1、第三章第三章 万有引力定律万有引力定律 第三节第三节 万有引力定律的应用万有引力定律的应用 学学 习习 目目 标标 STSE 情情 境境 导导 学学 1.理解万有引力与重力理解万有引力与重力 的关系的关系.（重点）（重点） 2.了解天王星和冥王星了解天王星和冥王星 的发现过程的发现过程. 3.会用万有引力定律计会用万有引力定律计 算天体的质量和密度算天体的质量和密度 （重点、难点）（重点、难点） 通过测量月球绕通过测量月球绕地球地球 转动的转动的半径半径和周期，和周期， 估算地球质量估算地球质量 卫星运行时受卫星运行时受 万万有引力的作用有引力的作用 知识点一知识点一 预测地球形状预测地球形状
2、 1.牛顿的预测牛顿的预测. 牛顿通过万有引力定律的理论计算，大胆预测：地球由牛顿通过万有引力定律的理论计算，大胆预测：地球由 于于自转自转作用，赤道部分应该作用，赤道部分应该隆起隆起，成为两极，成为两极扁平扁平的椭球体的椭球体. 2.万有引力的分力万有引力的分力. 假设地球是一个半径为假设地球是一个半径为 R 且密度均匀的球体，质量为且密度均匀的球体，质量为 M，在纬度，在纬度 处相对于地球静止地悬挂着一个质量为处相对于地球静止地悬挂着一个质量为 m 的的 物体，它受到地球的引力大小物体，它受到地球的引力大小 FGMm R2 ，方向沿地球半径，方向沿地球半径 指向指向球心球心，如图所示，如图
3、所示.该引力主要产生两大作用效果，一方该引力主要产生两大作用效果，一方 面是在竖直方向上与物体受到的面是在竖直方向上与物体受到的拉力拉力平衡， 另一方面是提供平衡， 另一方面是提供 物体随地球一起自转的物体随地球一起自转的向心力向心力.因此，可以将引力因此，可以将引力 F 分解为分解为 F1和和 F2两个分量两个分量. 分力分力 F1FT，就是我们所熟悉的，就是我们所熟悉的重力重力. 分力分力 F2m2Rcos ， 是物体随地球自转所需的向心， 是物体随地球自转所需的向心 力，其方向力，其方向垂直指向地轴垂直指向地轴. 知识点二知识点二 预测未知天体和估算天体的质量预测未知天体和估算天体的质量
4、 1.海王星的发现海王星的发现. 英国剑桥大学的青年学生英国剑桥大学的青年学生亚当斯亚当斯和法国青年天文学家和法国青年天文学家 勒威耶勒威耶在在 1845 年分别独立推算出一颗新行星的年分别独立推算出一颗新行星的运行轨道运行轨道. 1846 年年 9 月月 23 日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来 的轨道位置观测的轨道位置观测.终于，一颗新的行星终于，一颗新的行星海王星被发现了，海王星被发现了， 人们称其为人们称其为“笔尖下发现笔尖下发现的行星的行星”. 2.估算地球质量的方法估算地球质量的方法. 条件： 月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动条件：
5、 月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动. 设月球绕地球运动的周期为设月球绕地球运动的周期为 T， 月球中心到地心的距离为， 月球中心到地心的距离为 r，引力常量为，引力常量为 G，地球半径为，地球半径为 R，地球表面的重力加速，地球表面的重力加速 度为度为 g. 方法一： 因为月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心方法一： 因为月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心 力由它们之间的万有引力提供，所以力由它们之间的万有引力提供，所以 GM 地地m月月 r2 m月 月 2 T 2r. 由此可得地球的质量由此可得地球的质量 M地 地4 2r3 GT2 . 方法二：地球表面的物体方法二：地球表面的物体受到
6、的重力近似等于地球受到的重力近似等于地球 对物体的万有引力，有对物体的万有引力，有 m 物物gGM 地地m物物 R2 .由此可得地球的由此可得地球的 质量质量 M地 地gR 2 G . 小试身手小试身手 1.（多选）（多选）已知地球的半径为已知地球的半径为 R，质量为，质量为 M，自转周，自转周 期为期为 T.一个质量为一个质量为 m 的物体放在赤道处的海平面上引力的物体放在赤道处的海平面上引力 常量为常量为 G，则关于物体受到的万有引力，则关于物体受到的万有引力 F 和重力和重力 G，下，下 列说法正确的是（列说法正确的是（ ） A.万有引力万有引力 FGMm R2 B.万有引力万有引力 F
