1、. 中档大题规范练中档大题规范练 2 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 1.如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD 2，PAPD，底 面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，ABBC1，O 为 AD 的中点. (1)求证：PO平面 ABCD； (2)求 B 点到平面 PCD 的距离； (3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 QACD 的余弦值为 6 3 ？若存在，求出PQ QD的 值；若不存在，请说明理由. (1)证明 因为 PAPD 2，O 为 AD 的中点， 所以 POAD，因为侧面 PAD底面 ABCD， 所以 PO平面 AB
2、CD . (2)解 以 O 为原点，OC，OD，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1). PB (1，1，1)，设平面 PDC 的法向量为 u(x，y，z)，CP(1，0，1)，PD (0，1， 1). 则 ? ? ? ? ? u CP，xz0， u PD，yz0， 取 z1，得 u(1，1，1)， B 点到平面 PDC 的距离 d|BP， u| |u| 3 3 . (3)解 假设存在，则设PQ PD (01)， 因为PD (0，1，1)，所以 Q(0，1)， . 设平面 CAQ 的法向量
3、为 m(a，b，c)， 则 ? ? ? ? ? m AC，0， m AQ，0， 即 ? ? ? ? ab0， ?1?b?1?c0， 所以取 m(1，1，1)， 平面 CAD 的法向量 n(0，0，1)， 因为二面角 QACD 的余弦值为 6 3 ， 所以|m n| |m|n| 6 3 ， 所以 321030， 所以 1 3或 3(舍去)，所以 PQ QD 1 2. 2.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E 为 AB 的中点，F 为 D1E 上 的一点，D1F2FE. (1)证明：平面 DFC平面 D1EC； (2)求二面角 ADFC 的大小. (1)证明 以 D
4、为原点，分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空 间直角坐标系， 则 A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2). E 为 AB 的中点， E 点坐标为(1，1，0)， D1F2FE， D1F 2 3D1E 2 3 (1，1，2)(2 3， 2 3， 4 3)， DF DD1 D1F (0，0，2)(2 3， 2 3， 4 3)( 2 3， 2 3， 2 3). 设 n(x，y，z)是平面 DFC 的法向量， . 则 ? ? ? ? ? n DF 0， n DC 0， ? ? ? ? ? 2 3x 2 3y 2 3z0， 2y0，
5、 取 x1 得平面 FDC 的一个法向量 n(1，0，1). 设 p(x，y，z)是平面 ED1C 的法向量， 则 ? ? ? ? ? p D1F 0， p D1C 0， ? ? ? ? ? 2 3x 2 3y 4 3z0， 2y2z0， 取 y1 得平面 D1EC 的一个法向量 p(1，1，1). n p(1，0，1) (1，1，1)0， 平面 DFC平面 D1EC. (2)解 设 q(x，y，z)是平面 ADF 的法向量， 则 q DF 0，q DA 0. ? ? ? ? ? 2 3x 2 3y 2 3z0， x0， 取 y1 得平面 ADF 的一个法向量 q(0，1，1)， 设二面角 A
6、DFC 的平面角为 ， 由题中条件可知 ( 2，)， 则 cos | n q |n| |q| 001 2 2 1 2， 二面角 ADFC 的大小为 120 . 3.如图所示，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2，A1A4，点 D 是 BC 的 中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值. 解 (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0， 0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)， . 所以A1B (2，
7、0，4)，C1D (1，1，4). 因为 cosA1B ，C1D A1B， C 1D |A1B |C1D | 18 20 18 3 10 10 ， 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为3 10 10 . (2)设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y，z)， 因为AD (1，1，0)，AC1 (0，2，4)， 所以 n1 AD 0，n1 AC1 0， 即 xy0 且 y2z0， 取 z1，得 x2，y2， 所以 n1(2，2，1)是平面 ADC1的一个法向量. 取平面 AA1B 的一个法向量为 n2(0，1，0)， 设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 . 由|co
