，体会比例知识在生活中的广泛应用。本册中图形与几何的内容只有一个 单元，认识圆柱与圆锥。在六年级上册我们学习了平面图形圆，本册学习立 体图形、圆柱和圆锥，也为中学进一步学习铸锥台等立体图形的相关知识打 下基础。这一单元的主要任务，综合与实践的活动，自行
5、车里的数学，让学 生通过探究自行车中前后齿轮齿数和转数之间的关系，体会比例知识在生活 中的广泛应用，本册中图形与几何的内容只有一个单元，认识圆柱与圆锥。 在六年级上册我们学习了平面图形圆，本册学习立体图形、圆柱和圆 锥，也为中学进一步学习铸锥台等立体图形的相关知识打下基础。这 1 单元 的主要任务是学生在已有知识和经验的基础上，进一步认识圆柱和圆锥，了 解圆柱、圆锥的特征，掌握圆柱表面积以及圆柱圆锥体积计算的基本方法， 并能够解决简单的实际问题，进一步发展空间观念。本册的数学广角通过抽 屉原理的介绍，使学生初步理解利用枚举、推理等方法进行数学证明的原 理，并通过辨别大量实例中抽屉，什么是放入抽
6、屉的东西，进一步体会数学 推理、数学建模的思想。 本学期是小学阶段的最后一个学期，本册教材的最后一个单元仍然安排 了整理和复习，对小学阶段所学的主要内容进行系统的整理和复习，为中学 的数学学习做好必要的准备，实现良好的中小衔接，使学生通过深入理解知 识间的内在联系，形成更为完善的知识网络，进一步巩固基本的数学知识， 提高基本的数学技能，掌握基本的数学思想，积累基本的数学活动经验。整 理和复习基本是按照课程标准所规定的数与代数、图形与几何、统计与概 率、综合与实践这 4 个领域进行分别的梳理。除此之外，为了突出数学思想 和方法的培养，教材还特意编排了一个数学思考的板块，引导学生通过数学 探索，受
7、到数学思想和方法的熏陶，形成探索解决数学问题的兴趣，逐步发 展数学思维能力，提高数学素养。 好了，本次教材的主要内容和整体编排，我们就简单的介绍到这儿。再 见。 各位老师大家好，下面我们对第 1 单元负数的整体编排情况做一个简要 的介绍。在前面 5 年半的学习中，关于数与代数，我们学习的内容主要是关 于整数、小数、分数的认识和计算，仅仅局限于非负有理数范围，到了初中 数系将由非负有理数逐步扩展到有理数实数范围。因此在六年级下册安排负 数的初步认识，有利于中小衔接，为中学学习有理数的意义和运算打下良好 的基础。 由于负数在日常生活中的应用比较广泛，学生也经常有机会接触到负 数，学习一些负数的知识
8、，有助于他们理解生活中负数的具体含义，拓宽数 学视野，提高数学应用能力。本单元一共编排了三道例题，例一，介绍了温 度中的负数，例二介绍了存折中的负数，用正数和负数来表示零上温度和零 下温度，存折上资金的存入金额和支出金额，这些都是学生相对熟悉的生活 实例，有助于学生更好的理解复数的现实含义。在这些例子中，都是用正数 和负数来表示两个意义相反的量，正数表示零上温度，那么负数就表示零下 温度。 正数表示存入，那么负数就表示支出。在此基础上，用描述性定义的方 式归纳概括出什么样的数是正数，什么样的数是负数？以及正负数的读写 法，并指出零和正数负数之间的关系也就水到渠成了。在此基础上，让学生 回忆生活
9、中还见过哪些负数？使学生认识到负数在日常生活中的广泛应用， 在相关的练习中也给出了生活中负数的一些实例。使学生通过这些具体例子 进一步深入理解，可以用正负数来表示两种相反意义的量。那么对于复数产 生和发展的历史，教材上也通过提供阅读材料的方式，使学生在学习数学知 识的同时，了解数学发展历史，增进数学文化。 第三是以生活情境为背景，在直观的基础上逐步抽象，使学生认识含有 正数和负数的直线，也就是数轴初步理解，可以用零正数负数来表示数轴上 的点，为中学正式学习、数轴、直角坐标系等知识做准备。教材通过向西走 多少米，向东走多少米，这一表示距离和方向的实际问题，把实际情境中的 向东和向西这两个意义相反
