1、12019 年河南省普通高中招生考试 1 数 学 (满分 120 分,考试时间 100 分钟) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.- 的绝对值是 ( ) A.- B. C.2 D.-2 2.成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.000 004 6 克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为 ( ) A.4610 -7 B.4.610 -7 C.4.610 -6 D.0.4610 -5 3.如图,ABCD,B=75,E=27,则D的度数为 ( ) A.45 B.48 C.50 D.58 4.下列计算正确的是 ( ) A.2a+3a=6a B.(-3a) 2=6a2 C.(
2、x-y) 2=x2-y2 D.3 - =2 5.如图(1)是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图(2).关于平移前后几何体的三视图, 下列说法正确的是 ( ) 图(1) 图(2) A.主视图相同 B.左视图相同 C.俯视图相同 D.三种视图都不相同 6.一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.某超市销售 A,B,C,D 四种矿泉水,它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的 矿泉水的平均单价是 ( ) A.1.
3、95 元 B.2.15 元 C.2.25 元 D.2.75 元 8.已知抛物线y=-x 2+bx+4 经过(-2,n)和(4,n)两点,则 n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 9.如图,在四边形ABCD中,ADBC,D=90,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心、大于 AC 的长为半径作弧,两弧交于点E,作 射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为 ( ) A.2 B.4 C.3 D. (第 9 题) (第 10 题) 10.如图,在OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每
4、次旋转 90,则 第 70 次旋转结束时,点D的坐标为 ( ) A.(10,3) B.(-3,10) C.(10,-3) D.(3,-10) 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.计算: -2 -1= . 12.不等式组 - - 的解集是 . 13.现有两个不透明的袋子,一个装有 2 个红球、1 个白球,另一个装有 1 个黄球、2 个红球,这些球除颜色外完全相同. 从两个袋子中各随机摸出 1 个球,摸出的 2 个球颜色相同的概率是 . 14.如图,在扇形AOB中,AOB=120,半径OC交弦AB于点D,且OCOA.若OA=2 ,则阴影部分的面积为 . (第 14 题) (第 15
5、题) 15.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接 AE,将ABE沿AE折叠,若点B的对应点B落在矩形 ABCD的边上,则a的值为 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16.(8 分)先化简,再求值:( - -1) - - ,其中 x= . 17.(9 分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90,以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不与点B,D重合的任意一 点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G. (1)求证:ADFBDG; (2)填空: 若AB=4,且点E是 的中点,则DF的长为 ; 取 的中点H,连接EH
6、,OH,当EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形. 18.(9 分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试, 并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下: a.七年级成绩频数分布直方图: b.七年级成绩在 70 x0)的图象如图所示,函数 y=-x+ 的图象可由直线 y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x. (3)平移直线y=-x,观察函数图象 当直线平移到与函数y= (x0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长 m的值为 ; 在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范
