1、28.1 28.1 锐角三角函数锐角三角函数 ( (第第1 1课时课时) ) 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 鞋跟多高合适鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现，美国人体工程研究学人员调查发现， 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11左左 右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？ 15 C B A 11 导入新知导入新知 1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与 斜
2、边的斜边的比值都固定比值都固定（即（即正弦值正弦值不变）这一事实不变）这一事实. 2. 理解锐角理解锐角正弦的概念正弦的概念，掌握，掌握正弦正弦的表示方法的表示方法. 素养目标素养目标 3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值正弦值， 并且并且能利用正弦求直角三角形的边长能利用正弦求直角三角形的边长. 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平 面所成角的度
3、数是面所成角的度数是30，为使出水口的高度为，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长，那么需要准备多长 的水管？的水管？ 分析：分析：这个问题可以归这个问题可以归 结为，在结为，在RtABC中，中， C=90，A30， BC35m，求，求AB 根据“在直角三角形中，根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一角所对的边等于斜边的一 半”，即半”，即 可得可得AB2BC70m，也就是说，需要准备，也就是说，需要准备70m长的水管长的水管 A B C 探究新知探究新知 知识点 正弦的正弦的定义定义 解：解： B A C 30 35m 【思考思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度在上面的问
4、题中，如果使出水口的高度为为 50m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？ A B C 50m 35m B C AB2BC 250100( (m).). 探究新知探究新知 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管，那么不管 三角形的大小如何，这个角的三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值对边与斜边的比值都等于都等于 . 1 2 在在RtABC中，中，C90，由于，由于A45， 所以所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得是等腰直角三角形，由勾股定理得: 因此因此 . . 在直角三角形中，当一个锐角等于在直角三角形中，当一个锐角
5、等于45时，不管这个直时，不管这个直 角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使，使C90， A45，计算，计算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 ， 你能得出什么结论？你能得出什么结论？ AB BC A B C 探究新知探究新知 , , 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90，当，当 A30时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，是一，是一 个固定值；当个固定值；当A45时，时，A的对边与斜边的比都等的对边与斜边的比
6、都等 于于 ，也是一个固定值，也是一个固定值. 【思考思考】一般地，当一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究新知探究新知 A B C A B C 任意画任意画 RtABC 和和 RtABC，使得，使得CC90， AA，那么，那么 与与 有什么关系？你能解释一下有什么关系？你能解释一下 吗？吗？ BC AB BC A B 探究新知探究新知 因为因为CC90，AA， 所以所以RtABC RtABC. 因此因此 在直角三角形中，当锐角在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角的度数一定
7、时，不管三角 形的大小如何，形的大小如何，A 的的对边对边与与斜边斜边的比都是一个的比都是一个固定值固定值 ABBC A BBC BCBC ABAB 探究新知探究新知 如图，在如图，在 RtABC 中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角 A 的的 对边与斜边的比叫做对边与斜边的比叫做A的的正弦正弦，记作，记作 sin A 即即 例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有 ； 2 1 30sinsin A 当当A45时，我们有时，我们有 . 2 2 45sinsin A A B C c a b 对对 边边 斜边斜边 归纳：归纳： 探究新知探究新知 A的对边的对边 斜边斜边 sin A = a =
8、 c 注意注意 sinA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A 的正弦，记号里习惯省去角的符号的正弦，记号里习惯省去角的符号 “”；”； sinA没有单位，它表示一个比值，即没有单位，它表示一个比值，即 直角三角形中直角三角形中A的对边与斜边的比；的对边与斜边的比； sinA不表示“不表示“sin”乘“乘“A”. 探究新知探究新知 例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，求，求sinA和和sinB 的值的值 解：解：（1）在在RtABC中，中， 534 2222 BCACAB 因此因此 5 3 sin AB BC A 5 4 sin AB AC B （2）在在RtABC中
9、中， 13 5 sin AB BC A 12513 2222 BCABAC 因此因此 13 12 sin AB AC B 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值利用正弦的定义求有关角的正弦值 A B C 3 4 （1） A B C 13 5 （2） 求求sinA就是就是 要确定要确定A 的的对边与斜对边与斜 边的比边的比；求；求 sinB就是要就是要 确定确定B的的 对边与斜边对边与斜边 的的比比. , , , , . . 判断判断对错对错: : A 10m 6m B C ( (1) ) （ ） ( (2) ) （ ） ( (3) )sin A=0.6m （ ）
10、 ( (4) )sin B=0.8 （ ） sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2) )如图如图， （ ） 巩固练习巩固练习 AB BC Asin AB BC Asin AB BC B sin A B C 1) ) 如图如图 图图 图图 在在 RtABC中，锐角中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100 倍倍， sinA 的值的值 ( ) ( ) A. 扩大扩大100倍倍 B. 缩小缩小 C. 不变不变 D. 不能确定不能确定 C 1 100 巩固练习巩固练习 例例2 如如图，在平面直角坐标系内有一点图，在平面直角坐标系内有一
