1、椭圆椭圆 考试要求 1.了解椭圆的实际背景， 了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、 离心率). 3.理解数形结合思想. 4.了解椭圆的简单应用 1椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 (2)集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0. 当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆； 当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2； 当 2ab0
2、) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性质 范围 axabyb bxbaya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0， A1(0， a)， A2(0， a)， B1( b)，B2(0，b) b,0)，B2(b,0) 离心率 ec a，且 e(0,1) a，b，c 的关 系 c2a2b2 常用结论 1点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x 2 0 a2 y20 b21. (2)点 P(x0，y0)在椭圆上x 2 0 a2 y20 b21. (3)点 P(x0，y0)在椭圆外x 2 0 a2 y20 b21
3、. 2焦点三角形 如图，椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形设 r1 |PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab 0)中： (1)当 r1r2，即点 P 的位置为短轴端点时， 最大； (2)Sb2tan 2c|y0|，当|y0|b，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最 大值为 bc. (3)ac|PF1|ac. (4)|PF1|aex0，|PF2|aex0. (5)当 PF2x 轴时，点 P 的坐标为 c， b2 a . (6)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos . 3椭
4、圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边 长，a2b2c2. 4已知过焦点 F1的弦 AB，则ABF2的周长为 4a. 5椭圆中点弦的斜率公式 若 M(x0，y0)是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点，则有 kAB kOMb 2 a2，即 kAB b2x0 a2y0. 6弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB|1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2 1 1 k2|y1y2| 1 1 k2 y1y224y1y2(k 为直线的斜率) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内与两个定点 F1，
5、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆 的长半轴长，c 为椭圆的半焦距) ( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (4)关于 x，y 的方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1 设 P 是椭圆 x2 25 y2 161 上的点， 若 F1， F2 是椭圆的两个焦点， 则|PF1|PF2| 等于( ) A4 B5 C8 D10 D 依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510. 2已知中心在原点的
6、椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于1 2，则椭圆 C 的 方程是( ) Ax 2 3 y2 41 Bx 2 4 y2 31 Cx 2 4 y2 21 Dx 2 4 y2 31 D 设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e1 2，所以 c1， c a 1 2， a2b2c2， 解得 a24， b23， 故椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. 3若方程 x2 5k y2 k31 表示椭圆，则 k 的取值范围是 (3,4)(4,5) 由已知得 5k0， k30， 5kk3. 解得 3k5 且 k4. 4已知点 P 是
7、椭圆x 2 5 y2 41 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为 顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为 15 2 ，1 或 15 2 ，1 设 P(xP，yP)，xP0，由题意知|F1F2|2. 则 SPF1F21 2|F1F2|yP|1，解得|yP|1. 代入椭圆的方程，得x 2 P 5 1 41，解得 xP 15 2 ， 因此点 P 的坐标为 15 2 ，1 或 15 2 ，1 . 第第 1 课时课时 椭圆及其性质椭圆及其性质 考点一 椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用类型及方法 (1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆 (2)应用定义转化：涉及
8、焦半径的问题，常利用|PF1|PF2|2a 实现等量转换 (3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形 的面积等问题 典例 1 (1)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A x2 64 y2 481 B x2 48 y2 641 C x2 48 y2 641 D x2 64 y2 481 (2)如图，椭圆x 2 a2 y2 41(a2)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的 一点，若F1PF260 ，那么PF1F2的面积为( ) A2 3