7、围. (4)得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具,则周长m的取值范围为 . 22.(10 分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转 得到线段DP,连接AD,BD,CP. (1)观察猜想 如图(1),当=60时, 的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 . (2)类比探究 当=90时,请写出 的值及直线 BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图(2)的情形说明理由. (3)解决问题 当=90时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值. 图(1)
8、 图(2) 备用图 23.(11 分)如图,抛物线y=ax 2+ x+c 交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=- x-2 经过点 A,C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m. 连接PC,当PCM是直角三角形时,求点P的坐标; 作点B关于点C的对称点B,则平面内存在直线l,使点M,B,B到该直线的距离都相等,当点P在y轴右侧的抛物线上, 且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示) 备用图 1 2019 年河南省普通高中招生考试 1.B 【解析】 根据负数的绝对值等于它的
9、相反数,可知|- |= . 2.C 【解析】 0.0000046=4.610 -6,故选 C. 3.B 【素养落地】 本题考查平行线的性质,体现了逻辑推理的核心素养. 【解析】 如图,ABCD,1=B=75,又1=D+E,D=1-E=75-27=48,故选 B. 4.D 【素养落地】 本题考查了整式的运算、二次根式的运算,体现了数学运算的核心素养. 【解析】 2a+3a=(2+3)a=5a,故 A 项错误;(-3a) 2=(-3)2a2=9a2,故 B 项错误;(x-y)2=x2-2xy+y2,故 C 项错误;3 - =2 ,故 D 项 正确. 5.C 【素养落地】 本题考查几何体的三视图,体
10、现了直观想象的核心素养. 【解析】 根据俯视图的定义,可知平移前后几何体的俯视图相同,均如图所示,故选 C. 6.A 【解析】 把该方程变形为一般形式,为x 2-2x-4=0,由一元二次方程根的判别式 =b 2-4ac=(-2)2-41(-4)=200, 可知该方程有两个不相等的实数根.故选 A. 7.C 【素养落地】 本题考查扇形统计图的识图能力及平均数的求解方法,体现了数据分析的核心素养. 【解析】 510%+315%+255%+120%=2.25(元),故这天销售的矿泉水的平均单价为 2.25 元. 8.B 【素养落地】 本题考查二次函数的图象与性质,体现了逻辑推理的核心素养. 【解析】
11、 根据该抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,可知这条抛物线的对称轴是直线x=- =1,- - =1,解得 b=2,该抛物线 的解析式为y=-x 2+2x+4,把 x=4 或x=-2 代入,得y=-4,即n=-4. 9.A 【素养落地】 本题考查尺规作图、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等,体现了逻辑推理的核心素养. 【解析】 由作图可知,点E在线段AC的垂直平分线上,又点O是AC的中点,直线BE是线段AC的垂直平分 线,AB=BC=3.过点B作BMAD于点M,则四边形BMDC为矩形,BM=CD,DM=BC=3,AM=1.根据勾股定理,可得 BM= - = - =2 ,即CD=2 .故选 A
12、. 10.D 【素养落地】 本题考查旋转的性质,体现了直观想象、逻辑推理的核心素养. 【解析】 根据题意,易知在旋转过程中,组合图形每 4 次一循环,而 704=172,第 70 次旋转结束时,组合图形的 位置如图所示,延长DA交x轴于点E,易知AEx轴,则OE=3,AE=4,AD=AB=2OE=6,DE=AD+AE=10,故点D的坐标为(3,- 10),故选 D. 11. 【解析】 原式=2- = . 12.x-2 【素养落地】 本题考查不等式组的解法,体现了数学运算的核心素养. 【解析】 解不等式 -1,得 x-2,解不等式-x+74,得x3,故不等式组的解集为x-2. 技法 1 求不等式
13、解集公共部分的两种方法 不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分,找公共部分常用的方法有两种. 1.数轴法 把不等式组中所有不等式的解集在同一条数轴上表示出来,利用数形结合思想,直观地得到公共部分.两个一元一次不等 式所组成的不等式组的解集有以下四种类型(设ab 同小型 xa 大小小 大型 ax0,当a取最小值时,w取最小值. a (30-a), a7.5, 又a为正整数, 当a=8 时,w取得最小值. 30-8=22. 故当购买 A 奖品 8 个,B 奖品 22 个时最省钱.(9 分) 21.【参考答案及评分标准】 (1)一 (1 分) (2)画直线y=-x如图所示: (3 分)
14、(3)8 (4 分) 直线与函数y= (x0)的图象交点还有两种情况: 当有 0 个交点时,周长m的取值范围是 0m8. (8 分) (4)m8 (10 分) 22.【素养落地】 本题是几何图形的类比探究题,主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角 形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用等,体现了逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解题思路】 (1)利用“SAS”证得ACPABD,可得CP=BD,ACP=ABD,继而可得直线BD与直线CP相交所成的较 小角等于BAC.(2)根据(1)中的思路,可以证明DABPAC,直线BD与直线CP相交所成的较小角仍然等于B
