1、5.3 5.3 平行线的性质平行线的性质 5.3.2 5.3.2 命题、定理、证明命题、定理、证明 人教版人教版 数学数学 七年级七年级 下册下册 小小明的百米明的百米 成绩有进步，成绩有进步， 已达到已达到9秒秒9. 有一位田径教练向领导汇报训练成绩；有一位田径教练向领导汇报训练成绩； 相相传传, ,阎锡山在观看士兵篮球阎锡山在观看士兵篮球 赛赛, ,双方争抢非常激烈双方争抢非常激烈. .于是命令于是命令: : 导入新知导入新知 好！继续努力好！继续努力,争取争取 超过超过10秒秒. “不“不要再抢啦！每个人发一个球要再抢啦！每个人发一个球！”！” 1. 理解理解命题命题，定理定理及及证明证
2、明的概念，会区分命的概念，会区分命 题的题的题设和结论题设和结论. 2.会判断会判断真假真假命题，知道证明的意义及必要性，命题，知道证明的意义及必要性， 了解了解反例的作用反例的作用. 素养目标素养目标 3. 理解证明要理解证明要步步有据步步有据，培养学生养成科学严，培养学生养成科学严 谨的学习态度谨的学习态度. 请同学读出下列语请同学读出下列语句：句： （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行；互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等；）
3、对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式）等式两边都加同一个数，结果仍是等式 像这样判断一件事情的语句，叫做像这样判断一件事情的语句，叫做命题命题. . 探究新知探究新知 知识点 1 命题的概念命题的概念 2.如果一个句子如果一个句子没有没有对某一件事情作出任何对某一件事情作出任何判断判断, ,那么那么 它它就就不是命题不是命题. . 如：画线段如：画线段AB=CD. 1.只只要对一件事情作出了要对一件事情作出了判断判断, ,不管正确与否不管正确与否, ,都是都是命题命题. . 如：相等的角是对顶角如：相等的角是对顶角. . 注意注意： 探究新知探究新知 例例 判判断下列四个语句
4、中，哪个是命题，断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？哪个不是命题？并并 说说明理由：明理由： （1）对顶角相等吗？）对顶角相等吗？ （2）画一条线段）画一条线段AB=2cm; ; （3）两条直线平行，同位角相等；）两条直线平行，同位角相等； （4）相等的两个角，一定是对顶角）相等的两个角，一定是对顶角. . 解：解：（3）（）（4）是命题，）是命题，（1）（2）不是命题）不是命题. . 理由如下：理由如下：（1）是问句，故不是命题）是问句，故不是命题； （2）是做一件事情，也不是命题）是做一件事情，也不是命题. . 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 命题的识别命题的识别 下列下
5、列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）对）对顶角相等顶角相等； （2）画画一个角等于已知角一个角等于已知角； （3）两）两直线平行，同位角相等直线平行，同位角相等； （4）a、b两条直线平行吗两条直线平行吗？ （5）温温柔的李明明柔的李明明； （6）玫玫瑰花是动物瑰花是动物； （7）若若a24，求，求a的值的值； （8）若若a2b2，则，则ab. 否否 是是 否否 否否 是是 否否 是是 是是 巩固练习巩固练习 观观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特 征？与同伴交流征？与同伴交流
6、. . （1）如果如果两个三角形的三条边相等，两个三角形的三条边相等，那么那么这两个三角形的周这两个三角形的周 长相等；长相等； （2）如果如果两个数的绝对值相等，两个数的绝对值相等，那么那么这两个数也相等；这两个数也相等； （3）如果如果一个数的平方等于一个数的平方等于9，那么那么这个数是这个数是3. . 都是“如果都是“如果那么那么”的”的形式形式. . 知识点 2 命题的构成命题的构成 探究新知探究新知 命题命题一般都可以写成“一般都可以写成“如果如果那么那么”的形式”的形式. . 1. .“如果如果”后接的部分是”后接的部分是题设题设, , 2. .“那么那么”后接的部分是后接的部分是
7、结论结论. . 如命题：熊猫没有翅膀如命题：熊猫没有翅膀. .改写为：改写为： 如果如果这个动物是熊猫，这个动物是熊猫，那么那么它就没有翅膀它就没有翅膀. . 注意：注意：添加“如果”“那么”后，命题的添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改意义不能改变，改 写的句子要完整，语句要通顺，写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，使命题的题设和结论更明朗， 易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. . 探究新知探究新知 命题命题 题设题设 结论结论 已知事项已知事项 由已知事项推出的由已知事项推出的 事项事项 两
8、直线平行，两直线平行， 同位角相等同位角相等 题设（条件）题设（条件） 结论结论 命题的组成：命题的组成： 探究新知探究新知 例例 分别把下列命题写成分别把下列命题写成“如果如果那么那么”的形式的形式. . ( (1) )两点确定一条直线；两点确定一条直线； ( (2) )等角的补角相等；等角的补角相等； ( (3) )内错角相等内错角相等. . 解解：( (1) )如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线； ( (2) )如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等； ( (3) )如果两
