1、28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形及其应用及其应用 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 28.2.2 28.2.2 应用举例应用举例( (第第1 1课时课时) ) 高跟鞋高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，深受很多女性的喜爱，但有时候， 如果鞋跟太高，也有可能如果鞋跟太高，也有可能“喜剧喜剧”变变“悲剧悲剧”.”. 导入新知导入新知 你知道你知道高跟鞋的鞋底高跟鞋的鞋底 与地面的夹角为与地面的夹角为多少度多少度时，时， 人脚的感觉最舒适人脚的感觉最舒适吗？吗？ 3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培 养学生养学生分析问题分析问题
2、、解决问题解决问题的能力的能力 1. 巩固巩固解直角三角形解直角三角形相关知识相关知识 . 素养目标素养目标 2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际能从实际问题中构造直角三角形，会把实际 问题转化为问题转化为解直角三角形解直角三角形的问题，并能灵活选的问题，并能灵活选 择三角函数解决问题择三角函数解决问题. （2）两锐角之间的）两锐角之间的关系；关系； （3）边角之间的）边角之间的关系关系. c aA A 斜边 的对边 sin c bB B 斜边 的对边 sin c bA A 斜边 的邻边 cos c aB B 斜边 的邻边 cos b a A A A 的邻边 的对边 tan a b B
3、 B B 的邻边 的对边 tan （1）三边之间的）三边之间的关系；关系； A B a b c C 探究新知探究新知 知识点知识点 利用解直角三角形解答简单的问题利用解直角三角形解答简单的问题 小小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点A 到达点到达点B时，它走过了时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶的在这段路程中缆车行驶的 路线与水平面的夹角为路线与水平面的夹角为30 ， ，你知道缆车垂直上升的距你知道缆车垂直上升的距 离是多少吗离是多少吗? ? A B A B D 30 300m 解：解：BD=ABsin30=150m 探究新知探究新知
4、 D A B C 小明乘坐索道缆车继续从点小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点到达比点B高高 200m的点的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60，缆车，缆车 行进速度为行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？，小明需要多长时间才能到达目的地？ A B D C E 60 200m 小明小明需要需要115.5s才才 能到达目的地能到达目的地. 探究新知探究新知 解：解： 2312=115.5（s） 30 例例1 2012年年6月月18日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫天宫”一号目标飞一号目标飞 行器成
5、功实现交会对接行器成功实现交会对接. “神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体在离地球一号的组合体在离地球 表面表面343km的圆形轨道上运行的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面如图，当组合体运行到地球表面P点点 的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最 远点与远点与P点的距离是多少（地球半径约为点的距离是多少（地球半径约为6 400km，取取3.142 ，结果结果 取整数）？取整数）？ O F P Q FQ是是O的切线，的切线，FQO为为 直角直角. 最远点最远点 求求 PQ的的长，要先长，要先
6、求求POQ的度数的度数 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 建立直角三角形模型解答简单的问题建立直角三角形模型解答简单的问题 解：解：设设FOQ =，FQ是是O切线，切线，FOQ是直角三角形是直角三角形 当组合体在当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的点正上方时，从中观测地球表面时的 最远点距离最远点距离P点约点约2051km. 探究新知探究新知 O F P Q 的长为的长为 PQ 18.36 . 18.3618.36 3.142 640064002051(km). 180180 【讨论讨论】从从前面前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的例题解答中，你能体会到解直角三角形 的应用
7、前提条件是什么吗？如何进行？的应用前提条件是什么吗？如何进行？ 【方法点拨方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函 数值的前提条件，故当题目中提供的并数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形非直角三角形时，需时，需 添加辅助线添加辅助线构造直角三角形构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题，然后运用三角函数解决问题 探究新知探究新知 小结 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 解直角三角形的应用：解直角三角形的应用： ( (1) )将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题( (画出平面图形，转化画出平面图形，转化 为为解直角三角形解
8、直角三角形的问题的问题) )； ( (2) )根据条件的特点，适当选用根据条件的特点，适当选用锐角三角函数锐角三角函数等知识去等知识去 解直角三角形；解直角三角形； ( (3) )得到得到数学问题数学问题答案；答案； ( (4) )得到得到实际问题实际问题答案答案. . 注：注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解. . 如如图，某人想沿着梯子爬上高图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角米的房顶，梯子的倾斜角 （梯子与地面的夹角）不能大于（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米？那
9、么梯子的长至少为多少米？ A B C 解：解：如图所示，依题意可知如图所示，依题意可知B= 60 答：答：梯子的长至少梯子的长至少4.62米米. . 巩固练习巩固练习 sin， AC B AB 448 3 4.62. sinsin6033 2 AC AB B 例例2 如图，秋千链子的长度为如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽，静止时的秋千踏板（大小忽 略不计）距地面略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角 指秋千链子与铅垂线的夹角）约为指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60，则秋千踏板与地面的，则秋千踏板与地面的 最大距离为多少？最