15、AC.(3)分 点P在线段CD上和点P在线段CD延长线上两种情况进行讨论即可. 【参考答案及评分标准】 (1)1 60 (2 分) 解法提示:AC=BC,ACB=60, ABC是等边三角形, CAB=60,AC=AB. 由旋转可得APD=60,AP=PD, APD是等边三角形, PAD=60=CAB,AP=AD, CAP=BAD, 图(1) ACPABD, CP=BD,ACP=ABD, =1. 如图(1),延长CP,BD交于点M,CM与AB交于点N, 在ANC和BNM中, ACN=MBN,CNA=BNM, M=CAN=60. (2) = ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为 45. (
16、4 分) 理由如下: ACB=90,CA=CB, CAB=45, = . 同理可得PAD=45, = , = ,CAB=PAD, CAB+DAC=PAD+DAC,即DAB=PAC, DABPAC, (6 分) = = ,DBA=PCA. 设BD交CP于点G,交CA于点H. BHA=CHG, CGH=BAH=45. (8 分) (3) 的值为 2+ 或 2- . (10 分) 解法提示:分两种情况. 如图(2),当点P在线段CD上时,APCD.可设CP=a,则BD= a. 设CD与AB交于点Q, 则PQ=CP=a. 可证DQB=DBQ=67.5,则DQ=BD= a, 易得AD= PD=2a+ a
17、, =2+ . 图(2) 图(3) 如图(3),当点P在CD延长线上时,可设AP=DP=b,则AD= b. 易得EFAB,PEA=CAB=45, 可证ECD=EAD=22.5, CD=AD= b,CP= b+b, =2- . 技法 5 类比探究型问题的解题通法 类比探究型问题是共性条件与特殊条件相结合、由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入、解题思 路一脉相承的综合性题目.解决类比探究型问题的一般方法: 1.根据题干,结合分支条件解决第一问; 2.用解决上一问的方法类比解决下一问,如果不能,两问结合起来分析,找出不能类比的原因和不变特征,依据不变特征, 探索新的解题方法(照搬字
18、母,照搬辅助线,照搬全等或相似,也就是知识的迁移). 23.【解题思路】 (1)根据直线AC的解析式求出点A,C的坐标,再分别代入抛物线的解析式,联立成方程组求解即 可.(2)由PCM是直角三角形,CMP90,可知分PCM=90和MPC=90两种情况进行讨论,据此求解即可;易知 满足条件的直线l即为MBB的三条中位线所在的直线,故先求出点B,B,M的坐标,再求出线段BM,BM的中点坐标,即可 求得直线l的解析式. 【参考答案及评分标准】 (1)直线y=- x-2 经过点 A,C, A(-4,0),C(0,-2). 抛物线y=ax 2+ x+c 经过点A,C, - - 解得 - 故抛物线的解析式
19、为y= x 2+ x-2. (3 分) (2)点P的横坐标为m, 点P的坐标为(m, m 2+ m-2). 当PCM是直角三角形时,因PMC90,故分以下两种情况讨论. (i)当CPM=90时,PCx轴,则 m 2+ m-2=-2, 解得m1=0(舍去),m2=-2. 点P的坐标为(-2,-2). (5 分) (ii)方法一:当PCM=90时,如图,过点P作PNy轴于点N, CNP=AOC=90. NCP+ACO=OAC+ACO=90, NCP=OAC, CNPAOC, = . C(0,-2),N(0, m 2+ m-2), CN= m 2+ m, = ,解得 m3=0(舍去),m4=6. 当
20、m=6 时, m 2+ m-2=10, 点P的坐标为(6,10). 方法二:当PCM=90时,PCAC, 易得直线PC的解析式为y=2x-2, 令 2x-2= x 2+ x-2, 解得x1=0(舍去),x2=6, xP=6, yP=10, 点P的坐标为(6,10). 综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8 分) 直线l的解析式为y=x- m-2,y=- - x-2 或 y= - x-2. (11 分) 解法提示:易得B(2,0),M(m,- m-2). 点B和点B关于点C(0,-2)对称, 由中点坐标公式可得B(-2,-4). 连接MB,取MB的中点Q,则Q( ,- m-1
21、). 连接MB,取MB的中点G,则G( - ,- m-3). 点B,B,M到直线l的距离相等, 直线l是MBB的中位线所在的直线. (i)当直线l过点C(0,-2)和Q( ,- m-1)时,b=-2, 将Q( ,- m-1)代入 y=kx-2, 得- m-1=k -2, 解得k= - , 故直线l的解析式为y= - x-2. (ii)当直线l过点C(0,-2)和G( - ,- m-3)时,b=-2, 将G( - ,- m-3)代入 y=kx-2, 得- m-3=k - -2, 解得k=- - , 故直线l的解析式为y=- - x-2. (iii)当直线l过点Q( ,- m-1)和 G( - ,- m-3)时, 有 - - - - - 解得 - - 故直线l的解析式为y=x- m-2. 综上所述,直线l的解析式为y= - x-2,y=- - x-2 或 y=x- m-2.
