1、三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 考试要求 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的 周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图 象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间 2， 2 内的单调性 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 ysin x，x0,2图象的五个关键点是：(0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0) 余弦函数 ycos x，x0,2图象的五个关键点是：(0,1)， 2，0 ，(，1)， 3 2 ，0 ，(2，1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数
2、ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 R R x xk 2，kZ 值域 1,1 1,1 R 单调性 递增区间： 2k 2，2k 2 ， kZ， 递增区间： 2k，2k， kZ， 递增区间 k 2，k 2 ， kZ 递减区间： 2k 2，2k 3 2 ， kZ 递减区间： 2k，2k， kZ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 (k，0)，kZ 对称中心 k 2，0 ，kZ 对称中心 k 2 ，0 ，kZ 对称轴 xk 2(kZ) 对称轴 xk(kZ) 周期性 2 2 提醒：(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，ytan x 无单 调递减区间，yt
3、an x 在整个定义域内不单调 (2)求 yAsin(x)的单调区间时，要注意 A 和 的符号尽量化成 0 的形式，避免出现增减区间的混淆 常用结论 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周 期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数 yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)； (2)函数 yAsin(x)(xR)是偶函数k 2(kZ)； (3)函数 yAcos(x)(xR)是奇函数k 2(kZ)； (4)函数 yAcos(x)(xR)是偶函数k(k
4、Z) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数 ( ) (2)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1. ( ) (3)函数 ysin x 的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称 ( ) (4)ysin|x|与 y|sin x|都是周期函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1若函数 y2sin 2x1 的最小正周期为 T，最大值为 A，则( ) AT，A1 BT2，A1 CT，A2 DT2，A2 A T2 2 ，A211，故选 A 2函数 ytan 2x 的定义域是( ) A x xk 4，k
5、Z B x xk 2 8，kZ C x xk 8，kZ D x xk 2 4，kZ D 由 2xk 2，kZ， 得 xk 2 4，kZ， ytan 2x 的定义域为 x xk 2 4，kZ . 3ysin 2x 4 的单调减区间是 3 8 k，7 8 k (kZ) 由 22k2x 4 3 2 2k，kZ 得， 3 8 kx7 8 k，kZ. 4函数 y32cos x 4 的最大值为 ，此时 x . 5 3 4 2k(kZ) 函数 y32cos x 4 的最大值为 325， 此时 x 4 2k，kZ，即 x3 42k(kZ) 考点一 三角函数的定义域 三角函数定义域的求法 (1)求三角函数的定义
6、域常化为解三角不等式(组) (2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线 (3)对于函数 yAtan(x)的定义域可令 xk 2，kZ 求解 1函数 y 1 tan x1的定义域为 要 使 函 数 有 意 义 ， 必 须 有 tan x10， x 2k，kZ， 即 x 4k，kZ， x 2k，kZ. 故函数的定义域为 2函数 ylg(sin x)cos x1 2的定义域为 函数有意义，则 sin x0， cos x 1 20， 即 sin x0， cos x1 2， 解得 2kx2kkZ， 32kx 32kkZ， 所以 2kx 32k(kZ)， 所以函数的定义域为 3函数 y s