10、的描述与正负数可以表示相反意义的量，建立起 联系，将生活情境数学化，并用数形结合的方式，使学生把起点、行走方 向、行走距离等生活概念，了解数学发展历史，增进数学文化。 第三是以生活情境为背景，在直观的基础上逐步抽象，使学生认识含有 正数和负数的直线，也就是数轴。初步理解可以用 0 正数负数来表示数轴上 的点，为中学正式学习、数轴、直角坐标系等知识做准备。教材通过向西走 多少米，向东走多少米，这一表示距离和方向的实际问题，把实际情境中的 向东和向西这两个意义相反的描述与正负数可以表示相反意义的量，建立起 联系，将生活情境数学化，并用数形结合的方式，使学生把起点、行走方 向、行走距离等生活概念和数
11、轴上的点以及相应的数之间建立起一一对应关 系。 在数轴这一直观模型中，零表示正负数的交界点。郑浩宇负号表示相反 的方向，正负号后面的数值表示某个点到零点之间的距离，一目了然，为了 不增加难度，教材没有使用数轴这样的抽象名词，而是用已有名词直线来表 示。实际上学生在前面学习整数小数分数的认识的时候，已经接触过数轴这 直观模型，只是那时候都是从零向右无限延伸，那么在这儿进一步扩展为还 可以向左无限延伸，为中学的学习打下基础。在教学本单元知识的时候，需 要注意把握好教学的度。 作为中学学习有理数的过渡，小学阶段只要求学生能在具体的情境中理 解复数的意义，初步建立复数的概念。这里不出现正负数的数学定义
12、，只是 结合具体实例，描述什么样的数是正数？什么样的数是负数？只要求学生能 辨认政府书，关于数轴的认识，也没有给出严格的数学定义，只是通过直观 性的描述，让学生借助已有的在直线上表示正数和 0 的经验迁移，类推到负 数，能把数轴上的点和相应的正数 0 和负数建立起一对应关系就可以了。那 么以下是本单元的教学目标，重点是使学生了解熟悉的生活情境中的正负 数，以及数轴上的正负数所表示的实际含义。 好了，关于复述这一单元它的整体编排情况，我们就介绍到这儿，再 见。 各位老师大家好，下面我们对第 2 单元百分数（二）的整体编排情况做 一个简单的介绍。本单元内容是六年级上册百分数（一）的延续，通过上学
13、期的学习，学生理解了百分数的意义，并且会解决一般性的百分数实际问 题。本单元在此基础上继续学习百分数在生活中的特殊应用，主要包括折 扣、陈述、税率、利率 4 个方面。通过这些和生活实际密切相关的知识的学 习，使学生进一步了解百分数与现实生活的紧密联系，同时提升灵活应用数 学知识解决实际问题的能力。 打折问题是学生和家长一起购物时经常遇到的实际问题。教材首先让学 生了解达几折，表示什么意思？并通过例一让学生尝试解决两类打折问题， 立法他的喉头都第 1 类是求打折后的价钱。第 2 类是求打折以后比原价便宜 了多少钱？这两类问题的数量关系，实际上就是六年级上册所学的求一个数 的百分之几是多少，以及求
14、比一个数少百分之几的家长，一起购物时经常遇 到的实际问题。教材首先让学生了解答几折表示什么意思？并通过例一让学 生尝试解决两类打折问。 第 1 类是求打折后的价钱，第 2 类是求打折以后比原价便宜了多少钱。 这两类问题的数量关系，实际上就是六年级上册所学的求一个数的百分之几 是多少，以及求比一个数少百分之几的数是多少？只要我们能够顺利的把折 扣转化成相应的百分数，那么就可以利用已有的知识自行解决这样的问题。 陈述问题也是类似的编排方式。首先让学生了解几层的含义，在通过例二解 决诸如求一个量增加几成，减少几成以后是多少的实际问题，也就是求比一 个数多或少百分之几的数是多少？ 在缴税问题中，应纳税