11、点 P ( (3，4) )，连接，连接 OP，求，求 OP 与与 x 轴正方向所夹锐角轴正方向所夹锐角 的正弦值的正弦值. 解：解：如图，设点如图，设点 A ( (3，0) )，连接，连接 PA . . A (3，0) 在在RtAPO中，由勾股定理得中，由勾股定理得 2222 345.OPOAAP 因此因此 4 sin. 5 AP OP 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 探究新知探究新知 方法点拨 结合平面直角坐标系求某角的结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值正弦函数值， 一般过已知点向一般过已知点向 x 轴或轴或 y 轴
12、作垂线，轴作垂线，构造直角三构造直角三 角形角形，再结合勾股定理求解，再结合勾股定理求解. A B x y 在在平面直角坐标系中平面直角坐标系中,已知点已知点A(3,0)和和B(0,-4),则则 sinOAB等于等于_ 4 5 3 4 5 巩固练习巩固练习 例例3 如图，在如图，在 RtABC 中，中，C=90， ， BC = 3，求，求 sinB 及及 RtABC 的面积的面积. 1 sin 3 A A B C 提示：提示：已知已知 sinA 及及A的对边的对边 BC 的的 长度，可以求出斜边长度，可以求出斜边 AB 的长的长. 然后然后 再利用勾股定理，求出再利用勾股定理，求出 AC 的长
13、度，的长度， 进而求出进而求出 sinB 及及 RtABC 的面积的面积. 素养考点素养考点 3 探究新知探究新知 利用正弦求直角三角形的边长利用正弦求直角三角形的边长 AB = 3BC =33=9. 2222 =936 2.ACABBC 6 22 2 sin. 93 AC B AB 11 =6 23=9 2. 22 ABC SAC BC 探究新知探究新知 A B C 解：解：在在 RtABC 中，中， 1 sin 3， A 1 3 BC AB . . 在在 RtABC 中，中，C = 90，sinA = k， sinB = h，AB = c，则，则 BC = ck， AC = ch. 在在
14、RtABC 中，中，C = 90，sinA = k， sinB = h，BC=a，则，则 归纳：归纳： 探究新知探究新知 A B C a AB k ， ah AC k . 8 巩固练习巩固练习 如如图：在图：在RtABC中，中，C=90，AB=10， ， BC的长是的长是 A B 5 3 sinB 解：解：设设BC=7x，则，则AB=25x，在，在 RtABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得 即即 24x = 24cm，解得，解得 x = 1 cm. 故故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. . 所以所以 ABC 的周长为的周长为 AB+BC+AC = 7+24+
15、25 = 56 ( (cm) ). 探究新知探究新知 素养考点素养考点 4 利用方程和正弦求直角三角形中利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度线段的长度 xxxBCABAC24)7()25( 2222 例例4 在在 ABC 中，中，C=90，AC=24cm， ，求这，求这 个三角形的周长个三角形的周长 7 sin 25 A 如如图图, ,在在RtABC中中, ,C=90, , , AC=12. 求求sinB的值的值. . 5 13 解解:在在Rt ABC中中, 设设AB=13x，BC=5x, , 由勾股定理得由勾股定理得：( (5x) )2+122=( (13x) )2. A B C 12 巩
16、固练习巩固练习 解得解得x=1.所以所以AB=13，BC=5. 13 5 sinA 12 sin. 13 AC B AB 因此因此 连接中考连接中考 A 1. 如图如图，在在RtABC中中，C=90，BC=4， ，AC=3，则则 sinB=（ ） A B C D 5 3 5 4 7 3 4 3 A B C 2. 如图如图，在，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称的正方形方格图形中，小正方形的顶点称 为格点，为格点，ABC的顶点都在格点上，则的顶点都在格点上，则BAC的正弦值是的正弦值是 _ 连接中考连接中考 5 5 1. 如图，已知点如图，已知点 P 的坐标是的坐标是 ( (a，b) )
17、，则，则 sin 等于等于( )( ) O x y P (a，b) A. B. C. D. a b b a 22 a ab 22 b ab D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 在直角三角形在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大中，若三边长都扩大 2 倍，则倍，则 锐角锐角 A 的正弦值的正弦值 （ ） A. 扩大扩大 2 倍倍 B.不变不变 C. 缩小缩小 D. 无法确定无法确定 B 1 2 课堂检测课堂检测 D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2 课堂检测课堂检测 3. 在在RtABC中，中，C=90， ，BC=6，则，则 AB 的长为的长为 （ ）
18、 3 sin 5 A 4. 在在ABC中，中，C=90，如果，如果 ，AB=6， 那么那么BC=_. 1 sin 3 A 5. 如图，在正方形网格中有如图，在正方形网格中有 ABC，则，则 sinABC 的值的值 为为 . . 10 10 课堂检测课堂检测 解析：解析： ， ， ， 20AB18BC2AC 10 10 20 2 sin AB AC ABC . . AB 2 BC 2AC 2. ACB90. 如如图，在图，在 ABC中，中， AB= BC = 5， ，求，求 ABC 的面积的面积. . D 5 5 C B A 解：解：作作BDAC于点于点D， 4 sin54 5 BDABA ，
19、2222 543.ADABBD 又又 ABC 为为等腰三角形等腰三角形, BDAC, AC=2AD=6， S ABC=AC BD2=12. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 5 4 sinA 5 4 sinA ， 求一个角的正弦值，除了用求一个角的正弦值，除了用 定义直接求外，还可以转化定义直接求外，还可以转化 为为求和它相等角的正弦求和它相等角的正弦值值. . 如如图图, C=90，CDAB. sinB可以由哪两条线段之比得到可以由哪两条线段之比得到? 若若AC=5, ,CD=3, ,求求sinB的值的值. A C B D 解解: : B =ACD, sinB = sinACD. 在在RtACD中中, ， 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 435 2222 CDACAD . 4 sin 5 B 5 4 sin AC AD ACD , , 正弦函数正弦函数 正弦函数的正弦函数的概念概念 正弦函数的正弦函数的应用应用 已知边长求已知边长求正弦值正弦值 已知正弦值求已知正弦值求边长边长 A的对边的对边 斜边斜边 sin A = 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