9、个角是内错角，那么这两个角相等如果两个角是内错角，那么这两个角相等. . 素养考点素养考点 1 命题表述形式的变换命题表述形式的变换 探究新知探究新知 请请将它们改写成“如果将它们改写成“如果，那么，那么”的形式”的形式. . （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； （3）互为相反数的两个数相加得）互为相反数的两个数相加得0； （4）同旁内角互补；）同旁内角互补； （5）对顶角相等）对顶角相等 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；如果两条直线被第三条直
10、线所截，那么同旁内角互补； 如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式； 如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0； 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补； 如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等 巩固练习巩固练习 有有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题 题设成立时，结论不一定成立题设成立时，结论不一定成立. 正确的命题叫正确的命题叫真命题真命题，错误的命题叫，错误的命
11、题叫假命假命题题. 如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错错 误误的命题的命题. 如命题：“如果一个数能被如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被整除，那么它也能被2整除”就是整除”就是 一个一个正确正确的命题的命题. . 确定一个命题真假的确定一个命题真假的方法方法： 利用已有的知识，通过利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例观察、验证、推理、举反例等方法等方法. 探究新知探究新知 知识点 3 真假命题的概念真假命题的概念 例例 下下列命题列命题哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？哪些命题是正确的，哪些命题是错误的
12、？ （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； （3）互为相反数的两个数相加）互为相反数的两个数相加得得0； （4）同旁内角互补；）同旁内角互补； （5）对顶角相等）对顶角相等 探究新知探究新知 真假命题的识别真假命题的识别 素养考点素养考点 1 下列下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？ （1）猪有四只脚；）猪有四只脚； （2）内错角相等内错角相等； （3）画一条直线；）画一条直线； （4）四边形是正
13、方形；）四边形是正方形； （5）你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？ （6）同位角相等，两直线平行；）同位角相等，两直线平行； （7）同角的补角相等；）同角的补角相等； （8）同垂直于一直线的两直线平行同垂直于一直线的两直线平行； （9）过点）过点P画线段画线段MN的垂线；的垂线； （10）x2. 是是 真命题真命题 否否 是是 假命题假命题 是是 假命题假命题 否否 是是 真命题真命题 是是 真命题真命题 是是 真命题真命题 否否 否否 巩固练习巩固练习 “因为因为早上我发现王五从苹果园那边过来，把一袋东西背回家，早上我发现王五从苹果园那边过来，把一袋东西背回家， 还发现我果园的苹果被人偷了
14、，我知道王五家没有苹果树还发现我果园的苹果被人偷了，我知道王五家没有苹果树. . 所以所以我家苹果肯定是王五偷的我家苹果肯定是王五偷的.”.” 情节情节1 1：一天早上，张一天早上，张老汉来到老汉来到公安局里告状说：王五刚公安局里告状说：王五刚 刚在他地里偷了一袋子苹果刚在他地里偷了一袋子苹果. .文局长立即派干警将王五传文局长立即派干警将王五传 唤到公安局审讯唤到公安局审讯: : 文局长问文局长问张老汉张老汉：“你怎知是王五偷了你的苹果你怎知是王五偷了你的苹果?” ?” 这种从已知条件出发（列出理由），这种从已知条件出发（列出理由）， 推断出结论的证明方法，叫综合法推断出结论的证明方法，叫综
15、合法. . 综合法是最常用的证明方法综合法是最常用的证明方法. . 知识点 4 证明和反证法（举反例）证明和反证法（举反例） 探究新知探究新知 张老汉想证明什么？张老汉想证明什么？ 他是怎么证明的？他是怎么证明的？ 根据张老汉的证明，你能根据张老汉的证明，你能 断定苹果是王五偷的吗？断定苹果是王五偷的吗？ 你觉得有疑点吗？你觉得有疑点吗？ 情节情节2：文局长一时拿不定主意，就问旁边的梁副局长：文局长一时拿不定主意，就问旁边的梁副局长：“梁梁 局长，你怎么看？局长，你怎么看？” 梁局长说梁局长说“这事要证明是王五干的，还得弄清那袋子里装的是这事要证明是王五干的，还得弄清那袋子里装的是 不是刚摘的
16、苹果，还要看看地里的脚印是不是王五的才行不是刚摘的苹果，还要看看地里的脚印是不是王五的才行. . 如果袋子里装的是刚摘的苹果，且地里的脚印是王五的，那就如果袋子里装的是刚摘的苹果，且地里的脚印是王五的，那就 一定是他偷一定是他偷的的.”.” 从结论出发，逆着寻找所需要的从结论出发，逆着寻找所需要的条件条件的思考过程，叫分析的思考过程，叫分析. . 在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可 从已知条件中推得从已知条件中推得. .那么证明就很容易了那么证明就很容易了. . 探究新知探究新知 在在很多情况下，很多情况下，一个命题的正确性需要