7、M 2 T 2R C.重力重力 G0F D.重力重力 G0GMm R2 4 2mR T2 解析：解析：根据万有引力定律知根据万有引力定律知 FGMm R2 ，A 对、对、B 错错. 重力重力 G0FF向 向GMm R2 4 2mR T2 ，C 错、错、D 对对. 答案：答案：AD 2.（多选）（多选）下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A.海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算出海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算出 轨道而发现的轨道而发现的 B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道发现的天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道发现的 C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出
8、天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出 来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力 作用作用 D.以上说法都不对以上说法都不对 解析：解析： 海王星和冥王星都是人们先根据万有引力定律海王星和冥王星都是人们先根据万有引力定律 计算出轨道，然后又被天文工作者观察到的计算出轨道，然后又被天文工作者观察到的.天王星是人天王星是人 们通过望远镜观察发现的们通过望远镜观察发现的.在发现海王星的过程中，天王在发现海王星的过程中，天王 星的运行轨道偏离了根据万有引力定律计算出来的轨道，星的运行轨道偏离了根据万有引力定律计算出来的轨道， 引起了人们的
9、思考， 科学家推测天王星外面存在其他行星引起了人们的思考， 科学家推测天王星外面存在其他行星. 综上所述，选项综上所述，选项 A、C 正确正确. 答案：答案：AC 学习学习 小结小结 1.重力是万有引力的一个分力重力是万有引力的一个分力. 2.利用万有引力定律可以预测未知天体利用万有引力定律可以预测未知天体. 3.利用万有引力定律估算天体质量利用万有引力定律估算天体质量 探究一探究一 万有引力与重力的关系万有引力与重力的关系 1.万有引力与重力的关系万有引力与重力的关系. 万有引力万有引力 F 可分解为两个分力，其中一个分力为物可分解为两个分力，其中一个分力为物 体随地球自转做圆周运动的向心力
10、体随地球自转做圆周运动的向心力 Fn，另一个分力就是，另一个分力就是 物体的重力物体的重力 mg. 2.重力与纬度的关系： 地面上物体的重力随纬度的升重力与纬度的关系： 地面上物体的重力随纬度的升 高而变大高而变大. （1）赤道上：重力和向心力在一条直线上）赤道上：重力和向心力在一条直线上 FFn mg，即，即 GMm R2 mr2mg，所以，所以 mgGMm R2 mr2.（g 为赤道处的重力加速度）为赤道处的重力加速度） （2） 地球两极处： 向心力为零， 所以） 地球两极处： 向心力为零， 所以 mg0FGMm R2 . （g0为两极处的重力加速度）为两极处的重力加速度） 注意：注意：g
11、 和和 g0相差较小相差较小. （3）其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力）其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力 的大小的大小 mgGMm R2 ，重力的方向偏离地心，重力的方向偏离地心. 3.重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小，重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小， 故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附 近：近：mgG Mm R2 ，若距离地面的高度为，若距离地面的高度为 h，则，则 mg G Mm （Rh）2 （R 为地球半径，为地球半径， g 为离地面为离地面 h 高度处的重力高度处的重力 加速度）加速度）