8、s |? ? ? ? n1 n2 |n1|n2| 2 9 1 2 3， 得 sin 5 3 . 因此，平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 5 3 . 4.如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAD底面ABCD， 其中底面ABCD为等腰梯形， ADBC， PAABBCCD2，PD2 3，PAPD，Q 为 PD 的中点. (1)证明：CQ平面 PAB； (2)求二面角 DAQC 的余弦值. (1)证明 如图所示，取 PA 的中点 N，连接 QN，BN. . 在PAD 中，PNNA，PQQD， 所以 QNAD，且 QN1 2AD. 在APD 中，PA2，PD2 3，PAPD， 所以
9、AD PA2PD222?2 3?24， 而 BC2，所以 BC1 2AD. 又 BCAD，所以 QNBC，且 QNBC， 故四边形 BCQN 为平行四边形，所以 BNCQ. 又 CQ?平面 PAB，BN?平面 PAB，所以 CQ平面 PAB. (2)解 如图，在平面 PAD 内，过点 P 作 POAD 于点 O，连接 OB. 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PO平面 ABCD. 又 POAD，APPD， 所以 POAPPD AD 22 3 4 3， 故 AO AP2PO222? 3?21. 在等腰梯形 ABCD 中，取 AD 的中点 M，连接 BM，又 B
10、C2，AD4，ADBC，所以 DM BC2，DMBC，故四边形 BCDM 为平行四边形. 所以 BMCDAB2. 在ABM 中，ABAMBM2，AOOM1， 所以 BOAD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 BO平面 PAD. 如图，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OD，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系，则 O(0，0，0)，D(0，3，0)，A(0，1，0)，B( 3，0，0)，P(0，0， 3)，C( 3， 2，0)，则AC ( 3，3，0). . 因为 Q 为 DP 的中点，故 Q? ? ? ? 0，3 2， 3 2 ，
11、所以AQ ? ? ? ? 0，5 2， 3 2 . 设平面 AQC 的法向量为 m(x，y，z)， 则 ? ? ? ? ? mAC ， mAQ ， 可得 ? ? ? m AC 3x3y0， m AQ 5 2y 3 2 z0， 令 y 3，则 x3，z5. 故平面 AQC 的一个法向量为 m(3， 3，5). 因为 BO平面 PAD， 所以OB ( 3，0，0)是平面 ADQ 的一个法向量. 故 cosOB ，m OB m |OB | |m| 3 3 3 32? 3?252 3 37 3 37 37 . 从而可知二面角 DAQC 的余弦值为3 37 37 . 5.在四棱锥PABCD中， 侧面PC
12、D底面ABCD， PDCD， 底面ABCD是直角梯形， ABCD， ADC90 ，ABADPD1，CD2. (1)求证：BC平面 PBD； (2)在线段 PC 上是否存在一点 Q，使得二面角 QBDP 为 45 ？若存在，求PQ PC的值；若 不存在，请说明理由. (1)证明 平面 PCD底面 ABCD，PDCD， 所以 PD平面 ABCD，所以 PDAD. 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz， . 则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)， DB (1，1，0)，BC (1，1，0)， 所以BC DB 0，BCDB， 又由 PD平面 ABCD，
13、可得 PDBC， 因为 PDBDD， 所以 BC平面 PBD. (2)解 平面 PBD 的法向量为BC (1，1，0)， PC (0，2，1)，设PQ PC ，(0，1)， 所以 Q(0，2，1)， 设平面 QBD 的法向量为 n(a，b，c)， DB (1，1，0)，DQ (0，2，1)， 由 n DB 0，n DQ 0， 得 ? ? ? ? ab0， 2b?1?c0， 令 b1，所以 n(1，1， 2 1)， 所以 cos 45 |n BC | |n|BC | 2 2 2? 2 1? 2 2 2 ， 注意到 (0，1)，得 21， 所以在线段 PC 上存在一点 Q，使得二面角 QBDP 为 45 ，此时PQ PC 21.