7、in xcos x的定义域为 法一：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象， 在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象， 如图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为 4， 5 4，再结合正弦、余弦函数的 周期是 2，所以原函数的定义域为x 2k 4x2k 5 4，kZ . 法二：sin xcos x 2sin x 40，将 x 4视为一个整体，由正弦函数 y sin x 的图象和性质可知 2kx 42k(kZ)，解得 2k 4x2k 5 4 (kZ)，所以定义域为 点评：若定义域中含 k 或 2k 应注明 kZ. 考点二 三角函数的值域(最值
8、) 求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再 求值域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次 函数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数，可先设 tsin x cos x， 化为关于 t 的二次函数求值域(最值) 典例 1 (1)已知函数 f (x)2 3sin2x2sin xcos x 3，则函数 f (x)在区间 4， 3 4 上的值域是 (2)(2019 全国卷)函数 f
9、 (x)sin 2x3 2 3cos x 的最小值为 (3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为 (1)(1,2 (2)4 (3) 1 2 2，1 (1)f (x)2 3sin 2x2sin xcos x 3 3(1cos 2x)sin 2x 3sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 . 4x 3 4 ， 62x 3 7 6 ， 1 2sin 2x 3 1， 12sin 2x 3 2， 即函数 f (x)在区间 4， 3 4 上的值域是(1,2 (2)f (x)sin 2x3 2 3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1， 令 cos xt，
10、则 t1,1 f (t)2t23t12 t3 4 2 17 8 ， 易知当 t1 时，f (t)min2123114. 故 f (x)的最小值为4. (3)设 tsin xcos x， 则 t2sin2xcos2x2sin x cos x，sin xcos x1t 2 2 ， 且 2t 2. yt 2 2t 1 2 1 2(t1) 21，t 2， 2 当 t1 时，ymax1； 当 t 2时，ymin1 2 2. 函数的值域为 1 2 2，1 . 点评：对于函数 yAsin(x)，令 tx，求出 t 的范围，再根据 ysin t 的图象求 sin t 的值域，这是常用的方法 跟进训练 1函数
11、f (x)3sin 2x 6 在区间 0， 2 上的值域为 3 2，3 当 x 0， 2 时，2x 6 6， 5 6 ， sin 2x 6 1 2，1 ， 故 3sin 2x 6 3 2，3 ， 函数 f (x)在区间 0， 2 上的值域为 3 2，3 . 2函数 f (x)sin2x 3cos x3 4 x 0， 2 的最大值是 1 依题意，f (x)sin2x 3cos x3 4cos 2x 3cos x1 4 cos x 3 2 2 1， 因为 x 0， 2 ，所以 cos x0,1， 因此当 cos x 3 2 时，f (x)max1. 考点三 三角函数的单调性 求三角函数的单调区间
12、三角函数单调区间的求法 (1)将函数化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式，若 0，借助诱导 公式将 化为正数 (2)根据 ysin x 和 ycos x 的单调区间及 A 的正负，列不等式求解 典例 21 (1)函数 f (x)3sin 2 3 2x 的一个单调递减区间是( ) A 7 12， 13 12 B 12， 7 12 C 2， 2 D 5 6 ， 6 (2)函数 y1 2sin x 3 2 cos x x 0， 2 的单调递增区间是 (1)B (2) 0， 6 (1)f (x)3sin 2 3 2x 3sin 2x2 3 . 由 22k2x 2 3 22k，kZ 得， 1
13、2kx 7 12k，kZ， k0 时， 12x 7 12， k1 时，13 12x 19 12， k1 时，11 12 x5 12， 12， 7 12 是 f (x)的一个单调递减区间，故选 B (2)y1 2sin x 3 2 cos xsin x 3 ， 由 2k 2x 32k 2(kZ)， 解得 2k5 6 x2k 6(kZ) 函数的单调递增区间为 2k5 6 ，2k 6 (kZ)， 又 x 0， 2 ，函数的单调递增区间为 0， 6 . 点评：本例(2) 在整体求得函数 y1 2sin x 3 2 cos x 的增区间后，采用对 k 赋 值的方式求得 x 0， 2 上的区间 已知三角函
