1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 从高考题型、 题量来看， 一 般有两种方式： 二个小题或 一个小题另加一个解答题， 分值为 10 分或 17 分左右. 2.考查内容 (1)客观题主要考查三角函 数的定义， 图象与性质， 同 角三角函数关系，诱导公 式， 和、 差、 倍角公式， 正、 余弦定理等知识. (2)解答题涉及知识点较为 综合 涉及三角函数图象与 性质、 三角恒等变换与解三 角形知识较为常见. 任意角、弧度制及任意角的三角函任意角、弧度制及任意角的三角函 数数 考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦
2、、余弦、正切)的定义 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形 (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集 合 S|k 360 ，kZ 提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同 2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式： 角 的弧度数公式 |l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公
3、式 弧长 l|r 扇形面积公式 S1 2lr 1 2|r 2 提醒：有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是 180 ，在同一个式子中，采用的度量制度必 须一致，不可混用 (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 3任意角的三角函数 (1)定义 设角 终边与单位圆交于 P(x，y)，则 sin y，cos x，tan y x(x0) 拓展：任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r， 则 sin y r，cos x r，tan y x(x0) (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，
4、二正弦，三正切，四余弦 (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都 在 x 轴上， 余弦线的起点都是原点， 正切线的起点都是(1,0) 如图中有向线段 MP， OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正切线 常用结论 1象限角 2轴线角 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角 ( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关 ( ) (3)不相等的角终边一定不相同 ( ) (4)若 为第一象限角，则 sin cos 1. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1若 满足 s
5、in 0，cos 0，则 的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D sin 0，cos 0， 的终边落在第四象限 2下列与9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A2k45 (kZ) Bk 360 9 4(kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk5 4 (kZ) C 9 4 2 4， 9 4 与 4终边相同 又角度制与弧度制不可同时混用，故选 C 3角225 _弧度，这个角的终边落在第_象限 答案 5 4 二 4设角 的终边经过点 P(4，3)，那么 2cos sin _. 11 5 由已知并结合三角函数的定义，得 sin 3 5， cos 4 5，所以
6、2cos sin 2 4 5 3 5 11 5 . 5一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_rad. 3 弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为 3rad. 考点一 象限角及终边相同的角 1.象限角的两种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角 是第几象限角 转化法 先将已知角化为 k 360 (0 360 ， kZ)的形式， 即找出与已知角 终边相同的角 ，再由角 终边所在的象限判断已知角是第几象限角 2.求 n或 n(nN *)所在象限的步骤 (1)将 的范围用不等式(含有 k，且 kZ)表示 (2)两边同除以 n 或乘以
7、n. (3)对 k 进行讨论，得到 n或 n(nN *)所在的象限 1集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是 ( ) A B C D B 当 k2n(nZ)时，2n2n 4(nZ)，此时 的终边和 0 4的 终边相同；当 k2n1(nZ)时，2n2n5 4 (nZ)，此时 的终边和 5 4 的终边相同，故选 B 2设 是第三象限角，且 cos 2 cos 2，则 2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 B 是第三象限角， 2k3 2 2k，kZ， 2k 2 3 4 k，kZ， 2的终边落在第二、四象限， 又 cos 2 cos 2，cos 20， 2是第二象限角 3
8、与2 010 终边相同的最小正角是_ 150 与2 010 终边相同的角可表示为 2 010 k 360 ，kZ， 又当 k6 时，150 ，故与2 010 终边相同的最小正角为 150 . 终边在直线 y 3x 上且在第一象限的角为 2k 3(kZ)，终边在直线 y 3x 上且在第三象限的角为 2k 3(2k 1) 3(kZ) 则终边在直线 y 3x 上的角的集合为 点评：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与 这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需 的角 考点二 扇形的弧长及面积公式的应用 有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用