17、经过推理才能作出一个命题的正确性需要经过推理才能作出 判断，这个推理过程叫作判断，这个推理过程叫作证明证明. . 注意注意：证证明的每一步推理都要有明的每一步推理都要有根据根据，不能，不能“想当然想当然”.”. 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义定义、 基本事实、定理基本事实、定理等等. . 证明的概念证明的概念 探究新知探究新知 确定一个命题是假命题的方法：确定一个命题是假命题的方法： 例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举，可以举 出如下出如下反例反例： 如图，如图，OC是是AOB
18、的平分线，的平分线， 1=2，但它们不是对顶角，但它们不是对顶角. . ） ） 1 2 A O C B 只要举出一个例子（只要举出一个例子（反例反例）：它符合命题的题设，但不满）：它符合命题的题设，但不满 足结论即可足结论即可. . 【讨论讨论】如如何判定一个命题是假命题呢？何判定一个命题是假命题呢？ 举反例举反例 探究新知探究新知 分析：分析：要证明要证明AB，CD平行，就需平行，就需 要同位角相等的条件，图中要同位角相等的条件，图中1与与 3就是同位角就是同位角. .我们只要找到：我们只要找到： 能说明能说明它它们们相相等的条件就行了等的条件就行了. . 从图中，我们可以发现：从图中，我们
19、可以发现： 2与与3是对顶角，所以是对顶角，所以3=2. . 这样我们就找到了这样我们就找到了1与与3相等相等 的确切条件了的确切条件了. . 例例 如图，如图，1=2，试说明直线，试说明直线AB，CD平平行行. . 素养考点素养考点 1 利用证明推理解决问题利用证明推理解决问题 探究新知探究新知 证明：证明： 2与与3是对顶角，是对顶角， 3=2. 又又1=2, 1=3. ABCD. B D C E A F 1 2 3 如图如图所示所示，直线直线AB和直线和直线CD，直线，直线BE和直线和直线CF都被直线都被直线 BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设所截，在下面三个式子中，请
20、你选择其中两个作为题设， 剩下的一个作为结论剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程，组成一个真命题并写出对应的推理过程 ABCD，BECF，12 题设题设( (已知已知) )； 结论结论( (求证求证) )： 巩固练习巩固练习 理由：理由： 证明证明：ABCD， ABCDCB， 又又BECF. EBCFCB. ABCEBCDCBFCB， 12. 巩固练习巩固练习 数学数学中有些命题的正确性是人们在中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结长期实践中总结出来的，并出来的，并 把它们把它们作为判断其他命题真假的原始依据作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做，这样的真命题叫做
21、 公理公理. . 两点确定一条直线两点确定一条直线. . 两点间线段最短两点间线段最短. . 经过直线外的一点有且仅有一条直线与经过直线外的一点有且仅有一条直线与 已知直线平行已知直线平行. . 直线公理：直线公理： 线段公理：线段公理： 平行线公理：平行线公理： 公理公理的概念的概念 探究新知探究新知 知识点 5 公理和定理的概念公理和定理的概念 有些有些命题是命题是基本事实基本事实，还有些命题它们的正确性是，还有些命题它们的正确性是经过经过推理证推理证 实的，这样得到的真命题叫做实的，这样得到的真命题叫做定理定理. .定理定理也可也可以作为继续推理以作为继续推理 的依据的依据. . 同角或
22、等角的补角相等同角或等角的补角相等. . （2）余余角的性质：角的性质： 同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等. . （4）垂垂线的性质：线的性质： 在同一平面内过一点有且只有一条在同一平面内过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直；直线与已知直线垂直； （1）补补角的性质：角的性质： （3）对对顶角的性质：顶角的性质： 对顶角相等对顶角相等. . 垂线段最短垂线段最短. . 学过的定理：学过的定理： 定理的概念定理的概念 探究新知探究新知 例例 已知：已知：bc， ab 求证：求证：ac 证明：证明： a b（已知（已知）, , 1=90（垂直的定义（垂直的定义）. . 又又 b c（已知
23、（已知）, , 2=1=90（两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等）. . a c（垂直的定义）（垂直的定义）. . a b c 1 2 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用公理定理进行推理利用公理定理进行推理 填空填空: : 已知：如已知：如图，图，1=2，3=4， 求证：求证：EGFH 证明：证明：1=2（已知（已知）, , AEF=1 （ ）, , AEF=2 （ ） ABCD （ ） BEF=CFE （ ） 3=4（已知（已知）, ,BEF4=CFE3 即即GEF=HFE （ ） EGFH （ ） 对顶角相等对顶角相等 等量代换等量代换 同位角相等，两直线平行同位角相等
24、，两直线平行 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 等式性质等式性质 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 巩固练习巩固练习 给出下列说法给出下列说法: : ( (1) )两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截, ,同位角相等同位角相等; ; ( (2) )平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交, ,则它与另一则它与另一 条也相交条也相交; ; ( (3) )相等的两个角是对顶角相等的两个角是对顶角; ; ( (4) )从直线外一点到这条直线的垂线段从直线外一点到这条直线的垂线段, ,叫做这点到直线的距离叫做这点到直线的距离.
