1、27.2 27.2 相似三角形相似三角形 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 27.2.1 27.2.1 相似三角形相似三角形的的判定判定 ( (第第1 1课时课时) ) 1.相似多边形的特征是什么？相似多边形的特征是什么？ 2.怎样判定两个多边形相似？怎样判定两个多边形相似？ 3.什么叫相似比？什么叫相似比？ 4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形如果相似多边形中，最简单的就是相似三角形如果A A1， BB1，CC1， ， 那么那么ABC与与 A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？ 导入新知导入新知 111111
2、 CB BC CA AC BA AB A B C A1 B1 C1 1. 理解理解相似三角形相似三角形的概念的概念，并会用以证明和计算并会用以证明和计算. . 2.体会用相似符号“体会用相似符号“”表示的相似三角形之间的”表示的相似三角形之间的 边，角对应边，角对应关系关系. . 素养目标素养目标 3. 掌握掌握平行线分线段成比例平行线分线段成比例的基本事实及其推论的基本事实及其推论 的的应用应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证，会用平行线判定两个三角形相似并进行证 明和计算明和计算. . 请分别度量请分别度量l3 , l4, l5. .在在l1 上截得的两条线段上截得的两条线段AB,
3、BC和在和在l2 上截得上截得 的两条线段的两条线段DE, EF的长度的长度, , AB： BC与与DE：EF相等吗？任意平移相等吗？任意平移 l5 , , 再量度再量度AB, BC, DE, EF的长度的长度, , 它们的比值还相等吗？它们的比值还相等吗？ 猜 想 猜 想 A B C D E F l2 探究新知探究新知 l1 除此之外除此之外， 还有其他对应线还有其他对应线 段成比例吗？段成比例吗？ l2 l3 l4 l5 知识点 1 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 2 3 3 4 3 2 BC AB 若若 ，那么那么 ? EF DE 若若 ， 那么那么 4 3 BC AB ?
4、 EF DE 即即 ABDE BCEF 事实上，当事实上，当l3 /l4 / l5时，都可以得到时，都可以得到 ， 还可以得到还可以得到 ， ， 等等. . A B C D E F l3 l4 l5 l1 l2 EF DE BC AB DE EF AB BC DF DE AC AB DF EF AC BC 通过通过探究，探究， 你得到了什么规你得到了什么规 律呢？律呢？ 探究新知探究新知 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. . 符号语言：符号语言
5、： 若若ab c ， 则则 ， ， 1212 2323 A AB B A AB B 归纳：归纳： A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c 2323 1212 A AB B A AB B 1212 1313 A AB B A AB B ， 2323 1313 A AB B A AB B a 探究新知探究新知 1. . 如何理解“对应线段”？如何理解“对应线段”？ 2. .“对应线段”成比例都有哪些表达形式？“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 【想一想想一想】 探究新知探究新知 如如图，已知图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是下列比例式中错误的是 ( )( ) A. B. C. D.
6、DF BD CE AC BF BD AE AC CEDF AEBF AC BD BF AE D A C E B D F l2 l1 l3 巩固练习巩固练习 如如图，直线图，直线l3l4l5，由，由平行线分线段成比例的基本事平行线分线段成比例的基本事 实，我们可以得出图中对应成比例的线段，实，我们可以得出图中对应成比例的线段， A B C D E F l4 l5 l1 l2 l3 把直线把直线 l1向左或向右任意平向左或向右任意平 移，这些线段依然成比例移，这些线段依然成比例. . 探究新知探究新知 知识点 2 平行线分线段成比例定理的推论平行线分线段成比例定理的推论 【思考思考】 如果把图如果
7、把图1中中l1 , l2两条直线相交，交点两条直线相交，交点A刚刚 好落到好落到l3上，如图上，如图2（1），），所得的对应线段的比会所得的对应线段的比会 相等吗？依据是什么？相等吗？依据是什么？ A B C D E F l3 l4 l5 l1 l2 探究新知探究新知 图图1 图图2（1） A （D） E F C B 【思考思考】如果把图如果把图1中中l1 , l2两条直线相交，交点两条直线相交，交点A 刚好落到刚好落到l4上，如图上，如图2（2）所得的对应线段的比会所得的对应线段的比会 相等吗？依据是什么？相等吗？依据是什么？ 探究新知探究新知 图图1 1 图图2 2（2 2） A B C
8、D E F l3 l4 l5 l1 l2 B C E A D l1 l2 l3 l4 l5 l2 l3 l1 l3 l l 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边( (或或 两边的延长线两边的延长线) )所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例. . A B C D E l2 A B C D E l1 l l 探究新知探究新知 归纳：归纳： 巩固练习巩固练习 如如图图, ,l1l2l3， ，DE6，求，求DF的长的长 AB BC 3 2 解：解：l1l2l3， . 又又 ，DE6， ， 解得解得EF4. DFDEEF6410. ABDE BCEF AB BC 3 2
9、EF 63 2 l1 l2 l3 例例 如图，在如图，在ABC中中，DEBC，AC=4 ，AB=3， EC=1.求求AD和和BD. AE=3. 解：解：AC=4，EC=1， DEBC， AD=2.25， BD=0.75. . ADAE ABAC 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用平行线分线段成比例定理及推论求利用平行线分线段成比例定理及推论求线段线段长度长度 如图，在如图，在ABC中中，EFBC，AE=2cm， BE=6cm，FC=3cm，AF的长为的长为_ 1cm 巩固练习巩固练习 如图，在如图，在ABC中，中，D为为AB上任意一点，过点上任意一点，过点D作作BC的的 平行线平行线