9、扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法 使问题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 典例 1 已知一扇形的圆心角为 ，半径为 R，弧长为 l. (1)若 60 ，R10 cm，求扇形的弧长 l； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积是 4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为 20 cm， 则当扇形的圆心角 为多少弧度时， 这个扇形的面积 最大？ 解 (1)60 3rad， 所以 l R 310 10 3 (cm) (2)由题意得 2RR10， 1 2 R
10、 24 R1， 8 (舍去)或 R4， 1 2. 故扇形圆心角为1 2rad. (3)由已知得 l2R20， 所以 S1 2lR 1 2(202R)R10RR 2(R5)225，所以当 R5 cm 时，S 取得最大值 25 cm2， 此时 l10 cm，2 rad. 跟进训练 1若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A 6 B 3 C3 D 3 D 如图，等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形，则线段 AB 所 对的圆心角AOB2 3 ， 作 OMAB，垂足为 M， 在 RtAOM 中，AOr，AOM 3， AM 3 2 r，AB 3r， l 3r，
11、 由弧长公式得 l r 3r r 3. 2 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2， 那么这个圆心角所对的弧长是( ) A2 Bsin 2 C 2 sin 1 D2sin 1 C 如图，AOB2 弧度，过 O 点作 OCAB 于 C，并延长 OC 交AB 于 D 则AODBOD1 弧度， 且 AC1 2AB1， 在 RtAOC 中， AO AC sinAOC 1 sin 1， 即 r 1 sin 1， 从而AB 的长为 l r 2 sin 1.故选 C 3已知扇形弧长为 20 cm，圆心角为 100 ，则该扇形的面积为_cm2. 360 由弧长公式 l|r， 得 r 20 100 180 36
12、 ， 所以 S扇形1 2lr 1 220 36 360 . 考点三 三角函数的定义及应用 利用三角函数的定义求值 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角 的终边上的一点 P 的坐标，求角 的三角函数值 方法：先求出点 P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解 (2)已知角 的一个三角函数值和终边上一点 P 的横坐标或纵坐标，求与角 有关的三角函数值 方法：先求出点 P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的 定义建立方程，求出未知数，从而求解问题 (3)已知角 的终边所在的直线方程(ykx，k0)，求角 的三角函数值 方法：先设出终边上一点 P(a，ka)，a
13、0，求出点 P 到原点的距离(注意 a 的 符号，对 a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解 典例 21 (1)已知角 的终边与单位圆的交点为 P 1 2，y ，则 sin tan ( ) A 3 3 B 3 3 C3 2 D 3 2 (2)若角的终边经过点P( 3， m)(m0)， 且sin 2 4 m， 则cos _. (3)若角 的终边在直线 y4 3x 上，求 sin ，cos 和 tan 的值 (1)C (2) 6 4 (1)由|OP|21 4y 21，得 y23 4，则 y 3 2 或 y 3 2 . 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3，此时，sin tan 3 2
14、； 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3，此时，sin tan 3 2. 综上所述，选 C (2)rm23，由 sin m m23 2 4 m， 整理得 m25，则 r m23 82 2. cos 3 2 2 6 4 . (3)解 由题意知 tan 4 3， 当角 终边落在第二象限，设角 终边上一点 P(3,4)，r5，sin 4 5， cos 3 5， 当角 终边落在第四象限， 设角 终边上一点 P(3， 4)， r5， sin 4 5， cos 3 5. 点评：充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的 方程求解要注意字母的范围 三角函数值的符号判断 已知一角
15、的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号， 可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意 终边在坐标轴上的特殊情况 典例 22 (1)(2020 全国卷)若 为第四象限角，则( ) Acos 20 Bcos 20 Csin 20 Dsin 20 (2)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 (3)若 sin x0，且 sin(cos x)0，则角 x 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 (1)D (2)C (3)D (1) 是第四象限角， s
16、in 0，cos 0， sin 22sin cos 0，故选 D (2)由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号， 则 为第二象限角或第三象限角 由cos tan 0 可知 cos ，tan 异号，则 为第三象限角或第四象限角综上可 知， 为第三象限角，故选 C (3)由1cos x1，且 sin(cos x)0 知 0cos x1， 又 sin x0，角 x 是第四象限角，故选 D 跟进训练 1函数 yloga(x3)2(a0 且 a1)的图象过定点 P，且角 的顶点在原 点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 P，则 sin cos 的值为( ) A7 5 B 6 5 C 5
17、 5 D3 5 5 D 函数 yloga(x3)2 的图象恒过定点 P(4,2)，且角 的终边过点 P， 设 P(x，y)，x4，y2，r2 5，sin 5 5 ，cos 2 5 5 ，sin cos 5 5 2 5 5 3 5 5 . 2已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 B tan 0，cos 0， 在第二象限 3设 是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos 1 5x，则 tan _. 4 3 r x 216，由 cos x x216 1 5x，整理得 x 2165， 解得 x 3. 是第二象限角，x0，x3，则 tan 4 3.