14、数的单调性求参数 已知单调区间求参数范围的三种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不 等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某 个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1 4周期列不等 式(组)求解 典例 22 (1)(2020 西安模拟)已知 0， 函数 f (x)sin x 4 在 2， 上 单调递减，则 的取值范围是( ) A(0,2 B 0，1 2 C 1 2， 3 4 D 1 2， 5 4 (2)(2018 全国卷)若 f (x)cos xsin
15、x 在a，a是减函数，则 a 的最大值 是( ) A 4 B 2 C 3 4 D (1)D (2)A (1)法一：(反子集法)x 2， ，x 4 2 4， 4 . f (x)在 2， 上单调递减， 2 4 22k，kZ， 4 3 2 2k，kZ， 解得 4k1 2，kZ， 2k5 4，kZ. 又 0，kZ， k0，此时1 2 5 4，故选 D 法二： (子集法)由 2k 2x 42k 3 2 ， 得2k 4x 2k 5 4， kZ， 因为 f (x)sin x 4 在 2， 上单调递减， 所以 2k 4 2， 2k 5 4， 解得 4k1 2， 2k5 4. 因为 kZ，0，所以 k0， 所以
16、1 2 5 4，即 的取值范围为 1 2， 5 4 .故选 D (2)f (x)cos xsin x 2cos x 4 ， 由 0 x 4 得 4x 3 4. 4， 3 4 是 f (x)的一个单调递减区间 由题意知a，a 4， 3 4 ， 0a 4，则 a 的最大值为 4，故选 A 跟进训练 1(2020 湖南省湘东六校联考)函数 f (x)sin 2x 6 1 2，则下列表述正确的 是( ) Af (x)在 3， 6 上单调递减 Bf (x)在 6， 3 上单调递增 Cf (x)在 6，0 上单调递减 Df (x)在 0， 6 上单调递增 D f (x)sin 2x 6 1 2，由 2x
17、6 22k， 22k ，kZ，解得 x 3k， 6k ，kZ，当 k0 时，x 3， 6 ，所以函数 f (x)在 3， 6 上单调递增，故选 D 2已知函数 f (x)2sin(2x)(|)，若 f (x)在区间 5， 5 8 上单调递增， 则 的取值范围是( ) A 9 10， 3 10 B 2 5 ，9 10 C 10， 4 D ， 10 4， C 函数 f (x)2sin(2x)在区间 5， 5 8 上单调递增， 函数 y2sin(2x )在区间 5， 5 8 上单调递减， 由 22k2x 3 2 2k，kZ，解得 4k 2x 3 4 k 2，kZ， 4k 2 5， 5 8 3 4 k
18、 2， kZ， 20k 2 8k， kZ， 102k 4 2k，kZ，|，令 k0，解得 10 4， 的取值范围是 10， 4 . 故选 C 3函数 g(x)cos 2x 3 x 2， 2 的单调递增区间为 2， 3 ， 6， 2 g(x)cos 2x 3 cos 2x 3 ， 欲求函数 g(x)的单调递增区间， 只需求函数 ycos 2x 3 的单调递减区间 由 2k2x 32k(kZ)， 得 k 6xk 2 3 (kZ) 故函数 g(x)的单调递增区间为 k 6，k 2 3 (kZ) 因为 x 2， 2 ， 所以函数 g(x)的单调递增区间为 2， 3 ， 6， 2 . 4若函数 f (x
19、)sin(x) 0，且| 2 在区间 6， 2 3 上是单调递减函 数，且函数值从 1 减少到1，则 f 4 . 3 2 由题意知T 2 2 3 6 2，故 T， 所以 2 T 2， 又因为 f 6 1，所以 sin 3 1. 因为| 2，所以 6， 即 f (x)sin 2x 6 . 故 f 4 sin 2 6 cos 6 3 2 . 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 三角函数的周期性 求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期 函数 f (x)Asin(x)B 与 f (x)Acos(x)B 的周期为 T2 |； 函数 f (x)Atan(x)B 的周期 T |. (2)对称性求