15、额等于收入中应纳税部分乘上税率，因此基本的 数量关系还是求一个数的百分之几是多少？教材上所举的例子，也是最基本 的情况。但是在现实生活中，有时候会遇到更复杂一些的情形，首先是需要 确定应纳的税种，税种包括消费税、增值税、营业税、个人所得税等很多 种，每个税种所对应的税率是不同的，其次是需要确定收入中应纳税部分是 多少，有的时候并不是所有的收入都需要纳税。例如做一做中收入中 3500 元 是免征个人所得税的，而剩下的 1500 元需要按照 3%的税率缴纳个人所得税。 第三，征税的时候，不同的收入部分所对应的税率是不同的，这个和阶 梯水价的原理很相似。例如下面就是个人所得税的税率表，因此我们可以看
16、 到在实际生活中，人们在计算应纳税额时，所面临的主要问题来自于现实情 形的复杂性，也就是说一个数的百分之几，中间的一个数和百分之几不是很 容易确定的。在计算利息的时候情况也比较复杂。在计算利息的公式中，影 响利息的变量除了本金利率以外，还增加了一个存期，而存期和利率又是相 互影响的，例如存活期和损定期的利率是不同的。 存定期的时候，存三个月、6 个月、亿年、两年、三年，利率又各不相 同，而表中给出的都是年利率，因此存期也都要折算成以年为单位。例如三 个月就是 0.25 年或者说 1/4 年 6 个月就是 0.5 年，或者说 1/2 年，如果存期 要用三个月或 6 个月中的 3 或 6，那么相应
17、的年利率就要转化成月利率，也就 是说用年利率除以 12，不能。教材上的例题和练习题都是计算存期到期时所 得利息相对比较简单，而在现实生活中有时到期后还需要续存，那么利息的 计算就会更加复杂了。 在本单元的最后，教材又编排了一个购物中的实际问题，其中涉及到满 100 元减 50 元的打折方式，那么学生还可以举出一些生活中更多的促销方 式，比如说满多少返多少，买几件送一件。教学的时候要引导学生理解这些 促销方式的数学含义，并灵活的解决问题。以下就是本单元的教学目标，重 点是使学生在理解折扣、陈述税率、利率的具体含义的基础上，其中涉及到 满 100 元减 50 元的打折方式，那么学生还可以举出一些生
18、活中更多的促销方 式，比如说满多少返多少，买几件送一件。 教学的时候要引导学生理解这些促销方式的数学含义，并灵活的解决问 题。以下就是本单元的教学目标，重点是使学生在理解折扣、陈述税率，利 率的具体含义的基础上，利用已有的知识进行迁移、类推，解决生活中的实 际问题。好了，本单元的整体编排，我们就简单的介绍到这儿，再见。 各位老师好，下面我们对第 3 单元圆柱与圆锥的整体编排情况做一个简 要的介绍。在五年级下册的时候，我们学习了立体图形、长方体和正方体。 在六年级上册我们又学习了曲线、平面图形、圆，这两部分知识是学习本单 元知识的重要基础。 而圆柱和圆锥的学习又为中学学习一般性的铸、锥、台等立体
19、图形奠定 良好的基础。本单元包括两个小节，第 1 个小节是圆柱，包括圆柱的认识， 圆柱的表面积和圆柱的体积。第二小节是圆锥，包括圆锥的认识和圆锥的体 积。首先来看圆柱的认识，教材从生活中的圆柱形食物引入，剔除这些食物 的物理属性，得到援助的直观模型，这个体现了数学抽象的过程。例 1 是认 识圆柱各部分的名称，了解圆柱的特征，使学生发现圆柱的底面是两个大小 相同的圆，而圆柱的侧面是一个曲面，并通过以长方形的长或宽为旋转轴， 旋转出原着的数学活动，感受点旋转成线，线成面，面旋转成体的过程。 再做一做的第 2 题中，使学生发现分别以长方形的长和宽为旋转轴，会 得到两个形状不同的圆柱，进一步体会在这一
