1、合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 考试要求 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体 会合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推 理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理 1合情推理：前提为真，结论可真可假 类型 定义 特点 归纳 推理 根据一类事物的部分对象具有某种特征， 推出这类事物 的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、 由 个别到一般 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 2.演绎推理：前提为真，结论必
2、为真 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推 理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理( ) (3)在类比时， 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 ( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确 (
3、) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知数列an中，a11，n2 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an的表达式是( ) Aan3n1 Ban4n3 Cann2 Dan3n 1 C a11，a24，a39，a416，猜想 ann2. 2“因为指数函数 yax是增函数(大前提)，而 y 1 3 x 是指数函数(小前提)， 所以函数 y 1 3 x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A大前提错误导致结论错误 B小前提错误导致结论错误 C推理形式错误导致结论错误 D大前提和小前提错误导致结论错误 A “指数函数 yax是增函数”是本推理
4、的大前提，它是错误的因为实数 a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的 3如图有面积关系： SPAB SPAB PAPB PA PB ，则由图有体积关系：VP- ABC VP- ABC . 图 图 PAPBPC PA PB PC 平面上的面积可类比到空间上的体积 VP- ABC VP- ABC 1 3 SPAB h 1 3 SPAB h PAPBPC PA PB PC . 4在等差数列an中，若 a100，则有 a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若 b91，则存在的等式 为 b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*) 利用类比推理，借
5、助等比数列的性质， b 2 9b1n b17n， 可知存在的等式为 b1b2bnb1b2b17n(nb0)外，过点 P0 作该椭圆的两条切线， 切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2所在直线的方程为x0 x a2 y0y b2 1.那么对于双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为 (1)A (2)x0 x a2 y0y b2 1 (1)由题意结合所给的例子类比推理可得32xx(x 0)，整理得(x1)(x3)0，则 x3，x1(舍)，即3232 3，故 选 A (2)若点 P0(x0，y0)在双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)外，过
6、点 P0 作该双曲线的两条 切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2所在直线的方程为x0 x a2 y0y b2 1. 点评：类比推理的关键是找到合适的类比对象，推理的一般步骤为：先找出 两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质， 得出一个明确的命题(猜想) 跟进训练 在平面几何中， 若正方形 ABCD 的内切圆面积为 S1， 外接圆面积为 S2， 则S1 S2 1 2，推广到立体几何中，若正方体 ABCD- A1B1C1D1 的内切球体积为 V1，外接球体 积为 V2，则V1 V2 . 3 9 正方形 ABCD 的内切圆的半径为 r1， 外接圆的半径为
7、r2， 半径比r1 r2 1 2， 面积比为半径比的平方， S1 S2 1 2，正方体 ABCD- A1B1C1D1 的内切球的半径为 R1，外 接球的半径为 R2，半径比R1 R2 1 3，所以体积比是半径比的立方， V1 V2 3 9 . 考点三 逻辑推理题 假设反证法解决逻辑推理问题：先假设题中给出的某种情况是 正确的，并以此为起点进行推理如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的， 再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止 典例 3 甲、乙、丙三位考生参加某高校自主招生测试，共有 A，B，C，D， E 五道题目，测试结束后三人得到如下信息：(1)本次测试中没有一道题目三人都
8、做对，但是每道题至少有一人做对；(2)第三道题只有一人做对；(3)甲只做对了前 三道题；(4)只有乙做错了第一题，乙做对的题目不相邻；(5)丙连续做错了三道题 从以上信息中可以判断丙连续做错的三道题是 B，C，D 由“甲只做对了前三道题”得出下表的第二行；由“第三道题只 有一人做对”得出下表的第四列；由“只有乙做错了第一题”得出下表的第二列 如果丙做对 B，则乙做错 B， 易知丙后三道题都做错， 则乙做对 D 和 E， 这与“乙做对的题目不相邻”矛盾， 所以丙做错 B，C，D，如下表故填 B，C，D A B C D E 甲 对 对 对 错 错 乙 错 对/错 错 对 错 丙 对 错 错 错 对
9、 点评：本题是给出多种条件的推理题，用表格的形式直观、形象、鲜明地呈 现出来，便于解题从易判定的条件出发，逐个填满表格，筛选、假设、归纳贯 穿其中，能有效考查学生的逻辑推理能力 跟进训练 1甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动甲说：“乙去我就肯定去” 乙说：“丙去我就不去”丙说：“无论丁去不去，我都去”丁说：“甲、乙 中只要有一人去，我就去”以下推论可能正确的是( ) A乙、丙两个人去了 B甲一个人去了 C甲、丙、丁三个人去了 D四个人都去了 C 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以 A，D 不可能正确因 为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以 B 不可能正确故选 C 2在“一带
10、一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由 高到低的次序为( ) A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 A 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低， 故 3 人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符 合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即 丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选 A 3甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不 会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的 是 乙 假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设 乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意；假设丙会，那么乙、 丙说的都是真话，与题意矛盾故答案是乙