20、最值 两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T 2； 对称中心到对称轴距离的最小值等于T 4； 两个最大(小)值点之差的最小值等于 T. 典例 31 (1)(2019 全国卷)下列函数中，以 2为周期且在区间 4， 2 单调 递增的是( ) Af (x)|cos 2x| Bf (x)|sin 2x| Cf (x)cos|x| Df (x)sin|x| (2)(2018 全国卷)已知函数 f (x)2cos2xsin2x2，则( ) Af (x)的最小正周期为 ，最大值为 3 Bf (x)的最小正周期为 ，最大值为 4 Cf (x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df (x)的最小
21、正周期为 2，最大值为 4 (1)A (2)B (1)对于选项 A， 作出 y|cos 2x|的部分图象， 如图所示， 则 f (x) 在 4， 2 上单调递增，且最小正周期 T 2，故 A 正确 对于选项 B，作出 f (x)|sin 2x|的部分图象，如图所示，则 f (x)在 4， 2 上 单调递减，且最小正周期 T 2，故 B 不正确 对于选项 C，f (x)cos|x|cos x， 最小正周期 T2，故 C 不正确 对于选项 D，作出 f (x)sin|x|的部分图象，如图所示显然 f (x)不是周期 函数，故 D 不正确故选 A 图 图 图 (2)f (x)2cos2xsin2x2
22、2cos2xsin2x2sin2x2cos2x 4cos2xsin2x3cos2x13 2(1cos 2x)1 3 2cos 2x 5 2， 因此函数 f (x)的最小正周期为 ，最大值为3 2 5 24，故选 B 点评：带绝对值的三角函数求周期时，一般画出函数的图象，结合图象求周 期 三角函数的奇偶性 1.三角函数是奇、偶函数的充要条件 (1)函数 yAsin(x)(xR)：是奇函数k(kZ)；偶函数k 2 (kZ)； (2)函数 yAcos(x)(xR)：是奇函数k 2(kZ)；是偶函数 k(kZ) 2若 yf (x)为奇函数，则当 x0 时，y0； 若 yf (x)为偶函数，则当 x0
23、时，y 取最大值或最小值 典例 32 已知函数 f (x)3sin 2x 3 ，(0，) (1)若 f (x)为偶函数，则 ； (2)若 f (x)为奇函数，则 . (1)5 6 (2) 3 (1)因为 f (x)3sin 2x 3 为偶函数， 所以 3k 2，kZ， 又因为 (0，)，所以 5 6 . (2)因为 f (x)3sin 2x 3 为奇函数， 所以 3k，kZ， 又 (0，)， 所以 3. 三角函数的对称性 求对称轴方程(对称中心坐标)的方法 (1)求 f (x)Asin(x)图象的对称轴方程， 只需对 x 2k(kZ)整理， 对称中心横坐标只需令 xk(kZ)，求 x. (2)
24、求 f (x)Acos(x)的对称轴方程，只需对 xk(kZ)整理，对称 中心横坐标为 x 2k(kZ)，求 x 即可 (3)求 f (x)Atan(x)的对称中心的横坐标，只需对 xk 2 (kZ)，求 x. 典例 33 (1)已知函数 f (x)2sin x 6 (0)的最小正周期为 4，则该 函数的图象( ) A关于点 3，0 对称 B关于点 5 3 ，0 对称 C关于直线 x 3对称 D关于直线 x5 3 对称 (2)已知函数 ysin(2x) 2 2 的图象关于直线 x 3对称，则 的值 为 (1)B (2) 6 (1)因为函数 f (x)2sin x 6 (0)的最小正周期是 4，
25、而 T2 4，所以 1 2， 即 f (x)2sin x 2 6 . 令x 2 6 2k(kZ)，解得 x 2 3 2k(kZ)， 故 f (x)的对称轴为 x2 3 2k(kZ)， 令x 2 6k(kZ)，解得 x 32k(kZ) 故 f (x)的对称中心为 32k，0 (kZ)，对比选项可知 B 正确 (2)由题意得 f 3 sin 2 3 1， 2 3 k 2(kZ)，k 6(kZ) 2， 2 ， 6. 点评：(1)已知 xa 是函数 f (x)Asin(x)的一条对称轴，则 f (a) A， 即 ak 2，kZ. (2)已知点(b,0)是函数 f (x)Asin(x)的一个对称中心，则
26、 f (b)0，即 b k，kZ. 跟进训练 1函数 f (x) tan x 1tan2x的最小正周期为( ) A 4 B 2 C D2 C f (x) tan x 1tan2x sin xcos x cos2xsin2x 1 2sin 2x， 函数 f (x)的最小正周期为 T2 2 ，故选 C 2(2020 广西桂林模拟)已知函数 f (x)sin x 4 (0)，其图象相邻两条 对称轴之间的距离为 4，那么函数 yf (x)的图象( ) A关于点 16，0 对称 B关于点 16，0 对称 C关于直线 x 16对称 D关于直线 x 4对称 B 由题意知函数 f (x)的周期 T 42 2， 由2 2得 4， f (x)sin 4x 4 . 由 f 16 sin 2 1 知，f (x)的图象关于直线 x 16对称 由 f 16 sin 00 知，f (x)的图象关于点 16，0 对称，故选 B 3若函数 y3cos 2x 3 为奇函数，则|的最小值为 6 由题意得 3k 2，kZ， 5 6 k，kZ， 当 k1 时， 6，| 6，|的最小值为 6.