20、过程中旋转的平面和得到的立 体之间的联系，培养学生的空间想象能力。例 2 是通过操作活动研究圆柱的 侧面展开图，使学生再次感受立体与平面之间的关系，并通过自主探究发现 侧面展开的长方形与底面半径圆柱的高之间的联系，有了例二做为基础，结 合之前我们所学的长正方体表面积的概念，例三再来研究圆柱的侧面积表， 面积的计算就容易多了。 首先要明确表面积包括哪几部分？再看这几部分应该怎样计算？只要知 道圆柱的底面半径和高侧面积可以通过底面的周长乘上高球得，而两个底面 的面积都可以通过圆的面积计算公式求出来。第四是应用表面积的计算解决 简单的实际问题。在解决实际问题时需要考虑要求的是哪几部分的面积？结 果取
21、近似值时采用进一法还是去违法，也应考虑实际的需要。例 5 是教学圆 柱体积计算公式的推导，由于圆柱的底面是圆，教学时可以引导学生联想圆 面积公式的推导过程，由平面迁移到立体，将圆柱的体积转化为长方体的体 积。 在探索圆柱的底面高和长方体的底面高之间关系的基础上，自行推导出 圆柱体积的计算公式。在这一过程中，学生对类比的思想、化曲为直的思 想，极限的思想，有了进一步的理解和掌握。例 6 是圆柱体积计算公式的基 本应用。第七，通过一个有趣的数学问题，使学生经历发现和提出问题，分 析和解决问题的完整过程，利用等积变形的原理，将不规则图形转化成规则 图形，巧妙的求出瓶子的容积，通过问题解决，进一步掌握
22、转化的思想和方 法，提高问题解决策略。 关于圆锥的认识，在编排结构上几部分的面积，结果取近似值时，在这 一过程中，学生对类比的思想、化曲为直的思想，极限的思想，有了进一步 的理解和掌握。例 6 是圆柱体积计算公式的基本应用。第七，通过一个有趣 的数学问题，使学生经历发现和提出问题分析和解决问题的完整过程，利用 等积变形的原理，将不规则图形转化成规则图形，巧妙的求出瓶子的容积， 通过问题解决，进一步掌握转化的思想和方法，提高问题解决策略。关于圆 锥的认识，在编排结构上基本和原著的认识是一致的，也是由食物抽象出圆 锥的直观模型。 例一编排圆锥的特征以及圆锥高的测量方法。同样教材也设计了一个以 直角
23、三角形的直角边为旋转轴得到圆锥的操作活动，引导学生发现三角形的 两条直角边与圆锥底面半径和高之间的关系。发展空间观念，圆锥的体积计 算受知识所限，只能利用不完全严格的实验方式来加以推倒，使学生通过倒 水或者到沙子的实验，发现圆锥体积和等底等高的圆柱体积之间有一定的关 系，进而推导出圆锥体积计算公式。第三是利用圆锥的体积计算解决实际问 题，加深对圆锥体积计算公式的理解。 以下是本单元的教学目标，最为重要的是要让学生了解圆柱和圆锥的特 征，掌握圆柱的表面积计算方法，会推导圆柱和圆锥的体积计算公式，并且 会应用圆柱表面积计算方法和圆柱圆锥的体积计算方法，解决一些实际问 题。在公式推导和应用的过程中，
24、加强知识之间的内在联系，进一步发展空 间观念，理解和掌握转化推理极限变中有不便等数学思想和方法。好了，关 于圆柱和圆锥这一单元的整体编排情况，我们就介绍到这儿，再见。 各位老师大家好，下面我们对第 4 单元比例的整体编排情况做一个简要 的介绍。 在六年级上册，我们已经学习了比的有关知识，为学期学习比例的知识 做好了必要的准备。而在比例的学习中，又首次出现了变化的量的概念，一 个量随着另一个量的变化而变化，这个和函数中自变量、因变量的概念完全 是相同的。因此比例的学习是中学学习函数知识的重要基础。本单元包括三 个小节，分别是比例的意义和基本性质，正比例和反比例，比例的应用三个 部分，第 1 小结
25、包括比例的意义，比例的基本性质，解比例。第二小节包括 正比例和反比例。 第三小节包括比例尺、图形的放大和缩小，用比例解决问题。比例的意 义，教材采用的情境，依然延续了六年级上册学习比的时候所用的国旗的素 材，通过比较尺寸不同，但形状相同的国旗的长宽之比的比值，引出比例的 概念。在介绍比例的基本性质之前，教材首先让学生认识组成比例的各部分 名称，并引导学生通过计算一些比例的内项之积和外项之积，自行归纳出比 例的基本性质，比例的基本性质是解比例的重要依据。教材编排了两道解比 例的例题，分别代表了比例的两种形式，教材上提供的解比例方法都是利用 比例的基本性质来解，这也是最基本的方法。 但实际上学生也
