1、双曲线双曲线 考试要求 1.了解双曲线的实际背景， 了解双曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、 对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.理解数形结合思想. 4.了解双曲线的简单应用 1双曲线的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数 2a(2a0，c0. 当 2a|F1F2|时，M 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，x
2、R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，) 性质 实、虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线 段 B1B2叫做双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|2b； a 叫做 双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关 系 c2a2b2(ca0，cb0) 3.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程 可写作：x2y2(0) (2)等轴双曲线离心率 e 2两条渐近线 y x 相互垂直
3、常用结论 1双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ac，|PF2|minca. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ，异 支的弦中最短的为实轴，其长为 2a. (4)设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为b 2 a2. (5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、 右焦点，则 SPF 1F2b 2
4、 1 tan 2 ，其中 为F1PF2. 2巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 x2 a2 y2 b2 t(t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 mx2ny21(mn0) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0， 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线 ( ) (2)方程x 2 m y2 n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (3)双曲线 x2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20，即 x m y n0. (
5、 ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1以椭圆x 2 4 y2 31 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( ) Ax2y 2 31 Bx 2 3y 21 Cx2y 2 21 Dx 2 4 y2 31 A 设所求的双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，由椭圆 x2 4 y2 3 1，得椭圆 焦点为( 1,0)， 在 x 轴上的顶点为( 2,0) 所以双曲线的顶点为( 1,0)， 焦点为( 2,0). 所以 a1，c2，所以 b2c2a23，所以双曲线标准方程为 x2y 2 31. 2经过点
6、A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 x2 8 y2 81 设等轴双曲线的方程为 x2y2(0) 由题意得 91，8. 即x 2 8 y2 81. 3若方程 x2 2m y2 m11 表示双曲线，则 m 的取值范围是 (，2)(1，) 因为方程 x2 2m y2 m11 表示双曲线，所以(2 m)(m1)0，即 m1 或 m2. 4双曲线 x2 24 y2 251 的实轴长为 ，离心率为 ，渐近线方 程为 10 7 5 y 5 6 12 x 双曲线 y2 25 x2 241 中 a5，b 224，c2252449， 实轴长为 2a10，离心率 ec a 7 5， 渐近线方程为
7、y 5 6 12 x. 考点一 双曲线的定义及其应用 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出 曲线方程 (2)在“焦点三角形”中， 当F1PF290 时， SPF1F2b2， 常利用正弦定理、 余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系 提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线， 还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支 典例 1 (1)已知双曲线 x2y 2 161 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4， 那么点 P 到另一个焦点的距离等于 (2)已知圆
8、 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 (3)已知 F1， F2为双曲线 C： x2y22 的左、 右焦点， 点 P 在 C 上， |PF1|2|PF2|， 则 cosF1PF2 . (1)6 (2)x2y 2 81(x1) (3) 3 4 (1)设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|4， 则|PF1|PF2|2，故|PF2|6 或 2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 c a 171，故|PF2|6. (2)如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和 B 根据两圆外切的条件，得
9、|MC1|AC1| |MA|，|MC2|BC2|MB|. 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大， 与 C1的距离小)，其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 81(x1) (3)因为由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2 2， 所以|PF1|2|PF2|4 2， 所以 cosF1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1| |P
10、F2| 4 2 22 2242 24 22 2 3 4. 母题变迁 1将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260 ”，则F1PF2的 面积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， 在F1PF2中，由余弦定理，得 cosF1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1| |PF2| 1 2， |PF1| |PF2|8， SF1PF21 2|PF1| |PF2| sin 60 2 3. 2将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“PF1 PF2 0”，则F1PF2的面 积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右
11、支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， PF1 PF2 0，PF1 PF2 ， 在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216， |PF1| |PF2|4， SF1PF21 2|PF1| |PF2|2. 点评：(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例 T(1)；(2)利 用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例 T(2) 跟进训练 1虚轴长为 2，离心率 e3 的双曲线的两焦点为 F1，F2，过 F1作直线交双 曲线的一支于 A，B 两点，且|AB|8，则ABF2的周长为( ) A3 B16 2 C12 2