9、3 B3 3 2 C3 3 4 D4 3 3 (3)设 F1，F2分别是椭圆 x2 25 y2 161 的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点 M 的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为 (1)D (2)D (3)5 (1)设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3 r)168|C1C2|，所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8， 故所求的轨迹方程为 x2 64 y2 481. (2)由题意知|PF1|PF2|2a，|F1F2|24a216， 由余弦定理得 4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 ， 即 4a21
10、6(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|， |PF1|PF2|16 3 ， SPF1F21 2|PF1|PF2|sin 60 4 3 3 ，故选 D (3)由题意知， 点 M 在椭圆外部， 且|PF1|PF2|10， 则|PM|PF1|PM|(10 |PF2|)|PM|PF2|10|F2M|10(当且仅当点 P， M， F2三点共线时等号成立) 又 F2(3,0)，则|F2M| 6324025. |PM|PF1|5，即|PM|PF1|的最小值为5. 点评：解答本例 T(3)的关键是差式(|PM|PF1|)转化为和式(|PM|PF2| 10)而转化的依据为|PF1|PF2|2a. 跟进训练
11、 1已知 A(1,0)，B 是圆 F：x22xy2110(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为( ) A x2 12 y2 111 B x2 36 y2 351 Cx 2 3 y2 21 Dx 2 3 y2 21 D 由题意得|PA|PB|， |PA|PF|PB|PF|r2 3|AF|2， 点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，且 a 3，c1，b 2， 动点 P 的轨迹方程为x 2 3 y2 21，故选 D 2已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的 一点，且 PF1PF2，若PF
12、1F2的面积为 9，则 b . 3 法一：设|PF1|r1，|PF2|r2，则 r1r22a， r21r224c2， 所以 2r1r2(r1r2)2 (r 2 1r 2 2)4a24c24b2，所以 SPF1F21 2r1r2b 29，所以 b3. 法二：PF1PF2，F1PF290 ， SPF1F2b2tan 45 9，b29，b3. 考点二 求椭圆的标准方程 待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 典例 2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3 2， 5 2 ，( 3， 5)，则椭圆方程为 (2)过点( 3， 5)，且与椭圆 y2 25 x2 9 1 有相同焦点的椭圆的
13、标准方程 为 (3)已知中心在坐标原点的椭圆过点 A(3,0)， 且离心率 e 5 3 ， 则椭圆的标准 方程为 (1) y2 10 x2 6 1 (2) y2 20 x2 4 1 (3)x 2 9 y 2 4 1 或 y2 81 4 x 2 9 1 (1)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由 3 2 2 m 5 2 2 n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10. 椭圆方程为 y2 10 x2 61. (2)法一：椭圆 y2 25 x2 91 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4. 由椭圆的定义知， 2a 302 542 302 542， 解得 a2 5. 由 c2
14、a2b2可得 b24， 所求椭圆的标准方程为 y2 20 x2 41. 法二：所求椭圆与椭圆 y2 25 x2 91 的焦点相同， 其焦点在 y 轴上， 且 c225916. 设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) c216，且 c2a2b2， 故 a2b216. 又点( 3， 5)在所求椭圆上， 5 2 a2 3 2 b2 1， 则 5 a2 3 b21. 由得 b24，a220， 所求椭圆的标准方程为 y2 20 x2 41. (3)若焦点在 x 轴上，由题知 a3，因为椭圆的离心率 e 5 3 ，所以 c 5，b 2，所以椭圆方程是x 2 9 y2 41.若焦点在 y 轴上
15、，则 b3，a 2c29，又离心率 e c a 5 3 ，解得 a281 4 ，所以椭圆方程是 y2 81 4 x 2 91. 综上，椭圆的方程为x 2 9 y2 41 或 y2 81 4 x 2 91. 点评：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位 置，然后根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，那么可设椭圆 方程为 mx2ny21(m0，n0，mn) 跟进训练 1已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 2 3， 过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 12，则椭圆 C 的
16、标准方程为 ( ) Ax 2 3y 21 Bx 2 3 y2 21 Cx 2 9 y2 41 Dx 2 9 y2 51 D 由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B 的周 长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以 a3.因为椭圆的离心率 ec a 2 3， 所以 c2，所以 b2a2c25，所以椭圆 C 的方程为x 2 9 y2 51，故选 D 2(2020 通州模拟)设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同 一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为 3，则这个椭圆的方程 为 ，离心率为 x2 12 y2 91 或 x2 9 y
17、2 121 1 2 焦点与椭圆的最短距离为 ac 3， a2c，c 3，a2 3，b3， 椭圆方程为 x2 12 y2 91 或 x2 9 y2 121. 离心率 ec a 1 2. 考点三 椭圆的几何性质 1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，转化为 e 的关系式，常用方法如下： (1)直接求出 a，c，利用离心率公式 ec a求解 (2)由 a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e1b 2 a2求解 (3)构造 a，c 的齐次式离心率 e 的求解中可以不求出 a，c 的具体值，而是 得出 a 与 c 的关系，从而求得 e.