10、DE，交，交AC于点于点E. 问题问题1 ADE与与ABC的三个角分别相等吗？的三个角分别相等吗？ 问题问题2 分别度量分别度量ADE与与ABC的边长，它们的边的边长，它们的边 长是否对应成比例？长是否对应成比例？ B C A D E 探究新知探究新知 知识点 3 相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理 问题问题3 你认为你认为ADE与与ABC之间有什么关系？平行移动之间有什么关系？平行移动DE 的位置，你的结论还成立吗？的位置，你的结论还成立吗？ 通过度量，我们发现通过度量，我们发现ADEABC， 且只要且只要DEBC，这个结论恒成立这个结论恒成立. 探究新知探究新知 B C A D E
11、【思考思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道我们通过度量三角形的边长，知道ADE ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 2.由前面的结论，我们可以得到什由前面的结论，我们可以得到什 么？还需证明什么？么？还需证明什么？ 探究新知探究新知 用用相似的定义证明相似的定义证明ADEABC B C A D E A B C D E 证明证明: :在在ADE与与ABC中，中， A= A. DE/BC, ADE=B, AED=C， 过过E作作EF/AB交交BC于于F, 四边形四边形DBFE是是平行四边形平行四边形, F DE=BF . ADEA
12、BC . 探究新知探究新知 . ADAE ABAC AEBF ACBC . BC DE AC AE . ADAEDE ABACBC 则则 已知：如图已知：如图，在，在ABC中，中，DE/BC，且且DE分别交分别交AB ， AC 于点于点D、E 求证：求证：ADEABC . “A”型型 “X”型型 （图（图2） D E O B C A B C D E （图（图1） 探究新知探究新知 定理：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交平行于三角形一边的直线和其他两边相交, ,所构成所构成 的三角形与原三角形相似的三角形与原三角形相似. . 符号语言：符号语言： DE/BC, ADEABC 【讨论讨论
13、】过点过点D作与作与AC平行的直线与平行的直线与BC相交，可否证明相交，可否证明 ADEABC？如果在三角形中出现一边的平行线，？如果在三角形中出现一边的平行线， 那么你应该联想到什么？那么你应该联想到什么？ 【方法总结方法总结】过点过点D作与作与AC平行的直线与平行的直线与BC相交，相交， 仍可证明仍可证明ADEABC，这与教材第，这与教材第31页证法页证法 雷同题目中有平行线，可得雷同题目中有平行线，可得相似三角形相似三角形，然后，然后 利用相似三角形的性质，可列出比例式利用相似三角形的性质，可列出比例式 探究新知探究新知 已知已知：如图，：如图，ABEFCD，图中共有图中共有_对相似三角
14、形对相似三角形. 3 C D A B E F O 相似具有传递性相似具有传递性 巩固练习巩固练习 连接中考连接中考 A 如图如图，在，在ABC中，中，DEBC，DE分别与分别与AB，AC相交于点相交于点D，E， 若若AD=4，DB=2，则则DE：BC的值为的值为（ ） A B C D 2 3 1 2 3 4 3 5 1. 如图，在如图，在 ABC 中，中，EFBC，AE=2cm， BE=6cm，BC = 4 cm，EF 长（长（ ） A A B C E F A. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cm 4 3 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 5 A B C
15、E D F G 2.如图如图，DEBC， ， ； FGBC， ，则则 . AD AB AE AC 2 5 AG CG 2 AF AB 2 3 课堂检测课堂检测 3.如图，在如图，在ABC中，中， EFBC. （ 1 ）如果）如果E、F分别是分别是 AB 和和 AC 上的点，上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么，那么 AF 的长是多少？的长是多少？ A B C E F 解：解： AEAF BEFC ， AF 7 74 ， 解得解得 AF = 4. . 课堂检测课堂检测 ( (2) ) 如果如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么，那么 FC 的长是多少？的长是多少？ 解：
16、解： AEAF ABAC ， AC 65 10 ， 解得解得 . AC 25 3 .FCACAF 2510 5 33 A B C E F 课堂检测课堂检测 如如图所示，如果图所示，如果D，E，F分别在分别在OA，OB，OC上，且上，且 DFAC，EFBC 求证求证：ODOAOEOB . ODOF OAOC OFOE OCOB ， . ODOE OAOB 证明：证明： DFAC， EFBC， 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 如如图，已知菱形图，已知菱形 ABCD 内接于内接于AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长，求菱形的边长. 解：解： 四边形四边形
17、ABCD 为菱形，为菱形， B C A D E F CDAB， . CDDF AEAF 设菱形的边长为设菱形的边长为 x cm，则，则CD = AD = x cm，DF = ( (4x ）cm， 解得解得 菱形的边长为菱形的边长为 cm. 4 54 xx ， 20 9 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 9 20 x 两条直线被一组平行线所截，所得的对两条直线被一组平行线所截，所得的对 应线段成比例应线段成比例. . 推论推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例两边延长线），所得的对应线段成比例. . 相似三角形判定的引理相似三角形判定的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似交，所构成的三角形与原三角形相似. . 基本事实基本事实 平 行 线 分 线 段 平 行 线 分 线 段 成成 比 例 定 理 及 比 例 定 理 及 其 推 论 其 推 论 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