26、可以根据数据的特点，灵活的解比例，例如我们可以把 例一中的比例改写成分数的形式，这样的方程的右边就可以看成是 1/10，方 程两边同时乘上 320，同样也可以求出 X=32。如果说比例研究的还是树与树 之间的感，但实际上学生也可以根据数据的特点，灵活的解比例，例如我们 可以把例一中的比例改写成分数的形式，这样的方程的右边就可以看成是 1/10，方程两边同时乘上 320，同样也可以求出 X=32，如果说比例研究的还 是数与数之间的关系，那么到了学习这比例和反比例的时候，就慢慢转变为 研究量与量之间的关系。 虽然我们研究的都是以前学过的数量关系，如单价、数量和总价之间的 关系，底面积、高度和体积之
27、间的关系，但是和之前关注算数的计算不同， 现在我们更加关注量与量之间的变化关系，因此培养的是一种研究量与量之 间互相依存关系的代数思维。我们首先来看正比例的编排，教材通过购买彩 带的实际情境，使学生首先发现总价随着数量的变化而变化，再进一步通过 数学的方式来刻画这种变化关系，及对应的总价与数量之间的比值是一定 的，进而给出正比例关系的概念。 也就是当两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定的时候，我们就 把这两种相关联的量之间的关系叫做正比例关系。在此基础上给出正比例关 系的字母，表示是还介绍了正比例关系图像，使学生了解图像的生成过程， 认识图像的结构和特征，并会根据图像解决简单的问题。例如在
28、图像上直接 利用彩带的数量得到彩带的总价，根据总价得到相应的数量。在学生了解了 正比例关系的概念之后，教材让学生自己举出正比例关系的例子，引导学生 通过回忆以前所学的各种数量关系以及数学规律，对正比例关系产生更为本 质的更为深入的理解。 反比例关系的编排结构和正比例关系基本一致，教材根据体积相等的水 的底面积和高之间的关系，引出反比例关系的概念，给出相应的字母，表示 是并让学生举出反比例关系的实例，而反比例关系的图像由于难度比较大， 只是作为阅读的材料，关于比例的应用，最常见的是用比例尺解决实际问 题。教材首先给出比例取的概念，然后介绍了数值、比例尺和线段比例尺互 相转化的方法。接下来用三道例
29、题，分别介绍了比例尺的三类应用。例一是 已知图上距离实际距离求比例取例 2 是已知图上距离和比例尺，求的是实际 距离。 第三是画平面图，本质上是已知实际距离和比例尺来求图上距离。比例 的第 2 类应用是图形的放大和缩小，前面我们学习了轴对称、平移、旋转， 这些都是图形的全等变换，而图形的放大和缩小是图形的相似变换，这些内 容的学习可以为中学继续学习图形的全等和相似打下良好的基础。教材首先 从生活中的放大或缩小现象引入，使学生认识到数学和生活的紧密联系。例 4，编排几何图形，按一定的比放大或缩小。首先以图形放大为例，让学生了 解按一定的比放大是什么意思？ 尝试画出放大以后的图形，再来观察放大前后
30、的图形之间什么变了？什 么没变？从而理解相似变化的本质。最后再让学生自己尝试画一画，按其他 的比放大或缩小以后的图形，进一步掌握将图形放大或缩小的方法，最后是 用比例的方法解决以前曾经解决过的归一问题和归总问题。教材在编排时， 特意把以前所用的方法和比例的方法同时呈现，其目的就是使学生明白，同 一个问题，可以从不同的角度来思考和解决。我们以 live 为例，两种方法运 用的数量关系都是相同的，也就是水的总价处于用水量，等于水的单价。 但过去所用的方法是从数的角度思考，因此要先求出水的单价，而比例 的方法是从量的角度思考，由于单价一定，因此总价和用水量呈正比例关 系，也就是相对应的总价和用水量的