12、.所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则 物体所受的重力也越小物体所受的重力也越小. 特别说明特别说明 （1）一般计算中，往往不考虑地球的）一般计算中，往往不考虑地球的 自转， 认为物体受自转， 认为物体受到的万有引力等于重力， 即到的万有引力等于重力， 即 mgGMm R2 . （2）相对地面静止的物体受到的地面给它的支持力）相对地面静止的物体受到的地面给它的支持力 与重力是一对平衡力，而不是与万有引力平衡与重力是一对平衡力，而不是与万有引力平衡. 【典例【典例 1】 如图所示，火箭内平台上放有如图所示，火箭内平台上放有 测试仪器，火箭从地面启动后，
13、以加速度测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度g 2竖直 竖直 向上做匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器向上做匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器 对平台的压力为启动前压力的对平台的压力为启动前压力的17 18.已知地球半径为 已知地球半径为 R，求，求 火箭此时离地面的高度火箭此时离地面的高度.（g 为地面附近的重力加速度）为地面附近的重力加速度） 核心点拨核心点拨： （1）升到某一高度时的重力加速度不是）升到某一高度时的重力加速度不是 地面附近的重力加速度地面附近的重力加速度. （2）启动前测试仪器对平台的压力大小等于）启动前测试仪器对平台的压力大小等于 mg. 解析：解析： 火箭上升过程
14、中， 物体受竖直向下的重力和向火箭上升过程中， 物体受竖直向下的重力和向 上的支持力，设高度为上的支持力，设高度为 h 时，重力加速度为时，重力加速度为 g，由牛顿，由牛顿 第二定律得第二定律得17 18mg mgm g 2，解得 ，解得 g4 9g.由万有引力定 由万有引力定 律知律知 GMm R2 mg，G Mm （Rh）2 mg，解得，解得 hR 2 . 答案：答案：R 2 万有引力和重力关系的处理方法万有引力和重力关系的处理方法 1.地面附近的物体：由于地球自转角速度很小，物体地面附近的物体：由于地球自转角速度很小，物体 转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于转动需要的向心力
15、很小，一般情况下，认为重力约等于 万有引力，万有引力，mgGMm R2 . 2.离地面离地面 h 高度处的物体： 离地面高度处的物体： 离地面 h 高度处的物体也高度处的物体也 受地球自转的影响，同地面附近的物体一样，一般情况受地球自转的影响，同地面附近的物体一样，一般情况 下，认为重下，认为重力约等于万有引力，力约等于万有引力，mgG Mm （Rh）2. 3.地球的卫星： 对于地球的卫星， 不受地球自转影响，地球的卫星： 对于地球的卫星， 不受地球自转影响， 所受重力等于万有引力，即所受重力等于万有引力，即 mgGMm r2 （r 是卫星的轨道是卫星的轨道 半径）半径）. 1.一个物体在地面
16、时所受重力为一个物体在地面时所受重力为 810 N，将此物体带，将此物体带 到高空中某处时其所受重力变为到高空中某处时其所受重力变为 640 N.已知地球半径为已知地球半径为 R，则此时物体距，则此时物体距地面的高度为（地面的高度为（ ） A.R B.R 4 C. R 16 D.R 8 解析：解析：物体在地面时有：物体在地面时有：mgGMm R2 810 N，物体，物体 在高空时有：在高空时有：mg GMm （Rh）2 640 N，联立解得：，联立解得：h 1 8R，故 ，故 D 正确，正确，A、B、C 错误错误. 答案：答案：D 2.用传感器测量一物体的重力时，发现用传感器测量一物体的重力时
17、，发现 在赤道测得的读数与其在北极的读数相差在赤道测得的读数与其在北极的读数相差 大约大约 3.如图所示，如果认为地球是一个质如图所示，如果认为地球是一个质 量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是（量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是（ ） A，在北极处物体的向心力为万有引力的，在北极处物体的向心力为万有引力的 3 B.在北极处物体的重力为万有引力的在北极处物体的重力为万有引力的 3 C.在赤道处物体的向心力为万有引力的在赤道处物体的向心力为万有引力的 3 D.在赤道处物体的重力为万有引力的在赤道处物体的重力为万有引力的 3 解析：解析：在北极处没有向心力，重力等于万有引力，在北极处没有向心