18、2利用椭圆几何性质求值或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系 (2)将所求范围用 a，b，c 表示，利用 a，b，c 自身的范围、关系求解 椭圆中的基本量 a，b，c 典例31 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火 箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月 球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离 为 100 公里， 远月点与月球表面距离为 400 公里， 已知月球的直径约为 3 476 公里， 对该椭圆有四个结论： 焦距长约为300 公里 长轴长约为39
19、88 公里 两焦点坐标约为( 150,0) 离心率约为 75 994 则上述结论正确的是( ) A B C D C 设该椭圆的半长轴长为 a，半焦距长为 c. 依题意可得月球半径约为1 23 4761 738， ac1001 7381 838， ac4001 7382 138， 2a1 8382 1383 976，a1 988， c2 1381 988150， 椭圆的离心率约为 ec a 150 1 988 75 994， 可得结论正确，错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以 错误故选 C 点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译 解方程即可 离心率 典例 32
20、 (1)(2018 全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上 的一点若 PF1PF2，且PF2F160 ，则 C 的离心率为( ) A1 3 2 B2 3 C 31 2 D 31 (2)已知 F1，F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点 P， 使F1PF290 ，则椭圆的离心率的取值范围是 (1)D (2) 2 2 ，1 (1)由题设知F1PF290 ，PF2F160 ，|F1F2|2c， 所以|PF2|c，|PF1| 3c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即 3cc2a，所以 ( 31)c2a，故椭圆 C 的离心率 ec a 2
21、 31 31.故选 D (2)若存在点 P， 则圆 x2y2c2与椭圆有公共点， 则F1BF290 (B 为短轴端 点)， 即 bca，即 b2c2， a2c2c2，a22c2， 2 2 e1. 点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解； 对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解 与椭圆有关的最值(范围问题) 典例 33 (1)(2017 全国卷)设 A，B 是椭圆 C：x 2 3 y2 m1 长轴的两个端 点，若 C 上存在点 M 满足AMB120 ，则 m 的取值范围是( ) A(0,19，) B(0， 39，) C(0,14，) D(0， 34，) (2)若
22、点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y2 31 的中心和左焦点， 若 P 为椭圆上的任意 一点，则OP FP 的最大值为( ) A2 B3 C6 D8 (1)A (2)C (1)由题意知，当 M 在短轴顶点时，AMB 最大 如图 1，当焦点在 x 轴，即 m3 时， a 3，b m，tan 3 mtan 60 3，0m1. 图 1 图 2 如图 2，当焦点在 y 轴，即 m3 时， a m，b 3，tan m 3 tan 60 3，m9. 综上，m 的取值范围(0,19，)，故选 A (2)由题意知，O(0,0)，F(1,0)，设 P(x，y)，则OP (x，y)，FP (x1，y)， O
23、P FP x(x1)y2x2y2x.又x2 4 y2 31，y 233 4x 2， OP FP 1 4x 2x31 4(x2) 22. 2x2，当 x2 时，OP FP 有最大值 6. 点评：本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界 点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量 x 的有 界性解模的思路 跟进训练 1已知椭圆 x2 m2 y2 10m1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于( ) A8 B7 C6 D5 A 因为椭圆 x2 m2 y2 10m1 的长轴在 x 轴上，所以 m20， 10m0， m210m， 解 得 6m10
24、.因为焦距为 4，所以 c2m210m4，解得 m8. 2(2020 攀枝花模拟)如图，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过椭圆上的点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，若四边形 F1F2PQ 为菱形，则该椭 圆的离心率为( ) A 21 2 B 31 2 C 21 D 31 B 由题意，F1(c,0)，F2(c,0)， 因为四边形 F1F2PQ 为菱形，所以 P(2c， 3c)， 将点 P 坐标代入x 2 a2 y2 b21 可得： 4c2 a2 3c 2 b2 1，整理得 4c48a2c2a40， 所以 4e48e210，因 0e1，故 e 31 2 .