31、比值相等。从这样的角度来解决问题， 可以大大提升学生的代数思维。以下是本单元的教学目标，最为重要的是要 让学生理解比例的意义，会运用比例的基本性质解比例，理解正比例关系。 教材首先从生活中的放大或缩小现象引入，使学生认识到数学和生活的紧密 联系。例 4，编排几何图形，按一定的比放大或缩小。 首先以图形的放大为例，让学生了解按一定的比放大是什么意思？尝试 画出放大以后的图形，再来观察放大前后的图形之间什么变了？什么没变？ 从而理解相似变换的本质。最后再让学生自己尝试画一画，按其他的比放大 或缩小以后的图形，进一步掌握将图形放大或缩小的方法，最后是用比例的 方法解决以前曾经解决过的归一问题和归总问
32、题。教材在编排时特意把以前 所用的方法和比例的方法同时呈现，其目的就是使学生明白，同一个问题可 以从不同的角度来思考和解决。 我们以 live 为例，两种方法运用的数量关系都是相同的，也就是水的总 价除以用水量等于水的单价。但过去所用的方法是从数的角度思考，因此要 先求出水的单价。而比例的方法是从量的角度思考，由于单价一定，因此总 价和用水量呈正比例关系，也就是相对应的总价和用水量的比值相等。从这 样的角度来解决问题，可以大大提升学生的代数思维。以下是本单元的教学 目标，最为重要的是要让学生理解比例的意义，会运用比例的基本性质解比 例，理解正比例关系和反比例关系的意义，会利用比例的知识解决一些
33、实际 问题，逐步建立代数思维。 好了，关于比例这一单元的整体编排情况，我们就简单的介绍到这儿。 各位老师大家好，下面我们对第 5 单元数学广角的整体编排情况做一个 简要的介绍。本单元主要介绍了鸽巢问题、鸽巢问题它背后所包含的原理， 我们称之为抽屉原理。最简单的抽屉原理指的是这样一种情况，把三个苹果 放到两个抽屉里，只存在两种情况，要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一 只抽屉里放一个苹果，要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一只抽屉里没有 苹果。 这两种情况我们可以用一句话加以概括，一定存在一只抽屉，里面放入 了两个或两个以上的苹果。如果将上述问题中的苹果换成鸽子，将抽屉换成 鸽巢，抽屉问题就成了鸽巢
34、问题。不管是往抽屉里放苹果，还是鸽子飞进鸽 巢，结论都是相同的。由此可见，抽屉原理实际上是一种解决某种特定结构 的数学问题或生活问题的数学模型，他也被广泛的应用于现实生活。最早指 出数学原理的是 19 世纪的德国数学家狄里克雷，因此这个原理也被称为狄里 克雷原理，抽屉原理包括三种基本的情形。 第 1 种，把 M 的物体任意分放进 N 个空抽屉里，只要 M 大于 N 并且 N 是 一个非零自然数，那么一定有一个抽屉中放进了至少两个物体。第 2 种把多 余 KN 个物体任意分放进 N 个空抽屉里。这里 K 是正整数，那么一定有一个抽 屉中放进了至少 K 加一个物体。第 3 种，把无限多个物体任意的
35、分放进有限 的空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了无限度的物体。本单元一共编排了 三道例题，例一是把 4 只铅笔放进三个笔筒的情况，例 2 是把 7 本书放进三 个抽屉的情况。 这两种情况分别属于前面提到的第 1 种情形和第 2 种情形。第三是抽屉 原理的逆向应用。在正式教学例题之前，教材首先安排了一个数学游戏，通 过用扑克牌表演魔术，一方面引起学生浓厚的学习兴趣，另一方面引导学生 探究魔术背后究竟隐藏着一个什么样的数学秘密，从而引出单元的内容。第 一从题目上可以看到，和以前出示问题情境，让学生列式计算或列方程解答 所不同。本例是给出条件和结论，让学生回答为什么？也就是说本利要解决 的是一个数学