18、力，重力等于万有引力，A、 B 错误； 在赤道处，错误； 在赤道处， F引 引GF向向， 再结合题意， 再结合题意G G G 3 知，在赤道处：知，在赤道处：F 向向 F引 引 F 引引G F引 引 G G G 3，G F引 引 G G 1 GG G 997，故，故 C 正确，正确，D 错误错误. 答案：答案：C 探究二探究二 天体质量和密度的计算天体质量和密度的计算 1.天体质量的计算天体质量的计算. 项目项目 “自力更生法自力更生法” “借助外援法借助外援法” 情景情景 已知天体（如地球）已知天体（如地球） 的半径的半径R和天体（如和天体（如 地球）表面的重力加地球）表面的重力加 速度速度
19、g 行星或卫星绕中行星或卫星绕中 心天体做匀速圆心天体做匀速圆 周运动周运动 思路思路 物体的重力近似等于物体的重力近似等于 天体（如地球）与物体天体（如地球）与物体 间的万有引力：间的万有引力：mg GMm R2 行星或卫星受到的万有引力充当行星或卫星受到的万有引力充当 向心力：向心力：GMm r2 mv 2 r 或或 GMm r2 m2r 或或 GMm r2 m 2 T 2r 结果结果 天体（如地球）质量：天体（如地球）质量： MgR 2 G 中心天体质量：中心天体质量：Mrv 2 G 或或 M r32 G 或或 M4 2r3 GT2 2.天体密度的计算天体密度的计算. （1）一般思路：若
20、天体半径为）一般思路：若天体半径为 R，则天体的密度，则天体的密度 M 4 3R 3，将质量代入可求得密度 ，将质量代入可求得密度. （2）特殊情况）特殊情况. 卫星绕天体做半径为卫星绕天体做半径为 r 的圆周运动，若天体的半径的圆周运动，若天体的半径 为为 R，则天体的密度，则天体的密度 M 4 3R 3，将 ，将 M4 2r3 GT2 代入，得代入，得 3r3 GT2R3.当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天等于天 体半径体半径 R，则，则 3 GT2. 已知天体表面的重力加速度为已知天体表面的重力加速度为 g，则，则 M 4 3R 3 g
21、R2 G 4 3R 3 3g 4RG. 特别说明：特别说明： （1）利用）利用 GMm r2 mg 求天体的质量时，求天体的质量时， g 是所求是所求天体表面的重力加速度， 且计算的前提是忽略了天体表面的重力加速度， 且计算的前提是忽略了 天体的自转天体的自转. （2）由）由 F引 引F向向求得质量为中心天体的质量，而不求得质量为中心天体的质量，而不 是做圆周运动的天体的质量是做圆周运动的天体的质量. 【典例【典例 2】 2018 年年 12 月月 8 日日 2 时时 23 分， 我国自行分， 我国自行 研制的研制的“嫦娥四号嫦娥四号”无人探测器发射成功，开启人类首次无人探测器发射成功，开启人
22、类首次 月球背面软着陆探测之旅月球背面软着陆探测之旅.若已知万有引力常量若已知万有引力常量 G，那么，那么 在下列给出的各种情景中， 能根据测量的数据估算月球密在下列给出的各种情景中， 能根据测量的数据估算月球密 度的是（度的是（ ） A.在月球表面释放一个小球做自由落体运动， 测出下在月球表面释放一个小球做自由落体运动， 测出下 落高度落高度 h 和时间和时间 t B.观察月球绕地球的匀速圆周运动， 测出月球的直径观察月球绕地球的匀速圆周运动， 测出月球的直径 D 和运行周期和运行周期 T C.“嫦娥四号嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动，测出距月球绕月球做匀速圆周运动，测出距月球 表面的高度表
23、面的高度 H 和运行周期和运行周期 T D. “嫦娥四号嫦娥四号” 靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动，靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动， 测出运行周期测出运行周期 T 解析：解析：设月球质量为设月球质量为 M，半径为，半径为 R，月球表面重力，月球表面重力 加速度为加速度为 g；小球做自由落体运动，根据；小球做自由落体运动，根据 h 和和 t 可以求得可以求得 月球表面重力加速度月球表面重力加速度 g2h t2 ； 根据月球表面物体的重力等； 根据月球表面物体的重力等 于万有引力，有于万有引力，有GMm R2 mg，所以，月球质量，所以，月球质量 MR 2g G ， 月球的体积月球的体积 V4