25、 . 其中正确的命题有其中正确的命题有( ( ) ) A.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个 B 连接中考连接中考 1. 如图如图所示所示，从，从12 CD AF 三个三个 条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命 题中，正确命题的个数为题中，正确命题的个数为( )( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 下列命题：下列命题： 两点确定一条直线；两点确定一条直线；两点之间两点之间，线段最短；线段最短；对顶角相对顶角相 等；等；内错角相等；内错角相等；
26、其中真命题的个数是其中真命题的个数是 ( ( ) ) A. 1个个 B. 2个个 C. 3个个 D. 4个个 C 课堂检测课堂检测 3. 下列选项中，可以用来说明命题下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角两个锐角的和是锐角” 是假命题的反例的是是假命题的反例的是 ( )( ) A. A30，B40 B. A30，B110 C. A30，B70 D. A30，B90 C 课堂检测课堂检测 4. 下列命题是真命题的是下列命题是真命题的是 ( )( ) A. 相等的角是对顶角相等的角是对顶角 B. 如果一个数能被如果一个数能被3整除，那么它也能被整除，那么它也能被6整除整除 C. 同旁内角
27、互补同旁内角互补 D. 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 D 课堂检测课堂检测 5. 如图如图所示所示，已知，已知AC与与BD相交于点相交于点O，OE是是AOD的平分线，的平分线， 可以作为假命题可以作为假命题“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”的反例的是的反例的是( )( ) A. AOBDOC B. EOCDOC C. EOBEOC D. EOCDOC C 课堂检测课堂检测 6.在下面的括号内，填上推理的依据在下面的括号内，填上推理的依据. . 如图，如图，AB CD,CB DE , , 求求证：证： B+ D=180 证明：证明： AB CD, B= C( ( ).). CB
28、 DE, C+ D=180( ( ).). B+ D=180( ( ).). 等量代换等量代换 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补 课堂检测课堂检测 A B C D E ( (1) )如图如图所示所示，若，若12，则，则ABCD，试判断该命题的真假：，试判断该命题的真假： ( (填填“真真”或或“假假”). ”). ( (2) )若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请 你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由. .
29、 假假 解解：加条件：加条件：BEFD. 理由如下：理由如下：BEFD，EBD FDN( (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等).). 又又12，ABDCDN. ABCD( (同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行).). 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 证明：证明：ABCD( (已知已知) )， BPQCQP( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) ) 又又PG平分平分BPQ，QH平分平分CQP( (已知已知) )， GPQ BPQ,HQP CQP( (角平分线的定义角平分线的定义) )， GPQHQP( (等量代换等量代换) )， PG
30、HQ( (内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行) ) 2 1 2 1 如如图，已知图，已知ABCD，直线，直线AB，CD被直被直 线线MN所截，交点分别为所截，交点分别为P，Q，PG平分平分 BPQ，QH平分平分CQP， 求证：求证：PGHQ. A B C D M N P Q H G 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 真命题真命题 假命题假命题 公理公理 定理定理 （只需举一个（只需举一个反例反例） （不需证明）（不需证明） （由（由推理推理证实）证实） 1.命题的命题的定义定义: 2.命题的命题的组成组成: 3.命题的命题的分类分类： 判断判断一件事情的句子一件事情的句子 题设题设和和结论结论 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