36、证明的事情。 这样的数学证明学生到了中学会经常遇到，对于培养学生的逻辑推理能 力至关重要。因此在本册编排抽屉原理，对于做好中小衔接是非常有意义 的，在证明之前。首先需要理解要证明的命题是什么意思？在这里总有一个 笔筒里至少有两支铅笔中的总有和至少是两个关键词，总有指的是存在性， 也就是总是存在这样一个笔筒，至于是哪个币种我们并不关心，而至少指的 是在运气最差的情况下，也能存在一个有两只铅笔的笔筒。教材中给出了两 种证明的方法，一种是用枚举的方法把所有可能的情况都罗列出来，发现每 种情况都能满足结论，另一种是假设法，使每个笔筒里的铅笔数量尽量的 少，也就是在运气最差的情况下，依然还有一个笔筒里有
37、两支铅笔，这种方 法其实是反证法的雏形。 通过例一和做一做，可以引导学生得到一般性的结论，只要物品的数量 比抽屉数量多，把这些物品放进抽屉里，总有一个抽屉里至少有两个物品。 例二呈现了抽屉原理的第 2 种情形，也就是把多余 KN 个物体任意分放进 N 个 空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少 K 加一个物体，教材从 7 本书 放进三个抽屉的情境引入，学生仍然可以采用枚举假设等方法加以证明。但 随着抽屉数量的增多，枚举法就显得比较繁琐。而用假设法能够比较简洁的 说清楚道理。 教材有余数、除法、算式，73=2，余一引导学生更数学化的理解假设 法的核心思路，在此基础上又进一步提出问题。如果有 8
38、 本书会怎么样？如 果有 10 本书让学生通过归纳推理得到一般性的结论，形成一般性的数学模 型。而第三是抽屉原理的逆向应用，首先学生必须具备把摸球问题和抽屉问 题建立起联系的意识和能力，这就需要学生对抽屉问题这一数学模型有比较 深入的理解，才能够把红色和蓝色看成是两个抽屉，把要摸的球看成是要放 入抽屉的物品，从而把摸球问题转化成抽屉问题，但学生在寻找摸球问题中 的抽屉模型时往往会遇到困难。 因此教材上也呈现了学生容易出现的典型问题。最后，教材在解决从 4 个红球和 4 个篮球中摸出两个同色的球的基础上，进一步推广。指出只要摸 出的球比它们的颜色种数多，一，就能够保证有两个球同色，而和每种颜色
39、的球的个数无关，使学生再次体会和理解抽屉原理的本质。本单元的练习中 涉及了许多实际问题，如何使学生发现这些问题和抽屉原理之间存在着相同 的数学模型？找到这些问题中的抽屉是什么？要放入抽屉的物品是什么？是 我们教学中需要着力解决的问题。 以下是本单元的教学目标，最重要的是要让学生通过抽屉原理的学习， 初步经历数学证明的过程，理解和掌握逻辑推理、数学模型等思想和方法。 关于数学广角的整体编排，我们就简单的介绍到这，再见。 各位老师大家好，下面我们对第 6 单元整理和复习的整体编排情况做一 个简要的介绍。在小学的数学学习即将结束的时候，对小学阶段分散学习的 知识点串成之实现，再进一步构建成知识及即将
40、结束的时候，对小学阶段所 学的数学内容进行一次系统全面的回顾与梳理，进一步沟通知识之间的联 系，使原来分散学习的知识点串成之知识线，再进一步构建成知识网络，有 助于学生融会贯通地理解数学的基础知识，提高数学的基本技能，深入感悟 数学的基本思想，在探索的过程中进一步积累数学的基本活动经验，同时对 于培养学生的应用意识，全面提高学生综合运用所学知识发现和提出问题， 分析和解决问题的能力也是非常有益的。因此本单元内容不仅是本册教科书 的重要内容，也是全套小学数学教材的一个重要组成部分。为了便于教师引 导学生进行系统的整理和复习，本单元根据课标划分的学习领域，对数与代 数、图形与几何、统计与概率、综合
