1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制 12 道小题， 1 道解答题，分值约占 2024 分. 2.考查内容 (1)对直线方程、 圆及圆锥曲线的概念 和性质的考查一般以选择题或填空 题为主，重在考查学生的双基. (2)对直线与圆锥曲线的位置关系的 考查，常以定点问题、最值问题及探 索性问题为载体， 重在考查等价转化 思想、方程思想及数学运算能力. 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考试要求 1.在平面直角坐标系中， 结合具体图形掌握确定直线位置的几何 要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握
2、确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一 般式)，了解斜截式与一次函数的关系 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方 向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾 斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是0，) 2直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母 k 表示，即 ktan ，倾斜角是 2的直线没有斜率 (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜
3、率公式为 ky 2y1 x2x1. 3直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距，斜率 ykxb 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点，斜率 yy0k(xx0) 两点式 过两点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 与两坐标轴均不垂 直的直线 截距式 纵、横截距 x a y b1 不过原点， 且与两坐 标轴均不垂直的直 线 一般式 AxByC0 (A2B20) 平面内所有直线都 适用 提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零， 而“距离”是一个非负数 常用结论 1直线的斜率 k 和倾斜角 之间的函数关系 如图， 当 0， 2 时， 斜率 k0， )
4、； 当 2时， 斜率不存在； 当 2， 时，斜率 k(，0) 2特殊直线的方程 (1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x 轴的方程为 xx1； (2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 yy1； (3)y 轴的方程为 x0； (4)x 轴的方程为 y0. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 . ( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大 ( ) (3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离 ( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2 x1)(
5、xx1)(y2y1)表示 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知两点 A(3， 3)，B( 3，1)，则直线 AB 的斜率是( ) A 3 B 3 C 3 3 D 3 3 D kAB 31 3 3 3 3 ，故选 D 2过点(1,2)且倾斜角为 30 的直线方程为( ) A 3x3y6 30 B 3x3y6 30 C 3x3y6 30 D 3x3y6 30 A 直线的斜率 ktan 30 3 3 . 由点斜式方程得 y2 3 3 (x1)，即 3x3y6 30，故选 A 3在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4，3 的直线方程为 3x4y120 由题意知，直线方程
6、为x 4 y 31，即 3x4y120. 4已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为 4或 3 4 设直线的倾斜角为 ，则|tan |1，tan 1. 又 0，)， 4或 3 4 . 考点一 直线的倾斜角与斜率 斜率取值范围的两种求法 数形结 合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切 函数的单调性确定 函数图 象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 1若经过两点 A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为3 4 ，则 y 等于( ) A1 B3 C0 D2 B 由题意可知2y13 42 tan 3 4 1， 解得 y3.故选 B 2若直线 l
7、的斜率 k1,1，则直线 l 的倾斜角 的范围是 0， 4 3 4 ， 当1k0 时，3 4 ， 当 0k1 时，0 4. 因此 的取值范围是 0， 4 3 4 ， . 3直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直 线 l 斜率的取值范围为 (， 31，) 如图， kAP10 211，kBP 30 01 3，k(， 31，) 点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想注意区分含 有 90 和不含 90 两种情况的讨论 (2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分 0， 2 与 2， 两种情况讨论 考点二 直线方程的求法 求直线方程的两种
8、方法 典例 1 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)直线经过点 A( 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半； (3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的 中点 N 在 x 轴上，求直线 MN 的方程 解 (1)法一：设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a0，即 l 过点(0,0) 和(3,2)， l 的方程为 y2 3x，即 2x3y0. 若 a0，则设 l 的方程为x a y a1， l 过点(3,2)，3 a 2 a1， a5，l 的方程为 xy50.
9、综上可知，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50. 法二：由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k0， 设直线方程为 y2k(x3)， 令 y0，得 x32 k， 令 x0，得 y23k， 由已知 32 k23k， 解得 k1 或 k2 3， 直线 l 的方程为 y2(x3)或 y22 3(x3)， 即 xy50 或 2x3y0. (2)由 3xy10 得此直线的斜率为 3， 所以倾斜角为 120 ， 从而所求直 线的倾斜角为 60 ，故所求直线的斜率为 3. 又直线过点 A( 3，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即 3xy 60. (3)设 C(x0，y0)，则 M 5x0
10、 2 ，y 02 2 ，N 7x0 2 ，y 03 2 . 因为点 M 在 y 轴上，所以5x 0 2 0， 所以 x05. 因为点 N 在 x 轴上，所以y 03 2 0， 所以 y03，即 C(5，3)， 所以 M 0，5 2 ，N(1,0)， 所以直线 MN 的方程为x 1 y 5 2 1， 即 5x2y50. 点评：当直线在 x 轴、y 轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为 零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距 均不为零，可直接用待定系数法求解 跟进训练 已知ABC 的三个顶点分别为 A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求： (1)BC
11、 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程 解 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点，得 BC 的方程为y1 31 x2 22，即 x2y40. (2)设 BC 边的中点 D(x，y)，则 x22 2 0，y13 2 2. BC 边的中线 AD 过 A(3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为 x 3 y 21，即 2x 3y60. (3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k11 2，则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2 2.由(2)知，点 D 的坐标为(0,2) 所求直线方程为 y22(x0)
12、，即 2xy20. 考点三 直线方程的综合应用 处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标 函数，再利用基本不等式求解最值 (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线 系，即能够看出“动中有定” 典例 2 已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，AOB 的面积为 S(O 为坐 标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 解 (1)证明：法一：直线 l 的方
13、程可化为 k(x2)(1y)0， 令 x20， 1y0， 解得 x2， y1. 无论 k 取何值，直线总经过定点(2,1) 法二： 方程 kxy12k0 可化为 y1k(x2)， 显然直线恒过定点(2,1) (2)由方程知，当 k0 时，直线在 x 轴上的截距为12k k ，在 y 轴上的截距 为 12k，要使直线不经过第四象限，则必须有 12k k 2， 12k1， 解得 k0； 当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k 的取值范围是0，) (3)由题意可知 k0，再由 l 的方程，得 A 12k k ，0 ，B(0,12k) 依题意得 12k k 0， 12k0， 解得 k0. S1
14、2 |OA| |OB| 1 2 12k k |12k| 1 2 12k2 k 1 2 4k1 k4 1 2(224)4， “”成立的条件是 k0 且 4k1 k， 即 k1 2， Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40. 点评：本例(3)在求解中常忽略条件“ 12k k 0 12k0 ”的书写，进而导致 S 最 值的求解失误 跟进训练 1已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点， O 为坐标原点，则当|MA | |MB |取得最小值时，直线 l 的方程为 xy30 设 A(a,0)，B(0，b)，则 a0，b0， 直线 l 的方程为x a
15、y b1，所以 2 a 1 b1. |MA | |MB |MA MB (a2，1) (2，b1) 2(a2)b12ab5 (2ab) 2 a 1 b 5 2b a 2a b 4， 当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30. 2已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a . 1 2 由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2a，直 线 l2在 x 轴上的截距为 a22， 所以四边形的面积 S1 22(2a) 1 22(a 22) a2a4 a1 2 2 15 4 ， 当 a1 2时，四边形的面积最小， 故实数 a 的值为1 2.