12、 D24 B 由于 2b2，ec a3，b1，c3a， 9a2a21，a 2 4 . 由双曲线的定义知，|AF2|AF1|2a 2 2 ， |BF2|BF1| 2 2 ， 得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|) 2， 又|AF1|BF1|AB|8， |AF2|BF2|8 2， 则ABF2的周长为 16 2，故选 B 2已知 F 是双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF|PA|的最小值为 9 设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义，可知|PF|4|PF1|，所以 当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图象(图略)，可
13、知当点 A，P， F1共线时，满足|PF1|PA|最小，|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5，故所求 的最小值为 9. 考点二 双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a,2b 或 2c，从而求出 a2，b2，写出双曲线方程 (2)待定系数法：先确定焦点在 x 轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设 为 x2 m2 y2 n2(0)，再根据条件求 的值 1(2020 兰州诊断)经过点 M(2 3，2 5)且与双曲线x 2 3
14、y2 21 有相同渐近线 的双曲线方程是( ) A x2 18 y2 121 B x2 12 y2 181 C y2 18 x2 121 D y2 12 x2 181 D 设所求双曲线方程为x 2 3 y2 2(0)， 又双曲线过点 M(2 3，2 5)， 所以 6.即双曲线方程为 y2 12 x2 181，故选 D 2已知 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，P 为双曲线 上一点，PF2与 x 轴垂直，PF1F230 ，且虚轴长为 2 2，则双曲线的标准方程 为( ) Ax 2 4 y2 21 Bx 2 3 y2 21 Cx 2 4 y2 81 Dx2
15、y 2 21 D 由题意可知|PF1|4 3c 3 ，|PF2|2 3c 3 ，2b2 2，由双曲线的定义可得 4 3c 3 2 3c 3 2a，即 c 3a.又 b 2，c2a2b2，a1，双曲线的标准方 程为 x2y 2 21，故选 D 3经过点 P(3,2 7)，Q(6 2，7)的双曲线的标准方程为 y2 25 x2 751 设双曲线方程为 mx 2ny21(mn0) 9m28n1， 72m49n1， 解得 m 1 75， n 1 25. 双曲线方程为 y2 25 x2 751. 点评：结合题设条件，灵活选择双曲线的设法，可以快速求解双曲线的标准 方程 考点三 双曲线的几何性质 1.求双
16、曲线渐近线方程的方法 求双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)或 y2 a2 x2 b21(a0， b0)的渐近线方程的方法是令 右边的常数等于 0，即令x 2 a2 y2 b20，得 y b ax；或令 y2 a2 x2 b20，得 y a bx. 2求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求 a，b，c 的值，由c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后 转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 求双曲线的渐近线方程 典例 21 (1)(2018 全国卷)双曲线x 2 a2 y2 b
17、21(a0，b0)的离心率为 3， 则其渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy 2 2 x Dy 3 2 x (2)(2020 广州模拟)设 F1，F2分别是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、 右焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角的大小为 30 ， 则双曲线 C 的渐近线方程是( ) Ax 2y0 B 2x y0 Cx 2y0 D2x y0 (1)A (2)B (1)法一：(直接法)由题意知，ec a 3，所以 c 3a，所以 b c2a2 2a，即b a 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y b ax 2x. 法二：(公
18、式法)由 ec a 1 b a 2 3，得b a 2，所以该双曲线的渐近线 方程为 y b ax 2x. (2)假设点 P 在双曲线的右支上， 则 |PF1|PF2|6a， |PF1|PF2|2a， |PF1|4a，|PF2|2a. |F1F2|2c2a，PF1F2最短的边是 PF2， PF1F2的最小内角为PF1F2. 在PF1F2中，由余弦定理得 4a216a24c224a2ccos 30 ， c22 3ac3a20， e22 3e30，e 3，c a 3， c23a2，a2b23a2，b22a2，b a 2， 双曲线的渐近线方程为 2x y0，故选 B 点评：双曲线的渐近线的斜率 k 与
19、离心率 e 的关系： kb a c2 a21 e 21，或 ec a a2b2 a2 1k2. 双曲线的离心率 典例 22 (1)已知点 F 是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点，点 E 是 该双曲线的右顶点，过 F 作垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A(1，) B(1,2) C(2,1 2) D(1,1 2) (2)(2019 全国卷)设 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，O 为 坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|
20、OF|，则 C 的离心率为( ) A 2 B 3 C2 D 5 (1)B (2)A (1)若ABE 是锐角三角形， 只需AEF45 ， 在 RtAFE 中， |AF|b 2 a ，|FE|ac，则b 2 a ac，即 b2a2ac，即 2a2c2ac0，则 e2e 20，解得1e2，又 e1，则 1e2，故选 B (2)令双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的右焦点 F 的坐标为(c,0)， 则 c a2b2. 如图所示， 由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知， PQ 是以 OF 为直径的圆的直 径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP，则|OP|a，|OM|MP|c 2，
21、 由|OM|2|MP|2|OP|2， 得 c 2 2 c 2 2 a2， c a 2，即离心率 e 2. 故选 A 点评：解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形，多借助圆的几何性 质，挖掘出隐含条件，如垂直关系、线段或角的等量关系等 跟进训练 1若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则 该双曲线的离心率为( ) A 5 B5 C 2 D2 A 由题意可知 b2a， ec a 1b 2 a2 5，故选 A 2(2020 衡水模拟)已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，圆 C2：x 2y22ax 3 4a 20，若双曲线 C1
22、的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的 离心率的取值范围是( ) A 1，2 3 3 B 2 3 3 ， C(1,2) D(2，) A 由双曲线方程可得其渐近线方程为 y b ax，即 bx ay0，圆 C2：x 2y2 2ax3 4a 20 可化为(xa)2y21 4a 2，圆心 C2 的坐标为(a,0)，半径 r1 2a，由双 曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点， 得 |ab| a2b22b， 即c 24b2， 又知 b2c2a2，所以 c24(c2a2)，即 c24 3a 2，所以 ec a1，所以 双曲线 C1的离心率的取值范围为 1，2 3 3 . 3(2
23、020 安徽示范高中联考)如图，F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)的左、右焦点，过 F2的直线与双曲线交于 A，B 两点若|AB|BF1|AF1| 345，则双曲线的渐近线方程为( ) Ay 2 3x By 2 2x Cy 3x Dy 2x A 由题意可设|AB|3k，则|BF1|4k，|AF1|5k，则易得 BF1BF2，由双曲 线的定义可知|AF1|AF2|2a，则可得|AF2|5k2a，|BF2|8k2a，再根据双曲 线的定义得|BF2|BF1|2a，得 ka，即|BF1|4a，|BF2|6a，|F1F2|2c，在直 角三角形 BF1F2中，得 16a236a24c24(a2b2)，则b a2 3，双曲线的渐近线 方程为 y 2 3x，故选 A