10、大距离为多少？ 0.5m 3m 60 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 建立直角三角形模型解答生活问题建立直角三角形模型解答生活问题 0.5m 3m A B C D E 60 探究新知探究新知 分析：分析：根据题意，可知根据题意，可知 秋千踏板与地面的最大秋千踏板与地面的最大 距离为距离为CE的长度的长度.因此，因此， 本题可抽象为：本题可抽象为：已知已知 DE=0.5m，AD=AB=3m， DAB=60，ACB为为 直角三角形，求直角三角形，求CE的长的长 度度. 解：解：CAB=60，AD=AB=3m， 3m A B D E 60 C AC=ABcosCAB=1.5m. CD=ADA
11、C=1.5m. CE=CD+DE=2.0m. 即秋千踏板与地面的最大距离为即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m. . 探究新知探究新知 F E A ( (1) )小华去实验楼做实验小华去实验楼做实验, , 两幢实验楼的高度两幢实验楼的高度AB=CD=20m , 两两楼间的距离楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为已知太阳光与水平线的夹角为30, 求求南楼的影子在北楼上有多高？南楼的影子在北楼上有多高？ 北北 A B D C 20m 15m 30 E F 南南 解：解：过点过点E作作EFBC， AFE=90，FE=BC=15m. 即南楼的影子在北楼上的高度即南楼的影子在北楼上的高度
12、为为 (20 5 3)m. = =(205 3)m.EC FB ABAF 巩固练习巩固练习 =tan30 =5 3m.AF FE ( (2) ) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影 响，请问楼间距响，请问楼间距BC至少应为多少米至少应为多少米? ? A B 20m ?m 北北 D C 30 南南 答案：答案：BC至少为至少为 20 3m. 巩固练习巩固练习 图图1是一辆吊车的实物图，图是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，是其工作示意图，AC是可以是可以 伸缩的起重臂伸缩的起重臂，其转动点，其转动点A离地面离地面BD的高度的高度AH为为3
13、.4m当当 起重臂起重臂AC长度为长度为9m，张角，张角HAC为为118时时，求操作平台，求操作平台 C离地面的高度（离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据结果保留小数点后一位：参考数据： sin280.47，cos280.88，tan280.53）. . 连接中考连接中考 图图1 图图2 连接中考连接中考 解：解：作作CEBD于于E，AFCE于于F，易得四边形，易得四边形AHEF为矩形，为矩形， EF=AH=3.4m，HAF=90. CAF=CAHHAF=11890=28. 在在RtACF中，中， ， CF=9sin28=90.47=4.23， CE=CF+EF=4.23+3.47.6
14、（m）， 答：答：操作平台操作平台C离地面的高度为离地面的高度为7.6m AC CF CAF sin 图图2 E F 1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、 B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从从树树A沿着垂直于沿着垂直于AB的方向走到的方向走到E，再从，再从E沿着垂直于沿着垂直于AE的的 方向走到方向走到F，C为为AE上一点，其中上一点，其中3位同学分别测得三组数据：位同学分别测得三组数据： AC，ACB；EF，DE， AD；CD，ACB，ADB其其 中能根据所测数据求得中能根据
15、所测数据求得A、B两两棵棵 树距离的有树距离的有( )( ) A. 0组组 B. 1组组 C. 2组组 D. 3组组 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 如图，要测量如图，要测量B点到河岸点到河岸AD的距离，在的距离，在A点测得点测得 BAD=30，在，在C点测得点测得BCD=60，又测得，又测得 AC=100米，则米，则B点到河岸点到河岸AD的距离为的距离为( )( ) B D C A A. 100米米 B. 米米 C. 米米 D. 50米米 50 3 200 3 3 B 课堂检测课堂检测 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的一次台风将一棵大树刮
16、断，经测量，大树刮断一端的 着地点着地点A到树根部到树根部C的距离为的距离为4米，倒下部分米，倒下部分AB与地平面与地平面 AC的夹角为的夹角为45，则这棵大树高是，则这棵大树高是 米米. . (44 2) A C B 4米米 45 课堂检测课堂检测 “欲穷千里目，更上一层楼欲穷千里目，更上一层楼”是是唐代诗人李白的不朽诗句唐代诗人李白的不朽诗句. . 如果我们想在地球上看到距观测点如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，里处景色，“更上更上 一层楼一层楼”中的楼至少有多高呢中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗存在这样的楼房吗( (设设AC 代表地面代表地面，O为地球球心，为地球球心，
17、C是地面上一点是地面上一点， AC=500km， 地球的半径为地球的半径为6370 km，cos4.5= 0.997) )？ 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 解：解：设登到设登到B处，视线处，视线BC在在C点与地球相切，也就是点与地球相切，也就是 看看C点，点，AB就是就是“楼楼”的高度，的高度， AB=OBOA=63896370=19(km). . 即这层楼至少要高即这层楼至少要高19km，即即19000m. 这是不存在的这是不存在的. 在在RtOCB中，中，O 180 4.5 ， AC OC 6370 6389 km coscos4.5 OC OB O ， 课堂检测
18、课堂检测 如如图，在电线杆上的图，在电线杆上的C处引拉线处引拉线CE，CF固定电线杆固定电线杆. 拉线拉线CE 和地面成和地面成60角，在离电线杆角，在离电线杆6米的米的A处测得处测得AC与水平面的与水平面的 夹角为夹角为30，已知，已知A与地面的距离为与地面的距离为1.5米，求米，求拉线拉线CE的的长长. （结果保留根号）（结果保留根号） 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 G CD=CG+DG= ( ( +1.5) ) ( (米米) )， 3 2 31.543 sin602 CD CE ( (米米).). 课堂检测课堂检测 解：解：作作AGCD于点于点G， 则则AG=B
19、D=6米，米，DG=AB=1.5米米. . tan30CGAG 3 62 3 3 (米). 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题；将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案；得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案得到实际问题的答案. 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