24、 3R 3，解得月球的密度 ，解得月球的密度 M V 3g 4GR.仅 仅 知重力加速度而不知月球半径知重力加速度而不知月球半径 R，故月球的密度无法求，故月球的密度无法求 解，故解，故 A 错误；观察月球绕地球的匀速圆周运动，测出错误；观察月球绕地球的匀速圆周运动，测出 月球的运行周期月球的运行周期 T，如再加上月球的轨道半径，能求出地，如再加上月球的轨道半径，能求出地 球的质量， 不能求出月球的质量， 因而也求不出月球的密球的质量， 不能求出月球的质量， 因而也求不出月球的密 度，故度，故 B 错误；错误； “嫦娥四号嫦娥四号”在高空绕月球做匀速圆周运在高空绕月球做匀速圆周运 动，根据万有
25、引力等于向心力得动，根据万有引力等于向心力得 G Mm （RH）2 m4 2 T2 （R H） ，由于） ，由于 R 未知，求不出月球的质量，因而也求不出未知，求不出月球的质量，因而也求不出 月球的密度，故月球的密度，故 C 错误；错误； “嫦娥四号嫦娥四号”贴近月球表面做匀贴近月球表面做匀 速圆周运动，根据万有引力等于向心力，得速圆周运动，根据万有引力等于向心力，得 GMm R2 m4 2 T2 R，得，得 M4 2R3 GT2 ，月球的密度，月球的密度 M V 3 GT2，已知 ，已知 G 和和 T，所以可以求出月球的密度，故，所以可以求出月球的密度，故 D 正确正确. 答案：答案：D 探
26、测器绕行星运行的轨道半径， 应是探测器到行星的探测器绕行星运行的轨道半径， 应是探测器到行星的 球心的距离，若探测器紧靠行星的表面运行时，由于球心的距离，若探测器紧靠行星的表面运行时，由于 r R，于是可得，于是可得 3 GT2，即只需测出探测器紧靠行星表面 ，即只需测出探测器紧靠行星表面 运行的周期，即可测出该行星的密度运行的周期，即可测出该行星的密度. 3.如果我们能测出月球表面的加速度如果我们能测出月球表面的加速度 g、月球的半径、月球的半径 R 和月球绕地球运转的周期和月球绕地球运转的周期 T， 就能根据万有引力定律， 就能根据万有引力定律 “称量称量” 月球的质量月球的质量 M.已知
27、引力常量已知引力常量 G，则月球质量，则月球质量 M 为（为（ ） A.gR 2 G B.GR 2 g C.4 2R3 GT2 D. T2R3 42G 解析：解析：在月球表面重力与万有引力相等有在月球表面重力与万有引力相等有 GmM R2 mg，可得月球的质量为，可得月球的质量为 MgR 2 G ，A 对，对，B 错错.根据万有引根据万有引 力提供圆周运动向心力可以求得中心天体的质量， 故根据力提供圆周运动向心力可以求得中心天体的质量， 故根据 月球绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径只能求得月球绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径只能求得 中心天体地球的质量，中心天体地球的质量，C、D 错错
28、. 答案：答案：A 4.科学家计划在科学家计划在 2025 年将首批宇航员送往火星进行年将首批宇航员送往火星进行 考察考察.一质量为一质量为 m 的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧 测力计测得的读数为测力计测得的读数为 F1，在火星赤道上宇航员用同一把，在火星赤道上宇航员用同一把 弹簧测力计测得的读数为弹簧测力计测得的读数为 F2.通过天文观测测得火星的自通过天文观测测得火星的自 转角速度为转角速度为 ，设引力常数为，设引力常数为 G，将火星看成是质量分布，将火星看成是质量分布 均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（ ） A. 3F12 4G（F1F2）， ，F 1 F2 m2 B. 3F12 4G（F1F2）， ，F 1 F2 m2 C. 32 4G， ，F1F2 m2 D. 32 4G， ，F 1 F2 m2 解析：解析：在两极在两极 GMm R2 F1，在赤道上，在赤道上 GMm R2 F2 m2R， 联立解得， 联立解得 RF 1 F2 m2 .由由 GMm R2 F1， 且， 且 M4 3R 3， ， 解得解得 3F12 4G（F1F2）.选项 选项 A 正确正确. 答案：答案：A