41、与实践的内容分别进行复习。 除此之外，为了突出数学思想和方法的渗透，教材特意编排了一个数学 思考的板块，数与代数，从数的认识、数的运算式、与方程比、和比例 4 个 方面来进行复习。图形与几何，从图形的认识与测量、图形的运动、图形与 位置三个方面来进行复习。第一小节是关于数与代数的整理和复习，首先来 看树的认识。教材通过伦敦奥运会上的相关信息引入，这一信息中囊括了小 学阶段所学过的所有类型的数，在此基础上再通过六道例题，由点及面的对 数的认识的相关知识点进行整理复习。 例如对所学过的数的关系结构表进行整理，对在数轴上表示数的方法进 行巩固，对数位顺序表的相关知识进行梳理，引导学生用具体的方式对抽
42、象 的数进行表征，既培养了学生的数感，又提高了学生对数的应用能力。数的 运算，教材分别对运算的意义、运算的法则、四则运算之间的关系、混合运 算的顺序、运算定律、估算策略、利用运算的意义、解决实际问题等方面进 行了复习，帮助学生加深对运算的理解，提高运算的能力。式与方程教材着 重从用字母表示数量，数量关系、计算公式、运算定律等方面，对小学阶段 含有字母的式子进行了梳理，尤其是用代数式表示数量之间的关系式，列方 程解决问题的必要基础比和比例。 教材首先让学生回忆比和比例的意义，各部分名称、基本性质，了解比 和比例的联系与区别，并进一步加强比和分数除法之间的联系，突出数学知 识的内在本质，在此基础上
43、再通过举例的方式，对正比例关系和反比例关系 进行复习，我们再来看第二小节，图形几何的整理和复习。首先是图形的认 识和测量，对于小学阶段所学过的所有平面图形和立体图形进行分类、整 理，可以帮助学生巩固图形的特征，并对图形之间的内在联系进一步加深理 解，而对图形周长、面积、体积计算、公式、推导过程的回忆，除了使学生 牢固掌握利用相关公式解决实际问题的方法以外，还可以使学生进一步体会 图形之间的内在联系。 图形的运动，把轴对称、平移、旋转和图形的放大与缩小进行综合复 习，使学生进一步巩固全等变换和相似变换的特点，并且能够应用图形的运 动进行图案设计。图形与位置，教材例用同一个素材，通过用数对以及用方
44、 向和距离两种不同的方法来表示平面上点的位置，使学生在巩固这两种表示 位置的方法的基础上，进一步理解这两种方法的联系与区别。第三小节是统 计与概率的复习。教材首先通过回忆的方式，梳理和回顾统计与概率的若干 知识点，以及不同统计图的特点和适用性。 在以三个不同的实例，分别对数据的收集和整理，数据的呈现方式、数 据的分析，可能性的应用等方面进行了复习巩固。第四小节是数学思考的复 习教材，通过 4 个具体的案例，使学生进一步体会数学思想方法对于解决数 学问题的重要性利益，通过若干个点之间最多可以连多少条线段这一问题的 探究、经历、发现数学规律、应用数学规律的过程，理解和掌握化繁为简、 归纳推理等数学
45、思想和方法，体会数学规律的强大力量。例 2、例 3、例 4， 都是让学生利用演绎推理的思想和方法解决数学问题，使学生初步学会论理 的方法，在数学的学习中逐步培养起实事求是、凡事讲理的理性精神。 最后是综合与实践的复习教材，通过 4 个具体的综合与实践的活动，使 学生学会综合运用所学知识，去解决现实生活中的问题，提高学生的应用意 识，发展学生的创新意识和实践能力。由于活动的主体是六年级的学生，和 以前的综合与实践活动相比，这 4 个活动的综合性和实践性也更为显着。通 过这 5 个方面的整理和复习，相信学生会拥有更完善的数学知识体系，更优 秀的数学能力水平，更深刻的数学思维品质，更丰富的数学活动经验，顺利 的实现从小学到中学的过渡。
